解一元二次方程练习题(配方法).doc

一元二次方程解法练习题
一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、 2、 3、 4、

二、 用配方法解下列一元二次方程。
1、. 2、 3、

4、 5、 6、

7、 8、 9、

三、 用公式解法解下列方程。
1、 2、 3、

4、 5、 6、

四、 用因式分解法解下列一元二次方程。
1、 2、 3、

4、 5、 6、

五、 用适当的方法解下列一元二次方程。
1、 2、 3、

4、 5、 6、

7、 8、 9、

10、 11、 12、

13、 14、 15、

16、 17、 18、

19、 20、 21、

22、 23、 x2+4x-12=0 24、

25、 26、 27、

28、3x2+5(2x+1)=0 29、 30、

31、 32、 33、

34、． 35、 36、x2+4x-12=0

37、 38、 39、

40、 41、 42、=0

一元二次方程解法练习题
六、 用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、 2、 3、 4、

七、 用配方法解下列一元二次方程。
1、. 2、 3、

4、 5、 6、

7、 8、 9、

八、 用公式解法解下列方程。
1、 2、 3、

4、 5、 6、

九、 用因式分解法解下列一元二次方程。
1、 2、 3、

4、 5、 6、

十、 用适当的方法解下列一元二次方程。
1、 2、 3、

4、 5、 6、

7、 8、 9、

10、 11、 12、

13、 14、 15、

16、 17、 18、

19、 20、 21、

22、 23、 x2+4x-12=0 24、

25、 26、 27、

28、3x2+5(2x+1)=0 29、 30、

31、 32、 33、

34、． 35、 36、x2+4x-12=0

37、 38、 39、

40、 41、 42、=0

一元二次方程练习题
一．填空题：
1．关于x的方程mx-3x= x-mx+2是一元二次方程,则m___________．
2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是____________________,二次项系数是____,一次项系数是____,
常数项是______.
3．方程x=1的解为______________.
4．方程3 x=27的解为______________.
x+6x+____=(x+____) , a±____+=(a±____ )
5．关于x的一元二次方程(m+3) x+4x+ m- 9=0有一个解为0 , 则m=______.
二．选择题：
6．在下列各式中
①x+3=x; ②2 x- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x- 4x – 5 ; ④x=- +2
7．是一元二次方程的共有( )
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
8．一元二次方程的一般形式是( )
A x+bx+c=0 B a x+c=0 (a≠0 )
C a x+bx+c=0 D a x+bx+c=0 (a≠0)
9．方程3 x+27=0的解是( )
A x=±3 B x= -3 C 无实数根 D 以上都不对
10．方程6 x- 5=0的一次项系数是( )
A 6 B 5 C -5 D 0
11．将方程x- 4x- 1=0的左边变成平方的形式是( )
A (x- 2)=1 B (x- 4)=1 C (x- 2)=5 D (x- 1)=4

三.。将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
t(t + 3) =28

2 x+3=7x

x(3x + 2)=6(3x + 2)

(3 – t)+ t=9

四．用直接开平方法或因式分解法解方程：
（1）x2 =64 （2）5x2 - =0 （3）（x+5）2=16

（4）8（3 -x）2 –72=0 （5）2y=3y2

（6）2（2x－1）－x（1－2x）=0 （7）3x(x+2)=5(x+2)

（8）（1－3y）2+2（3y－1）=0

五. 用配方法或公式法解下列方程.：
（1）x+ 2x + 3=0 （2）x+ 6x－5=0

(3) x－4x+ 3=0 (4) x－2x－1 =0

(5) 2x+3x+1=0 (6) 3x+2x－1 =0

(7) 5x－3x+2 =0 (8) 7x－4x－3 =0

(9) -x-x+12 =0 (10) x－6x+9 =0

韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么

说明：（1）定理成立的条件
（2）注意公式重的负号与b的符号的区别
根系关系的三大用处
（1）计算对称式的值
例 若是方程的两个根，试求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
解：由题意，根据根与系数的关系得：
(1)
(2)
(3)
(4)
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
，，，
，，
等等．韦达定理体现了整体思想．
【课堂练习】
1．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值为_________
2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ，
（x1－x2）2＝
3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k= ;
4．若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a= ;
5．若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;
6． 设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
(1)x12x2+x1x22 (2) －
7．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（2）构造新方程
理论：以两个数为根的一元二次方程是。
例 解方程组 x+y=5
            xy=6   
解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的两根
由方程①解得 z1=2,z2=3
∴原方程组的解为 x1=2,y1=3
                 x2=3,y2=2
显然，此法比代入法要简单得多。
（3）定性判断字母系数的取值范围
例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。
解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2
由题意知
△＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4

∴ 为所求。

【典型例题】
例1 已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足．
分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论．
解：(1) ∵方程两实根的积为5
∴
所以，当时，方程两实根的积为5．
(2) 由得知：
①当时，，所以方程有两相等实数根，故；
②当时，，由于
，故不合题意，舍去．
综上可得，时，方程的两实根满足．
说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．
例2 已知是一元二次方程的两个实数根．
(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由．
(2) 求使的值为整数的实数的整数值．
解：(1) 假设存在实数，使成立．
∵ 一元二次方程的两个实数根
∴ ，
又是一元二次方程的两个实数根
∴
∴
，但．
∴不存在实数，使成立．
(2) ∵
∴ 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，
要使的值为整数的实数的整数值为．
说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．
(2) 本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法．

一元二次方程根与系数的关系练习题

A 组
1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．若是方程的两个根，则的值为( )
A． B． C． D．
3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( )
A． B． C． D．
4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )
A． B． C． D．大小关系不能确定
5．若实数，且满足，则代数式的值为( )
A． B． C． D．
6．如果方程的两根相等，则之间的关系是 ______
7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．
8．若方程的两根之差为1，则的值是 _____ ．
9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _____ ，= _____ ．
10．已知实数满足，则= _____ ，= _____ ，= _____ ．
11．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．

12．若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值．

13．已知关于的一元二次方程．
(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两根为，且满足，求的值．

14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长．
(1) 取何值时，方程存在两个正实数根？
(2) 当矩形的对角线长是时，求的值．

B 组
1．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
(1) 求的取值范围；
(2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由．

2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：关于的方程有实数根．

3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．
(1) 求实数的取值范围；
(2) 若，求的值．

一元二次方程试题
一、选择题
1、一元二次方程的根的情况为（　　）B
Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根
Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根
2、若关于z的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）C
A．m<l B．m>-1 C．m>l D．m<-1
3、一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是（　　）C
A．有两个不相等的正根 B．有两个不相等的负根
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
4、用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）A
A． B． C． D．
图（7）

5、已知函数的图象如图（7）所示，那么关于的方程的根的情况是（ ）D
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
6、关于x的方程的两根同为负数，则（ ）A
A．且 B．且
C．且 D．且
7、若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则k的值为（　　）C
（A）－1或 　（B）－1　（C）　（D）不存在
8、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　）D
（A）x2＋4＝0　　（B）4x2－4x＋1＝0　　（C）x2＋x＋3＝0　　（D）x2＋2x－1＝0
9、某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ 　）B
A：200(1+a%)2=148 B：200(1－a%)2=148
C：200(1－2a%)=148 D：200(1－a2%)=148
10、下列方程中有实数根的是（　　）C
（A）x2＋2x＋3＝0　（B）x2＋1＝0　（C）x2＋3x＋1＝0　（D）
11、已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ) A
A． m＞－1 B． m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0
12、如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是（ ）。C
A、2 B、－2 C、4 D、－4

二、填空题
1、已知一元二次方程的两根为、，则 　
2、方程的解为 。，
3、阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，．根据该材料填空：
已知，是方程的两实数根，则的值为______　10
4、关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为1和2，则b＝______；c＝______．　　－3,2
5、方程的解是 　　 ．＝0，＝2
6、已知方程有两个相等的实数根，则
7、方程x2+2x=0的解为 ＝0，＝－2
8、已知方程在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则的取值范围是 ．
或
9、已知x是一元二次方程x2＋3x－1＝0的实数根，那么代数式的值为＿＿＿＿
10、已知是关于的方程的一个根，则_______．
11、若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ．
12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。
13、已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
三、解答题
1、解方程：．
2、解方程：x2＋3＝3(x＋1)．
3、已知x＝1是一元二次方程的一个解，且，求的值.
4、已知关于x的一元二次方程x2＋4x＋m－1＝0。
(1)请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
(2)设α、β是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求α2＋β2＋αβ的值。
5、据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率。(取≈1.41)
解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：
30%a（1＋x）2=60%a，即（1＋x）2=2…………5分
∴x1≈0.41，x2≈－2.41(不合题意舍去)。……7分
∴x≈0.41。
即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。………8分
6、黄金周长假推动了旅游经济的发展．下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图．

(1)根据图中提供的信息．请你写出两条结论；
(2)根据图中数据，求2002年至2004年的“十一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率(精确到0．1)
解：（1）①历年春节旅游收入低于“五一”和“十一”旅游收入；
②黄金周旅游收入呈上升趋势。┉┉
　　　　（2）设平均每年增长的百分率为x，则300（1＋x）2＝400，
解得：＝－1＋，＝－1－（不合题意，舍去），
所以，＝－1＋≈0.155，
答：平均每年增长的百分率为15.5%。
7、已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根．
（1）求x1，x2 的值；
（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
解：（1） 原方程变为：x2－（m + 2）x + 2m = p2－（m + 2）p + 2m，
∴ x2－p2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0，
（x－p）（x + p）－（m + 2）（x－p）= 0，
即 （x－p）（x + p－m－2）= 0，
∴ x1 = p， x2 = m + 2－p．
（2）∵ 直角三角形的面积为=
=
=，
∴ 当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或．

- 21 -