[物理]第四章 线性动态电路分析_课件.pdf

第4章线性动态电 路的分析14-1 动态电路的方程及其初始I条件142 一阶电路的零输入呼应I 54-3 一阶电路的零形状呼应I 144 一阶电路的全呼应41动态电路的方程及其初始条件一、根本概念稳态：电路的稳定形状，即电路中的电压电流到达稳定 值时的形状。比如前2章引见的直流电路，全部为稳态电 躇韵靖冼合时起，电路中的电压电流就为稳定值，也就是说电路到达了稳 态。假设电路中含有储能元件，比如有LC,就不同了：上图中，在开关K闭合后的一段时间内，电流i和电压uc并不为稳定值,而是有一个开关K闭合后渐变的过程。当时间t-o o时，电流i 和电压uc才到达稳定值，不再变化，此时，电路才进入稳态。为什么呢?就是由于电路中存在一个电容元件C。那么，假设电路中有电感元件时 又怎样呢？暂态过渡过程：当电路中含有储能元件时，在开关 动作后，电路中的变量尚未到达稳定形状，在这段时间内,电路变量随时间变化的呼应称为电路的过渡过程，也即 和轴西箭彘件能引起过渡过程的两个电路元件C dt dt c 2电容可以存储电场能量，由于电荷的积累需求一个时间过程，所以电压 要渐渐上升，储存的能量也随着电容电压的添加渐渐积累，最后到达稳定 值t-oo 时0肛=2=Ldt%（=，前）电感能存储磁场能量，在建立磁通链的过程中，磁场能量的储存也需求 一个过程，因此，电流也只能渐渐添加，最后到达稳定值t-8时。二、电路的初始条件何谓初始条件？就是换路后电路中各变量电压、电流的起始值,也即t H)+时辰各电压电流的值。这也是一阶动态电路过渡过程三个要素 中的第一个要素。换路定那么换路：指电路中的开关作用、参数变化等 换路前一瞬间，t=o+换路后一瞬间，P岑8 能量不能突变，只能延续变化WC=l/2Cu C2 C 延续变化 比C(O+)=u C(O-)WL=l/2LiL2 也延续变化 iL(O+)=iL(O-)换路定那初始值的计算t=0+电压、电流值称为初始值初始值计算步骤用换路定律确定uC(O+),i L(0+)；用初态等效电路确定其它变量的初始值。电容的初态等效电路电感的初态等效电路求初始条件的步骤:用换路定理先求独立初始条件u C(0+)和iL 0)知0+等效电路。五(o+L 五(。+)a对于电感L17 nU用电流源替代：一；工一；2e N C 一对于电容一可用电压源替代：+O-UcS+)=5V+uc(o+)V开关K,t=0+时已动作，应画动作以后的形状其他支路及元件，坚持不变。在0+等效电路上用KCL、KVL求非独立初 始条件。看几个例题：例题一如下图电路原处于稳态,t=0时开关S忽然翻开o那么 _ 6方J三3A由初态等效电路可知2t)0-3V 3Al，1u L(0+)+4(0)二 3-9 二-6VL 十/例题二如下图电路原处于稳态,t=0时开关S合上。那么 u(g+)=_V oiL(0+)=iL(0_)=1A由初态等效电路可知“(0+)=6 4=2V例题三如下图电路原处于稳态,t=0时开关S合上。那么 i(0+)=2A oiL(0)=iL(0_)=4AL+l 10+5(0)=(0)=x X=10Vc+c 2 10+5由初态等效电路可知：5s+i1+H1tV r初态等效电路取户2=2A例题四求图示电路中各支路电流及电感电压的初始值，设换路前 电路处于稳态。解：作t=0 时的等效电路4 4 5i(0)=1(0)=%2=1AL g+&4+4。(0.)二&乙(0一)二年RA|-(-r ic 1 Ri rpo+1=C Ul-LZLR34Q U C(0+)=U C(O-)=4 Vi L(0+)=i L(O-)=1 Ai R 2Q+0 V匕 n RiU4Qv icq R2口 4Q+Uc t Cv ILn R3 J4Q0LQ例题五求图示电路中各支路电流及电感电压的初始值，设换路前电路处于稳态。i R解：作t=0+时的等效电路+2Q z(0+)R+ic(0+)7?2+uc(O+)=U uQ 8V z(0+)=zc(0+)+4(0+)v icn Ri1T)4Q+4KD。代入数据得：2z(0+)+4zc(0+)+4=8z(O+)=zc(O+)+l4 1解之得 叫)二甘小。+)二尸1 4”(0+)=小0+)&+c(O+)-，l(O+)&=x 4+4-lx 4=V4-2 一阶电路的零输入呼应一阶电路：描画电路呼应过程的方程为一阶线性微分方 程的电路。普通情况下，含有一个储能元件的线性电路 霸罪;询越阿解密思义，就是电路在没有输入鼓励情况下 的呼应。由于没有输入鼓励，所以是靠储能元件的初始储 能建立起来的过渡过程呼应。也即：换路前电路中储能元 件有初始储能，换路后电路没有电源鼓励输入，仅靠储能 元件的储能建立的过渡过程呼应。一、RC电路的零输入呼应1、求零输入呼应 _请看以下图电路，知：t=0 时，uc(O-)=Uo(V),求；t0时的uc(t)表达式。K(t=O)八.c+I(t)R|UrUo U解：有KVL定律可得：uc-uR=O有元件约束方程得：0口尺i/)口叱八 dt(2)(3)代入上式1得：RCduc(t /、小 dt初始条件：c(O+)=%(O_)=U。此方程为一阶、线性、常系数、齐次微分方程。HC +%)=0(3)dt分析此方程可知，uc(t)应有指数函数方式，设 uc(t)=A-ept 代入方程3可得对应微分方程的特性方程RCp+l=O1uct-A-e RC代入2=0+时的初值%(。+)=U。得方程的解为：1p=-RC(4)得：A=Uo,因此可1%=U,e RC(t 0)du U M)=c*二泉RC(t 0)式5可作为零输入呼应 的公式来直接套用。再看波(5)(6)兀产有献式5、看出：6和波形图可 RC 2RC 3RC/-14RC 5RCt=0时(初始时)电容上的电压为Uo,随着时间的推移，电容上 的电压随时间按指数规律衰减，衰减率为-普。电流也按同样 的指数规律衰减。当t-8时，uc(i)-Oy ic(i)-0,电容放 电结束，过渡过程结束。再看表达式5：uc(t)=Ue 隧(t 0)(5)两边均为电压量纲，指数项应该无量纲。由此可见，RC 的乘积应该和时间t有一样的量纲“秒。同时RC的大 小，也反映了衰减得快慢，由此可定义一个新的物理量一.、Tl iSL-4,定义：v=-=RC为一阶电路的时间常数。这也是一阶动态电路过渡过程三个要素中的第二个要素。1=RC的量纲为“秒”(或S)。其中 电阻R的量纲为“欧姆”(Q),电容C的量纲为“法拉”(F)oT的物理意义：T的大小反映了过渡过程进展的快慢O 1 _ _%。)=%()+)J就=U.e/(t 0)(5)在表达式5中，将时间t=lT、2t、3t、4T、5 T时的电压UC(t)列表如下：t0T2 t3 T4 t5 t81e-1/e5-CO e心(才)L0.3680.1350.050.0180.00670I己衰减量贽63.2%86.5%95%98.2%99.33%100%RC电路的零输入呼应 时间常数为：t=RCRC 一阶电路的零输入呼应的普通 方式可记为t/a）=/（o+）/7例：1图示电路中合上前电路已处于稳态，求已0时的uC(t)、iC(t)和i。解：wc(0+)=wc(0_)=-.&=4VR+R?+R3t 0时的等效电路如图示，r=r2r3=imt=RC=IxlO3 X10X10-6=0.015twc(z)=wc(O+)e T 4e-100V)=10 x l0-6x 4x(-100)e-100rA=i=-二2x 1031。=-2e-mA、i2(t)oJl(t)EZ 6QJ2(t)*A2AK(t=0)三 0.5F3a+4例题2、右图所示电路，开关K在t=0时闭合，求：t0 时的 uc(t),ic(t),以及 il(t)显然，没有必要分别列写微分方 程来求解，可以利用零输入呼应 的公式来求解。解：先求初始条件。独立初始条件：画0+等效电路4,(C)+)=c(0_)=2x 3=6 V 得%(0+)=-1=-1A，2(。+)=1=2 A:6 340+)=*。+)-，2(0+)=-3A求时间常数T。z=ReqC=(6/Z3)O.5=luc(t)o uc(t)=T=(v)(t 0)思索:uc(t)的时间常数为t=1s,那么i1(t)和i2(t)的时间常数为多少呢？t是由一阶电路本身电路参数决议的固有特征，一个一阶 电路只需一个时间常数，一切支路电压电流过渡过程都是 以同一个时间常数为衰减系数的。t旧也卜 二-1(Q(t 0)t 曲)=n。+)1=25(Q(t 0);按KZL亦有：*”二一5二一/(t 0)i2(t)=2el(t 0)二、RL电路的零输入呼应1 求零输入呼应。例1、uL、iL取关联参考方向，求出0时，i L to=o解：显然有：=%(CL)=乌列方程：换路后得：uT+Ri=0 L Ldi u t L-dtdiTL+Ri.=0 dt L心(。+)=/o和电容放电方程类似，也是一阶线性常系数齐次微分方程,其解应有类似的指数方式。求以。令iL（t）=A-ept（4、2为待定常数）那么:，微分方程的特征方程为：Lp+r=o 其4y陛塑R-1 iL(t)=Ae LL 1 L依然定义c=一 为时间常薮=,-G=6R t P RL那么有：4=Ac与，=（。+）6(t 0)uRt =R-iLt =Rl e T=(0+)，(V)t 0)Urt =L7=-RI T=i/r 0,e，VL /1 j U L 十/dt 2、时间常数：c=-(s)RReq 为从L两端看过去电路的戴维南等效 电阻曰币 图示电路，开关K原在位置1，已 是 处稳态，t=0时，K合到位置2。,求换路后J型及I%2 o解：/（0）=-X=2A 4+2+3/Z6 3+6.，/。+）=i/0二 2A0时，火=3+如=6。“6+6eq确定A 代入t=O+时,z iL(O+)=IO,得：A=10 iL(t)iL(O+)e=2e-1(A)(t 0)强=12/(v)(t 0)dt-；4=-，2=；“(%)=*(A)(t 0)小2团=24+4%=24+2(V)(t 0)或者如下求解：,1,ij0+hi,0 二 2AL T L 由0+等效电路得:=-，2(。+)=1A“/()+)=2x 3+(1)x 6=12V=_ =1S Req 3+6/6t W)=4(0+)e。=2e(A)/)=-12(V)iM=el(a)%2 m=24+4%卜)=24+4e(V)RL电路的零输入呼应RL电路的时间常数为T=RRL 一阶电路的零输入呼应的普通为方式为t/(Z)=/(0+)/7 zo一阶电路零输入呼应的普通方式为t/a)=/(o+)/743 一阶电路的零形状呼应零输入呼应是换路后，电路中无电源鼓励输入，仅靠储 能元件的储能建立的过渡过程呼应（储能元件的放电过 程）。零形状呼应：换路前储能元件无初始储能即初始形状为0，换路后在电源鼓励输入下建立的过渡过程呼应一、像能足伟的霜熟进程应。知：K在t=0时闭合，且 uc 0=0V,分析：t NO 时，uc t，i t的变化规 律。定性分析：第一稳态 uc 0+第二稳态uc 8=UsK(t=0)x+初UsQ C 二二4 R-从第一稳态到第二稳态也不是瞬时完成的，也有过渡 过程，似乎也应该是按指数规律变化。K 仕=0)x R)+以c 二二%(t)-R-1、定量计算：时由元件方程小)二。必:dtdu At)/=i=u s+)=一阶、线性、常系数、非齐次微分方先求对应的齐次舞程的通解uc”t)齐次方程为nRC如 dt=uc=Ae Tt=RC+%m=0求非齐次方程的一个特解uc，t衣。十%(=可得：非齐次方程的一个特解为uct=Us 非齐次微分方程的通解为：A为代定常数uc(t)=uc(t)+uc=Us+AeT确定待京常数A 将t=0+时的值代入，即代入uc0+=0得：-x O,T.A=4(0+)4t(t得：u t =/-0-Use T=Us 1-e T3、RC电路零形状呼应的能量关系在过渡过程中，由于C无初始储能，因此，电源提供功率，而C和R那假设C无初始储能，K在t=0时闭 合，那么：u t=U,Uf =Us(l-e)=CducdtU-L-e T R其中t=RC在整个过渡过程中，电阻耗费的能量为：(TT t V8 pOO II WR=Ri dt R e T dtK Jo Jo RI)二或斗处尸=-c o-=-c u R Jo R 2)2 2s电容上储存的能量为 i、1：Wc=-CUc(OO)=-CUs=WR-可见，不论电阻电容为何值，零形状呼应过程中，电源供应的能量只需一半转换成电 场能储存于电容中，而另一半那么耗费在电阻上。假设是专门为电容充电电路，那么充电 效率只需50%。RC电路的零形状呼应 时间常数为：t=rct(t、-Us+(0-(/Je r=US 1-e TI)K(t=O)Ri(t)+C Uc(t)durdti(t)=Cu-=-e TRuRM=use T/(0=/M+/(0+)-/(o o)p例+O 220V?一K(t=O)100Q wi(t)+i uc(t)0.5H f解：用三要素法知：电容事先充电，K在t=0时闭合。求：T,和最大充电电流；人和小）;做曲线和储；K合上150|Js部葩 值。RC t二RC=100 x0,5x10-6=50ps=50)t，m=0+2.2 0加一=22-2幻。飞a)(t 0)画呼应曲线。如何画呼应曲线波形呢？方法：1.找第一稳态值2.找第二稳态值渐近线3.从第一稳态按指数规律过渡到 第二稳态i(t)求t=150ps时，uc和i 值。%(15。4 s)=220(1-e3dx i5(Mo-6)=220(1-/)二 220 x 0.9502=209 Vz(150 s)=2.2e-3=0.11 A二、直流输入下RL电路的零形状呼应图j电路，知iL 0=0,K在t=0时翻开，求：拦0时,iL t和 uL t。解：1、求零形状呼应日n LdiL.,即:-+ij=I.R dt L st 0时可得KCL方程 iK+iL=l s t)=Is+Ae TL代入|=。+时，心团二。得:产-JS“(1)二4 l-e-7 A(t 0)I)z71 uLt)=L=RIse T V(t 0)dt、-(2.呼应曲线.，=/+()_/T-L 1-e，AjL/3 L ij 3I)tuLM=RIse M(?0)t%=1尺微 iR=IS-iM=Ise 2 雪(Ly-当 8 1，%=R/；J e L dt=RI：-e L-Ll f=WL 2R J 0 2可见，RL零形状电路中，电流源提供的能量也只需一半储存在电感线 圈中，另一半那么耗费在电阻中不论R、L为何值，结论都如此。RL电路的零形状呼应_ _二、工S.+“八9时间常数为：L 0K(t=O)f R内l fuL(t)T=J I-r R-(_L，/(H 二人 1 e。AI)M=Lr=RIse T vattuRt =Rlse T V/(0=/(-)+/(0+)-f(8)0 t 0例2知电感初始无储能。求：K闭合后的iL（t）,i（t）o解：用三要素法路iL（O+）=iL（O-）=O,由0+等效电路L相当于开得：L T=Req-2+3/6-2524 _ 8 兴(0+)=03+6-32喀）二8=一.-巳43+2/6 2+6 3+2/6 2+6 3，/力二（8）+乩（0+）-0（8）/。=4|l-e-2z（A）卜（t-0）-(t 0)画波形(t 0)忆卜）=乙（8）+上/。+）-（8）1=4l-e-2z（A），庆州一步号”旧例一：图示电路中，S合上前，电容电压为零，求t 0时的电容 电压和各支路电流。解：换路后电路的时间常数为T=RC=RR2 C=6 3x103x5x106=0.01sU(J 3)=-xl2=8V3+6uc(t)=uc(oo)(l _ 0)=一1晚)V+Usic=C=5xlO-6(-8)x(-lOO)e-lo(=4xlO-3e-1()(kA=4emA dt“虹xl0_3h_e-叫 R2 6x103 3 ,3、1 _ ._ _ 4,8 low 4i=/c+，2=4x e H11 c JA le mA二 例图示电路中，S闭合前电感中无电流，求出0时的uL、i球：戴维南定理30Uoc=-义100=15V 100+100/e0=100+10(|100=150QL 3t-.Ro 150小8)=皿 t Rqe 7)=0.1(1-e-50=0.025喧二4(0=|)(1-IAuL(t)=L 强=3x(-0.l)x(-50)15，=15e-50rV dt f i,忆+100乙 15e-50/+100 x 0.1 l-e-50/i=-=-W+0.05c1001004-4 一阶电路的全呼应一、全呼应是零输入呼应和零形状呼应的叠加，即：全呼应=零输入呼应+零形状呼应(t 0)零形状：股)=q(i-e D按叠加定理有:全呼应的求解方连sM一sL 再回想零形状呼应的求解过程：(t 0)TRC+u=Us _K、-dt 0 uc(t =uct)+Ae Tc(+)=非齐次方程的特解为：uc 非齐次微分方程的通解为=u t%(。二%+九(/)二七+Ae：a为代定常数代入 t=0+时的值，uc(t)=uc(O+)=0得：)4=%(。+)-(。+)t,9(”=/团+1%(。+)-%(。+)卜t全呼应应为：./力二C(8)+/()+)-“8)e Tt=us4uq-us J一阶电路的全呼应及三要素分析法三要素分析法根据叠加定理，全呼应可看作是外施鼓励和储能元件的初始 储能单独作用时各自产生的呼应的叠加。零形状呼应/(oo)(l-e)对uC和iL成:,立零输入呼应：0+广_t _t电路的全呼应 f)=f(00)(1-e)+f(0+)e7 t 0为,/(Z)=/(oo)+/(0+)-/(oo)/年 0 三要素公式兰呼应二零形状呼应+零输入呼应二稳态分量+暂态分量三要素分析法的普通步骤求 f(0+)求f(8)(t=8:u、i不随时间变化)求T求 f(t)=f(o o)+f(0+)-f(o o)e-t/T通来说，电感电路先求iL(t)较方便，电容电路先求uC(t)较方便例1.求K闭合后的iL(t)和根:iL(O+)=iL(0-)=-2A0+等效电路为以下图，由0+等效电路可得 i(0+)的A.jL=2sReqA同=一 二3 A2G 1。0)0)例2、电路原已处于稳态，t=0时K闭合，求t初时的uc,iL,iK102 15a 5Q-(-H-r-j H-H-h30V+。一一 Uc 3UFLK(t=0)V*L f L”加30.la10+15+5K闭合后左边为一阶RC电路，右边为一阶RL电路c=RC=10/15x 3x l0-6=1.8x10%L v LI解：K闭合电路成为两个独立的一阶电路 4(。+)=%(。一)二30-x 20=20710+15+5“(0+)=/J=L _ 2x l()-3喘二5=4x10%15(s)=3Ox-=18V 10+15x乙(4=OA 4=/(+/(。+)-/(8)&小-xlO5/=18+2e 18(Yt皿)=g-25x l济(05a=1.2d-e 1815 15(to)(to)Q IO57一=1.2+-b*Xi*(JL-;(t O)例3图示电路中，s闭合前处于 稳态。当t=0时S闭合后，那么全呼庭0-80-100 uC(t)=_.40_V o20其中：丫%。+)=稳态值：时间常数_v；方 c(0+)=c(0)=40V/、20 1c 40()二x 10 H-二 120Vc 2 2r=JRoC=lOx lOOx lO_ 6=10-35全惮应为：uc=120+(40-120)e-1000r=120-80e-Q0QtV例：4在图不电路中 态。US=15V Q,L=0.5H,s闭合前电路已到达稳,Rl=R3=100Q,求t 0时的uL(t)、骚t)%(0+)=zL(0_)=-0.05A-4+4Us R3i(t)不Ri卜乙 丸+-=0.03 A用+兄|%此+4尺 0=火2+火1/尺3=250Ci=iL(+iL(0+)i/8)e%=0.03+0.02500zAa=L 强=0.5 x 0.02x(-500)L=-5500V dt由 KVL 得 R1i+uL+R2iL=Usi=2a=o.O9+0.01e-500rAR、例5图示电路中，s闭合前处于 稳态。当t=0时S闭合后，那么全摘防+40)5 12Q61与S=-1-A o(其中：0吧-fr.625%矗二-通；)=“(0_)=0,1(0+)=生=1A工刍太后 18 4 72稳态值:z(oo)=-x-=-=0.5A12+4/6 4+6 144时间常数：t=0.0625s4 8 16