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第六章 样本及抽样分布

1。［一] 在总体N（52，6。32)中随机抽一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53。8之间的概率。
解：

2.［二] 在总体N（12，4)中随机抽一容量为5的样本X1,X2，X3，X4,X5.
（1)求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。
（2）求概率P ｛max （X1，X2，X3，X4,X5）>15｝.
（3）求概率P ｛min (X1,X2，X3，X4,X5）>10｝.
解:(1）
=
(2）P {max (X1，X2，X3，X4,X5)>15｝=1－P ｛max (X1,X2，X3，X4，X5）≤15}
=
（3）P ｛min （X1，X2,X3，X4，X5)<10}=1－ P ｛min (X1，X2，X3,X4,X5）≥10｝
=
4.[四] 设X1，X2…，X10为N（0，0.32）的一个样本，求
解：
7．设X1，X2，…，Xn是来自泊松分布π （λ )的一个样本，，S2分别为样本均值和样本方差，求E （)， D （)， E （S 2 ）。
解:由X~π (λ ）知E (X )= λ ,
∴E (）=E （X ）= λ， D ()=
[六］ 设总体X～b (1,p）,X1,X2，…，Xn是来自X的样本。
(1）求的分布律;
（2）求的分布律；
（3)求E （）, D （）， E (S 2 )。
解：(1）（X1，…，Xn)的分布律为

=
（2）
（由第三章习题26［二十七］知)
（3）E (）=E （X )=P，

［八]设总体X~N（μ，σ2），X1，…，X10是来自X的样本.
（1）写出X1，…，X10的联合概率密度(2)写出的概率密度。
解：（1）(X1，…，X10)的联合概率密度为

（2）由第六章定理一知
~
即的概率密度为

第七章 参数估计

1．[一］ 随机地取8只活塞环,测得它们的直径为（以mm计）
74.001 74。005 74.003 74。001 74。000 73.998 74。006 74。002
求总体均值μ及方差σ2的矩估计,并求样本方差S2.
解：μ,σ2的矩估计是
.
2．[二]设X1,X1，…，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量.
（1） 其中c〉0为已知，θ〉1，θ为未知参数。
（2） 其中θ>0,θ为未知参数.
（5）为未知参数.
解：（1)，得
（2)
（5）E （X) = mp 令mp = ， 解得
3．［三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
解：（1)似然函数

（解唯一故为极大似然估计量）
（2）
。（解唯一)故为极大似然估计量.
（5），

解得 ，（解唯一)故为极大似然估计量。
4．［四（2)］ 设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本,试求λ的极大似然估计量及矩估计量.
解：(1）矩估计 X ~ π (λ ）,E （X ）= λ,故=为矩估计量。
(2）极大似然估计，

为极大似然估计量。
（其中
5．［六］ 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子,记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率.求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下
样品中属石灰石的石子数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
观察到石灰石的样品个数
0
1
6
7
23
26
21
12
3
1
0
解：λ的极大似然估计值为==0.499
[四（1）］ 设总体X具有分布律
X
1
2
3
Pk
θ2
2θ（1－θ)
(1－θ） 2
其中θ（0〈θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1,x2=2,x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。
解：（1）求θ的矩估计值

则得到θ的矩估计值为
(2)求θ的最大似然估计值
似然函数

ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ）
求导
得到唯一解为
8．［九(1）] 设总体X ~N（μ，σ 2)，X1，X1，…，Xn是来自X的一个样本.试确定常数c使的无偏估计。
解：由于

=
当.

[十］ 设X1,X2， X3， X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量

（1）指出T1,T2， T3哪几个是θ的无偏估计量；
（2)在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。
解：（1）由于Xi服从均值为θ的指数分布，所以
E （Xi ）= θ， D （Xi ）= θ 2， i=1，2，3,4
由数学期望的性质2°,3°有

即T1，T2是θ的无偏估计量
（2）由方差的性质2°，3°并注意到X1，X2， X3， X4独立，知

D (T1）> D (T2）
所以T2较为有效。
14。[十四] 设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计）分别为6。0 5。7 5。8 6.5 7。0 6。3 5.6 6.1 5.0.设干燥时间总体服从正态分布N ～(μ,σ2）,求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时)（2）若σ为未知。
解:（1)μ的置信度为0.95的置信区间为（），
计算得
（2)μ的置信度为0。95的置信区间为（）,计算得，查表t0。025(8）=2.3060。

16。［十六] 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11（m/s)。设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间.
解:σ的置信度为0。95的置信区间为

其中α=0。05， n=9
查表知
19.［十九］ 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率.设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s,取样本容量为n1=n2=20。得燃烧率的样本均值分别为设两样本独立，求两燃烧率总体均值差μ1－μ2的置信度为0。99的置信区间。
解:μ1－μ2的置信度为0。99的置信区间为

其中α=0.01,z0。005=2.58， n1=n2=20,
20.[二十] 设两位化验员A,B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为分别为A，B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的.设两样本独立，求方差比的置信度为0。95的置信区间。
解:的置信度为0。95的置信区间

= （0.222, 3。601)。
其中n1=n2=10，α=0。05，F0。025(9,9）=4。03, 。

第八章 假设检验

1.[一］某批矿砂的5个样品中的镍含量,经测定为（%)3.25 3。27 3.24 3。26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在α = 0。01下能否接受假设:这批矿砂的含镍量的均值为3.25.
解：设测定值总体X～N（μ,σ 2）,μ，σ 2均未知
步骤：(1）提出假设检验H：μ=3。25; H1：μ≠3.25
（2)选取检验统计量为
（3）H的拒绝域为｜ t |≥
(4）n=5, α = 0.01,由计算知
查表t0。005(4)=4。6041，
（5）故在α = 0。01下，接受假设H0
2．［二］ 如果一个矩形的宽度ω与长度l的比，这样的矩形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、
工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型.下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ,试检验假设（取α = 0.05）
H0：μ = 0.618 H1：μ≠0。618
0.693 0.749 0.654 0.670 0。662 0。672 0.615 0.606 0.690 0.628 0。668
0。611 0.606 0。609 0。601 0。553 0。570 0.844 0.576 0。933。
解:步骤：（1）H0：μ = 0。618； H1:μ≠0.618
（2）选取检验统计量为
（3）H0的拒绝域为｜ t |≥
(4）n=20 α = 0.05,计算知
，

（5）故在α = 0.05下,接受H0,认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.618
3。［三］ 要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ =100小时的正态分布。试在显著水平α = 0。05下确定这批元件是否合格？设总体均值为μ。即需检验假设H0：μ≥1000，H1：μ<1000。
解：步骤：（1）μ≥1000；H1：μ〈1000;（σ =100已知）
（2）H0的拒绝域为
（3）n=25，α = 0.05，,
计算知
(4）故在α = 0。05下，拒绝H0，即认为这批元件不合格。
12。[十一] 一个小学校长在报纸上看到这样的报导:“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视"。她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。为此她向100个学生作了调查，得知平均每周看电视的时间小时，样本标准差为s=2小时。问是否可以认为这位校长的看法是对的？取α = 0。05.（注：这是大样本检验问题。由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在,当n充分
大时近似地服从正态分布。）
解：(1）提出假设H0:μ≤8;H1：μ〉8
（2）当n充分大时,近似地服从N(0，1）分布
（3）H0的拒绝域近似为≥zα
（4）n=100，α = 0.05，，S=2，由计算知

（5）故在α = 0。05下，拒绝H0,即认为校长的看法是不对的。
14.[十三] 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005（欧姆）.今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆），设总体为正态分布。问在水平α = 0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大？
解：（1）提出H0:σ ≤0。005；H1：σ 〉0。005
(2）H0的拒绝域为
（3)n=9，α = 0。05，S=0.007,由计算知

查表
（4）故在α = 0。05下,拒绝H0,认为这批导线的标准差显著地偏大.
15。[十四] 在题2中记总体的标准差为σ。试检验假设（取α = 0。05）
H0：σ 2 =0.112， H1：σ 2 ≠0.112。
解:步骤（1)H0：σ 2 =0.112； H1：σ 2 ≠0.112
（2）选取检验统计量为
（3)H0的拒绝域为
（4)n=20,α = 0。05，由计算知S 2=0.0925 2，
查表知
（5）故在α = 0.05，接受H0,认为总体的标准差σ为0。11.
16.［十五］ 测定某种溶液中的水份,它的10个测定值给出s=0.037%，设测定值总体为正态分布,σ 2为总体方差。试在水平α = 0.05下检验假设H0：σ ≥0。04%；H1：σ <0。04％。
解：（1）H0:σ 2 ≥(0.04%）2；H1：σ 2 < （0。04％)2
（2）H0的拒绝域为
(3）n=10，α = 0。05，S=0。037%,查表知
由计算知
（4）故在α = 0.05下,接受H0,认为σ大于0.04%
17.[十六] 在第6[五］题中分别记两个总体的方差为。试检验假设(取α = 0。05)H0：以说在第6［五]题中我们假设是合理的.
解：（1)H0：
(2）选取检验统计量为
（3）H0的拒绝域为
（4)n1=8，n2=10，α = 0。05,查表知F0.025（7，9）= 4。20

F0.975（7，9）<F< F0.025（7,9）
（5）故在α = 0。05下，接受H0，认为
18。[十七] 在第8题[七]中分别记两个总体的方差为.试检验假设（取α = 0。05）H0:以说明在第8[七］题中我们假设是合理的。
解：（1)H0：
（2）选取检验统计量
（3）n1=n2=12，α = 0。05,查表知
F0.025（11，11）= 3。34，
由计算知
（4）故在α = 0.05下，接受H0,认为
24。［二十三］ 检查了一本书的100页，记录各页中印刷错误的个数，其结果为
错误个数fi
0
1
2
3
4
5
6
≥7
含fi个错误的页数
36
40
19
2
0
2
1
0
问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布(取α = 0.05）。
解：（1）H0:总体X～π(λ ）；H1：X不服从泊松布;（λ未知）
（2）当H0成立时，λ的最大似然估计为
（3）H0的拒绝域为
（4）n=100

对于j〉3,
将其合并得

合并后，K=4，Y=1
查表知
由计算知
(5）故在α = 0。05下，接受H0，认为一页的印刷错误个数服从泊松分布。