浙江省杭州二中高三年级第五次月考数学试卷理科.doc

浙江省杭州二中2011届高三年级第五次月考
数学试卷（理科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．卷面共150分，考试时间120分钟。
第I卷(共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数等于( ）
（A） （B) (C） （D）
2．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( ）
（A）求数列的前10项和
(B)求数列的前10项和
（C）求数列的前11项和
（D）求数列的前11项和
3．下列命题中，真命题是（ ）
（A) （B)
（C） （D）
4．“”是“直线与圆相切"的（ ）
(A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 (C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
5．在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形的面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为（ ）
（A）32 （B）0。2 （C）40 （D）0。25
6．已知集合则=( ）
(A） （B） （C) （D）
7．要得到函数的图象,只需将函数的图象( ）
（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位 (C)向右平移个单位 （D）向左平移个单位
8．在等比数列中,,前项和为，若数列也是等比数列，则等于（ ）
（A） （B） （C) （D）
9．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则的斜率可以在下列给出的某个区间内，该区间可以是（ )
（A） （B） （C） (D）
10．已知函数，则方程(为正实数)的根的个数不可能为（ )
（A）3个 (B）4个 （C）5个 （D）6个
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．抛物线的焦点坐标是_______________．
12．在二项式的展开式中,各项的系数和比各项的二项系数和大240，则的值为 ．
13．某同学在电脑中打出如下若干个符号：若将这些符号按此规律继续下去，那么在前130个符号中的个数为_____________个．
14．如图，过椭圆上的动点引圆的两条切线,其中分别为切点，，若椭圆上存在点，使,则该椭圆的离心率为____________.
15．设为的外心，若，为的内角，则____________。（用已知数表示）
16．已知,则的最大值与最小值的差为______________。
17．设，,…，是1，2，…，的一个排列,把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）．如在排列6，4,5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为________________．(结果用数字表示)

18．（本小题满分14分)在中,角的对边分别为，且满足。
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ)设
的最大值是5，求的值。

19．(本小题满分14分）如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，……，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第层第个竖直通道（从左至右）的概率为．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道)
（Ⅰ)求的值，并猜想的表达式．（不必证明）
(Ⅱ）设小弹子落入第6层第个竖直通道得到分数为，其中，试求的分布列及数学期望．
20.（本小题满分14分）已知数列的前n项和为，点在曲线上且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）数列的前n项和为且满足,设定的值使得数是等差数列；
（Ⅲ）求证：。

21。（本小题满分15分)如图,在中，已知于，的垂心为且．
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）设，那么能否成等差数列?请说明理由;
（Ⅲ)设直线与直线分别交于点，请问以为直径的圆是否经过定点?并说明理由．

22.(本小题满分15分）
已知函数
（Ⅰ）若,求在上的最小值；
（Ⅱ）若对于任意实数恒成立,求的取值范围；
（Ⅲ）求函数在上的最小值．
参考答案：
1-5 DBAAB 6-10 CDDDA
11． 12． 4 ________
13． 14 14． _______
15．____ 16． 5 ________
17． 144

18．（本小题满分14分）在中，角的对边分别为，且满足。
（Ⅰ)求角的大小；
（Ⅱ)设
的最大值是5，求的值.
【解析】
(I)∵（2a－c)cosB=bcosC，∴(2sinA－sinC）cosB=sinBcosC
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）
∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA
∵0〈A<π，∴sinA≠0.∴cosB=
∵0〈B〈π，∴B=
（II）=4ksinA+cos2A=－2sin2A+4ksinA+1,A∈（0，）
设sinA=t，则t∈.
则=－2t2+4kt+1=－2（t－k）2+1+2k2，t∈
∵k〉1，∴t=1时，取最大值。
依题意得，－2+4k+1=5,∴k=
19．(本小题满分14分)如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，……，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第层第个竖直通道(从左至右）的概率为．(已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）
（Ⅰ)求的值，并猜想的表达式．（不必证明）
（Ⅱ)设小弹子落入第6层第个竖直通道得到分数为,其中，试求的分布列及数学期望．
【解析】
（1），…………2分
…………4分
…………6分
（2）

3
2
1

…………12分
…………14分

20。（本小题满分14分）已知数列的前n项和为，点在曲线上且.
(Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）数列的前n项和为且满足，设定的值使得数是等差数列；
（Ⅲ）求证：。
【解析】 （1）
∴∴，∴数列是等差数列,首项公差d=4∴∴
∵∴ …………4分 …………6分
(2)由，得，∴
∴∴
若为等差数列，则
∴ …………9分
（3)
∴
∴
…………14分
21。（本小题满分15分）如图，在中,已知于，的垂心为且．
（Ⅰ）求点的轨迹方程;
（Ⅱ)设,那么能否成等差数列?请说明理由；
（Ⅲ）设直线与直线分别交于点，请问以为直径的圆是否经过定点？并说明理由．
【解析】（1）设点由题意得,则，由于，于是，又时共线，不合题意．故点的轨迹方程为．设点,则，由点的轨迹方程为． …………4分
（2）设，则，,
故
所以不能构成等差数列． …………9分
（3）设，则,
于是，由三点共线得；由三点共线得，
又，
以为直径的圆的方程为，
即
解得（舍)或．故以为直径的圆必过椭圆外定点． …………15分
22.(本小题满分15分）
已知函数
（Ⅰ）若，求在上的最小值；
（Ⅱ）若对于任意实数恒成立，求的取值范围；
(Ⅲ)求函数在上的最小值．
【解析】（1）对于，当且仅当,即时等号成立，故………4分
(2)由题意对任意恒成立,故，即对任意恒成立，又由可知函数的图像可得其最大值为，故 ……………8分
（3）
①当时,由（2）知，图像关于直线对称，又，故对，
②当时，，
当时,；
当时，
当时，得，
其中．故时； 时．由此当时，
令，且
（A）当,即时，；
（B）当,即时，
(C)当，即时，
综上所述 ……………15分