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基于固有频率和迈克耳孙干涉测杨氏模量.pdf
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1、第 卷第期 年月 物理实验 ,櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶櫶 收稿日期:;修改日期:作者简介:杨子瑜(),男,湖南岳阳人,南京理工大学电子工程与光电技术学院 级本科生 :胡彦姗(),女,浙江金华人,南京理工大学电子工程与光电技术学院 级本科生 :通信作者:王雪珍(),女,浙江温州人,南京理工大学理学院副教授,博士,研究方向为组织光学 :共同第一作者,对本文贡献相同文章编号:()基于固有频率和迈克耳孙干涉测杨氏模量杨子瑜,胡彦姗,王雪珍(南京理工大学 电子工程与光电技术学院;理学院,江苏 南京 )摘要:基于材料的固有振动性质,结合
2、迈克耳孙干涉测量的高精度,将待测材料和全反镜进行固性连接,通过测量干涉中心点光强的周期变化研究材料的固有振动频率,计算出材料的杨氏模量实验将测量对象转换为振动频率,间接测量杨氏模量同时,振动频率的变化可以通过示波器直观显示,固有频率振动稳定且起振操作简单,可通过增加周期数量减小误差关键词:杨氏模量;固有频率;迈克耳孙干涉中图分类号:;文献标识码:杨氏模量 是材 料 抵抗 弹 性形 变 能力 的 标志,也是工程设计中选择机械构件的重要依据之一固体材料杨氏模量的测量是理工院校物理实验中必做实验之一,测量杨氏模量的方法一般有静态拉伸法、梁弯曲法、光杠杆法、振动法、劈尖干涉法等,也可以利用拉伸时金属丝
3、的电阻变化来测量杨氏模量传统杨氏模量的测量方法大部分是对微小形变进行直接测量,本文在动力学方程的基础上结合迈克耳孙干涉的原理,利用材料的固有频率与杨氏模量的关系,通过迈克耳孙等倾干涉条纹中心光斑强度的周期性变化来获取材料稳定振动时的固有频率,从而实现对杨氏模量的间接测量相对于光杠杆法左右的相对误差,在相对误差相差不大的前提下,该方法避免了装置占地面积大、调节和观测困难等问题同时,区别于传统迈克耳孙干涉法是对一定持续作用力下的微小形变的直接测量,导致人为观测困难、受外界作用力变化干扰大,单次只能测得组数据等问题本实验将测量对象转换为振动频率进行间接测量,振动频率的变化可以通过示波器直观显示另外,
4、固有频率振动稳定且起振操作简单,也可通过增加周期数量减小误差实验原理 材料的杨氏模量与固有振动频率的关系根据胡克定律,在物体的弹性限度内,应力与应变成正比,该比值称为杨氏模量,基本公式为犉犛犈犔犔,()其中,犈为杨氏模量,犔为材料的长度,犔为应力作用下的伸长量,犉犛为应力,犔犔为应变将材料制作为如图()所示长为犔、横截面厚为犪、宽为犫的长条棒状,固定一端,对其运动过程中的受力情况进行分析取距离固定端为狓、长度为狓的一小段材料,将其形变放大,由于两端的形变程度不同,设其所受弯曲力矩分别为犕和犕犕,两端的截面受到切应力分别为犉和犉犉,如图()所示可见该段材料中间层犵 犺 犻 犼(只有形变,无拉伸或
5、压缩,在振动角度较小时可视为与狓 狅 狕平面平行)上部被拉伸且下部被压缩,取左侧截面,求其力矩,分析距离中间层为狔的薄层,可以得到作用在该薄层截面的小元面积狊犫狔上的总力为犳狊狊犈狓狔狊,()其中,犳狊为作用在狊上的长度形变应力,为截面的弯曲形变角,狓为犔上的微小段,狔为薄层与中间层的距离,如图所示()()图材料部分形变放大图图材料犵 犺侧平面图图为犵 犺侧的正视图,犗 犗 为该平面的中心线,作用在狊上的力对以犗点的中心线(在中间层内而垂直于纸面)为轴的弯曲力矩,对于整个截面积分记为截面张力对中心轴的弯曲力矩犕为犕犕犈狓狔狊犈狓犐,()其中,犐犫 犪 为截面绕垂直于棒轴转动的惯性矩由于振动幅度
6、十分微小,则有狓狓狓狓狓狓()狓狓狓狓,()其中,(狓,狋)为距离固定端狓的截面在狋时刻振动的位移,为角位移,和为犗点和犗 点侧截面旋转偏角,则狓狓,()犕犈 犐狓()又因为切应力的力矩和弯曲力矩平衡关系,加之狓极小,所以可推知棒弯曲振动时的运动方程为狋犝狓,()其中,犝犈 犐槡犛,为材料的密度,犛犪 犫为截面的面积根据式(),可设弯曲振动时棒中每点都做简谐振动,则(狓,狋)犢(狓)(狋),()其中,为振动频率,犢(狓)为该点做振动的振幅分布函数,将式()代入式(),解得分布函数为犢(狓)犃 槡犝()狓犅 槡犝()狓犆 槡犝()狓犇 槡犝()狓,()其中,犃犇均为常量根据边界条件可求其简谐振动
7、的固有频率,设固定点为原点狅,其边界条件为狓,犢(),犢狓,狓犾,犢狓,犢狓烅烄烆将边界条件代入式()中,可得频率满足:槡犝()犔 槡犝()犔 槡犝()犔 槡犝()犔()利用式()通过图解法确定其基频为犳()犔犈 犐槡犛,()于是得到杨氏模量与基频之间的关系为犈(犔)犳()犐犛()物理实验第 卷 基于迈克耳孙干涉光路测固有频率实验光路如图所示,调整仪器使激光器发出的光通过迈克耳孙光路后形成的干涉中心对准光电探测器的探头当干涉条纹中心为亮斑时,光程差为犱犽 中心点的干涉亮斑每涌出次,相当于平面镜移动半个波长,则犱犖,因此可以测量 量级的微小位移图实验光路图为了更好地展现光程差的变化,图给出了全反
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