基于辅助函数法的耦合Shrodinger-KdV方程的函数解研究.pdf
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1、第44卷第10 期2023年10 月宁夏师范学院学报Journal of Ningxia Normal UniversityVol.44 No.10Oct.2023基于辅助函数法的耦合Shrodinger-KdV方程的函数解研究蔡高明(湄洲湾职业技术学院基础教育学院,福建莆田35 110 0)摘要:利用辅助函数法,得到耦合Shrodinger-KdV方程在参数一1/2 的条件下的一些Jacobi椭圆函数解.根据椭圆函数的性质,将部分椭圆函数解退化为三角函数解和双曲函数解,利用Mathematica对部分波形图模拟,并分析波形图显示空间周期性和爆破性的特点.结果表明,基于辅助函数法得到耦合Shr
2、odingerKdV方程的2 7 组解,其中有15 组椭圆函数解、7 组三角函数解和5 组双曲函数解,它们具有对称性和空间周期性及爆破性的特点。关键词:耦合Schrodinger-KdV方程;辅助函数法;精确行波解;椭圆函数类型中图分类号:0 17 5收稿日期:2 0 2 3-0 6-2 9作者简介:蔡高明(19 7 7 一),男,福建莆田人,讲师,硕士,研究方向:微分方程,文献标识码:A文章编号:16 7 4-1331(2 0 2 3)10-0 0 35-11随着现代科学技术的快速发展,非线性现象已经渗透到自然科学与工程技术的各个领域,越来越引起人们的重视.自然科学中的许多现象可以归结为非线
3、性问题,如孤波混沌、吸引子、分形和逆序结构都是非线性问题1-2 1.对非线性发展方程的研究有着非常重要的价值,也一直都是数学和物理学家所关注的重要对象.在求解非线性发展方程的精确解中,新的求解方法和分析手段不断出现,一些常用的求解方法,如:辅助函数法3、齐次平衡法4、Jacobi椭圆函数展开法5、双曲函数法6 等被广泛应用并不断改进,得到一些非线性偏微分方程的孤波解、扭结波解、尖波解、呼吸子解等.对于耦合Schrodinger-KdV方程,其精确解在等离子体物理中有着广泛的应用,如可以用来描述Laugmuir 波、电磁波等7.郝晓红等8 讨论了Schrodinger-KdV方程的可积性.肖婷婷
4、9 利用椭圆函数展开法求解Schrodinger-KdV方程的一些精确解.徐昌智等10 提出一种基于便映射理论的构造非线性方程行波解的方法,并用该方法求得Schrodinger-KdV方程的行波解.陈贺灵等1I借助计算机符号计算技术,利用F-展开法也求得Schrodinger-KdV方程的精确解,其中包括三角函数解、双曲函数解和椭圆函数解.在本文中,讨论iut+urr=uo,=1,为实数的情况,=,t)为实函数,表示非线性色散介质中实长波振幅,t为时间,表示横向传播的位移.同时,借助辅助方程研究该方程的Jacobi椭圆函数解,并分析各个解的波形图显示空间周期性和爆破性的特点.其中,u=u(,t
5、)为复函数,表示复短波振幅,(U,+v0+urr=(/u|2)r,361禾利用辅助方程求解耦合Schrodinger-KdV方程1.1辅助方程的原理对于非线性发展方程的求解过程,从数学角度分析,多数是构造解的过程.将不同类型方程的解设为不同的形式,然后利用特定的思想求解具体的方程.本文利用Jacobi椭圆方程作为辅助方程,进而根据该辅助方程来解耦合Schrodinger-KdV方程的Jacobi椭圆函数解.对于给定的非线性偏微分方程(1)做行波变换,=+ct,u(a,t)=U(s),其中c表示波速.将(2)式代入(1)式,方程简化为下列常微分方程G(U,U,U,.)=0.设(3)式具有如下形式
6、的解U(e)=a;t(e)一般地,$(e)满足如下的辅助方程:i=0(g()2=Qo+q1(E)+Q2 2(E)+Q3(E)+q4g*().为获得椭圆函数解,()满足如下的辅助方程:(g(=)=r+ag()+其中,a;为待定常数,r、a 和b为实数.辅助方程(5)具有Jacobi椭圆函数解.在本文中,做如下记号:sn()=s n(E,m),c n(s)=c n(E,m),d n()=d n(E,m),其中 m(0m-,2 a 3br,把(16)式代人(14)式化简得12蔡高明:基于辅助函数法的耦合Shrodinger-KdV方程的函数解研究pU()+sU()+U()V(=)-U(s)=0,-2
7、U()U(E)+cV(s)+V(3)V(3)+V(E)=0,cU(E)+2pU(E)=0.2-c.设(8)式和(9)式中U()和V()具有如下形式U(e)=2aig(e),V(e)=2b:s(e),n+2=n+l.Vb(1+2p)(V2aV2a-3br),a1=o,力12122cs=aop+2ar.ao37(8)(9)(10)(11)(13)(14)(15)=aobo-aop+2azrao,a1=0,Ju(e)=VB(1+2pa V2a-3/)(V(E)=3bg?(E),3V6(1+20)d2(),6V2(17)(20)238:其中,=十ct,c=4a 十(1十2)(2 a 4a 6 b r)
8、.所以方程(6)的行波解为u(,t)(0(,t)=3bg2(=),其中,$=+ct,=p+st,c=4a+(1+2)(2 a 4a-6br),1)取r=1,a=-(1+m),b=2m,0 m 1时,()=sm(e)或()=(18)式,可得到方程(6)的解ui=V2+4(-(1+m)V1-m+m3msn(s)em,(ui=6msn(s).uz=2+4g/-(1+m)/1-m+m3m U2=6mcn(e)dn?(E)其中,=+ct,=+,c=4(1+m)+2(1+2)(1+m)1-m+m,=6ms=一p?二(1+m)/1-m+mt一宁夏师范学院学报V6(1+2p)(V2a2a-3br)3/6(1+
9、2)6V23/2br力C,S2.当m0时,由(6)式,ul、U i、u 2、U 2 均退化为常数.当m1时,2023年10 月(18)力士2a/2a-3brcn()把它代人dn()(19)cn?()dn?()由(7)式可知,u和i退化为us和,即ua=2+4(213tanh()e,(21)(U3=6tanh?().1.00.5u0.0-0.5241.020.500.02-1-10-0.5X1图 1ul的三维波形图1.00.50.00-0.5X-1.021图2us 的三维波形图2-1.0第10 期蔡高明:基于辅助函数法的耦合Shrodinger-KdV方程的函数解研究391.0上0.55F43-
10、1.0-0.50.5-0.51.0-1.0-0.50.51.0(22)图3ui在=1时的二维波形图图1和图3选取的参数为m=0.5,=1,c=2.9;图2 和图4选取的参数为m=1,=1,c=2.2)取r=1一m,=2 m一1,b=一2 m,0 m 1时,()=cm().把它代人(18)式,可得到方程(8)的解us=/2+4(-(2m-1)/1-m+m3mcm()em,Lu4=-6mcn(=),其中,=+c,=p a+,c=-4(2 m-1)+2(1+2)(2m-1)1-m+m,1*2m-1%+m当m 0 时+由(6)式可知,)均温化为常数。当6m(m-1)力一力?2c,5=图4u3在=1时的
11、二维波形图m1时,由(7)式可知,u和退化为us和Us,即us=2+4p(11)3sech()e,(Us=-6 sech?(=).3)取 r=m-1,a=2一m,b=一2,0 m1时,()=d().把它代人(18)式,可得方程(6)的解u=2+4(-(2一m)1m+mdn(=)e,(U=-6dn(s),其中,=+,n=+st,c=-4(2-m)+2(1+2)(2m)V1-m+m,=2C6(1 m)s=一p2-m/1-m+m(7)式可知,u和退化为us和Us.4)取r=m,a=一(m+1),b=2,0m1时,,()=(18)式,可得到方程(8)的解uz=/2+4g/-(1+m)/1-m+m36s
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