奥数四年级--容斥问题(一).ppt

容斥问题就是包含与排除原理。当两个计数容斥问题就是包含与排除原理。当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。的和中排除重复部分。容斥问题容斥问题(一一)画圈圈图：画圈圈图：分析包含和排除关系，是解决这类问题的捷径分析包含和排除关系，是解决这类问题的捷径 ！这一讲我们先介绍容斥原理这一讲我们先介绍容斥原理1：对对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质质a分类与性质分类与性质b分类，那么具有性质分类，那么具有性质a或性质或性质b的的事物的总数事物的总数=Na+NbN NababNaNbNab例例1 1、一个班有、一个班有5555名学生，订阅小学生数学报的有名学生，订阅小学生数学报的有1212人，订人，订阅今日少年报的有阅今日少年报的有9 9人，两种报纸都订阅的有人，两种报纸都订阅的有5 5人。人。(1)(1)订阅订阅报纸的总人数是多少？报纸的总人数是多少？(2)(2)两种报纸都没订阅的有多少人？两种报纸都没订阅的有多少人？经经典典题题型型(1)(1)根据容斥原理，能很快算出订根据容斥原理，能很快算出订阅报纸的总人数。阅报纸的总人数。订报总数订报总数=小数小数+今日今日-两两种都订的人数种都订的人数订报总数订报总数=12+9-5=16=12+9-5=16 人人总人数总人数55人人订阅小学订阅小学生数学报生数学报的有的有12人人订阅今订阅今日少年报日少年报的有的有9人人两种报纸都订阅的有两种报纸都订阅的有5人。人。总人数总人数55人人单订阅小学单订阅小学生数学报的生数学报的有有12-5=7人人单订阅今单订阅今日少年报日少年报的有的有9-5=4人人一种都没订的一种都没订的55-7-5-4=39人。人。两种两种都订的都订的5人。人。(2)(2)两种报纸都没有订的人数：两种报纸都没有订的人数：一种未订人数一种未订人数=55-16=39=55-16=39人人首先，首先，根据已知条件画圈框图。根据已知条件画圈框图。例例2 2、有、有6262名学生，其中会弹钢琴的有名学生，其中会弹钢琴的有1111人，会吹竖笛的有人，会吹竖笛的有5656人，人，两样都不会的有两样都不会的有4 4人，两样都会的有多少人？人，两样都会的有多少人？经经典典题题型型分析搞清数量关系，是解决数学问题的不二法门。分析搞清数量关系，是解决数学问题的不二法门。依题意，画圈框图。依题意，画圈框图。总人数总人数62人人会弹钢琴的会弹钢琴的有有11人人会吹竖笛会吹竖笛的的56人人两样都不会的两样都不会的4人。人。会两样会两样?人人依图可知，会弹钢琴依图可知，会弹钢琴+会竖笛会竖笛=11+56=67=11+56=67人，人，67 67 总人数总人数6262人人因为两样都会的人重复计数了，因为两样都会的人重复计数了，超出的人数就是两样都会的人数吗超出的人数就是两样都会的人数吗？会两样的是会两样的是 67-62=567-62=5人人 吗？吗？为什么呢？为什么呢？你又错了你又错了只会钢琴只会钢琴 +只会竖笛只会竖笛 +会两样会两样 +两样都不会两样都不会=总人数总人数6262 会两样的会两样的=会钢琴会钢琴+会竖笛会竖笛+两样都不会两样都不会-总人数总人数 =11+56+4-62 =11+56+4-62 =9 =9 人人会钢琴会钢琴 +会竖笛会竖笛 -会两样会两样 +两样都不会两样都不会=总人数总人数6262例例3 3、在、在1-10001-1000的全部自然数中，既不是的全部自然数中，既不是5 5的倍数也不是的倍数也不是7 7的倍数的倍数的数有多少个？的数有多少个？经经典典题题型型依题意，画圈框图。依题意，画圈框图。总总1-1000的自然数的自然数5的倍数的倍数有多少有多少既不是既不是5的倍数，也不是的倍数，也不是7的倍数？。的倍数？。5和和7的的公倍数公倍数分析搞清类别关系，是解决数学问题的不二法门。分析搞清类别关系，是解决数学问题的不二法门。(1)(1)求求5 5的倍数的数量：的倍数的数量：100010005=200(4)(4)根据容斥原理：根据容斥原理：是是5 5或或7 7的倍数的数有：的倍数的数有：200+142-28=314200+142-28=3147的倍数的倍数有多少有多少(2)(2)求求7 7的倍数的数量：的倍数的数量：100010007=142.6(3)(3)求求既既是是5 5的倍数的倍数又又是是7 7的倍数的数量：的倍数的数量：1000100035=28.20总总1-1000的自然数的自然数5的倍数的倍数有有200既不是既不是5的倍数，也不是的倍数，也不是7的倍数。的倍数。5和和7的的公倍数公倍数287的倍数的倍数有有142(5)(5)既不是既不是5 5，也不是，也不是7 7的倍数的：的倍数的：1000-314=6861000-314=686例例4 4、艺术节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作、艺术节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有品，其中有2323幅画不是五年级的，有幅画不是五年级的，有2121幅画不是六年级的，五、幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有六年级参展的画共有8 8幅。其他年级参展的画共有多少幅？幅。其他年级参展的画共有多少幅？经经典典题题型型注意，这种复杂关系的题目还是要先画图。注意，这种复杂关系的题目还是要先画图。总总1-1000的自然数的自然数五年级五年级一、二、三、四年级一、二、三、四年级六年级六年级题目已知数量：题目已知数量：(1)23(1)23幅不是五年级的幅不是五年级的说明，这说明，这2323幅是一二三四、六的幅是一二三四、六的(2)21(2)21幅不是六年级的幅不是六年级的说明，这说明，这2121幅是一二三四、五的幅是一二三四、五的(3)23+21=44(3)23+21=44 就应该是：就应该是：一个一个 五年级的五年级的 +一个一个 六年级六年级 +两个两个 一二三四的一二三四的(4)(4)又已知五、六年级参展的画共有又已知五、六年级参展的画共有8 8幅幅 44-8=36 就是两个 一二三四的 其他年级数量=362=18(幅)1.四(2)班有50名学生，放学前每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人。两种作业都做完的有多少人？练练习习2525人人2、一个旅行社有员工36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？练练习习1010人人3、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖。两项比赛都没获奖的有多少人？练练习习2727人人4、将边长分别为4cm和5cm的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上，已知重叠部分为9平方厘米。两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？练练习习3232平方厘米平方厘米 5、四(1)班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加航模小组，有19人两个小组都参加了。那么有多少人两个小组都没有参加？练练习习1111人人 6、在一次数学测验中，所有同学都答了第一、二两题，其中答对第一题的有35人，答对第二题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？练练习习4343人人7、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人？练练习习103103人人 8、某班上体育课，全班排成4路纵队(每路纵队的人数相等)。小芳排的位置是：从前面数第6个，从后面数第7个。这个班共有多少名学生？练练习习4848名名9、有一根36cm长的绳子，从一端开始每隔3厘米做一个记号，每隔4厘米也做一个记号，然后把标有记号的地方剪断。绳子共被剪成了多少段？练练习习1818段段10、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的，一、二年级参展的作品共32件。其他年级参展的作品共有多少件？练练习习8989件件