2021-2022年高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案：第一章 §1 平面直角坐标系.pdf

2019-2020年高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案：第一章 1平面直角坐标系1.平面直角坐标系与曲线方程(1)平面直角坐标系中点和有序实数对的关系：在平面直角坐标系中，点和有序实数对 是一一对应的.(2)平面直角坐标系中曲线与方程的关系：曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹.在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：曲线C卜的点的坐标都是方程f(x.力=0的解；以方程fix,y)=0的解为坐标的点都在曲线。上.那么，方程人乂力=。叫作曲线。的方程，曲线。叫作方程Hx,力=0的曲线.(3)一些常见曲线的方程：直线的方程：ax+Cy+c=。;圆的方程：圆心为(a,8),半径为r的图的方程为(X a)2+(y 8)2=/；椭圆的方程：中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为2a,短轴长为26的椭圆方程为 2 2X Vf+Z=1;a b双曲线的方程：中心在原点，焦点在X轴上，实轴长为2a,虚轴长为26的双曲线方 2 2程为定二其；抛物线的方程：顶点在原点，以X轴为对称轴，开口向右，焦点到顶点距离为卷的抛物线方程为y=22.平面直角坐标系中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或J轴的单位长度,将会对图形产生影 响.合作探究1.如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？提示：如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点；如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴；使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上；如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程.2.平面直角坐标系中的伸缩变换可以改变图形的形状，那平移变换呢？提示：平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状、大小.对应学生用书P1平面直角坐标系中曲线方程的确定与应用例1(1)已知椭周G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为券，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,求椭周G的方程.在边长为2的正回中，若P为内一点，.PA2=PB2+PC求点的 轨迹方程，并画出方程所表示的曲线.思路点拨本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合 思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等.解答此题中需要根据已知 条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解,再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线.精解详析(1)由已知设椭圆方程为2 2了+了=1(aZ?0)则 2a=12,知女,二丁，故 c=3/5.a z=3 /=36 27=9.x y.椭圆的标准方程为正+看=1.3b 9(2)以比所在直线为x轴，鹿的中点为原点，式的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设尸(X,力是轨迹上任意一点，又Ia1=2,.(1,0),以1,0),则加0,他)；：PA2=PB2+PC*,x+(y/3)2=(x+I)2+y+x I)2+/.化简得*+(y+3)2=4.又.尸在/比1内，/.y0./点的轨迹方程为X、(y+S)2=4(yo).其曲线如上图所示为以(0,-3)为周心，半径为2的园在x轴上半部分圆孤.方法规律小结1.求曲线方程的方法：(1)已知曲线类型求方程一般用待定系数法；(2)求动点轨迹方程常用的方法有：直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接 求曲线的方程，步骤如下：a.建立适当的平面直角坐标系，并用(x,力表示曲线上任意一点必的坐标；b.写出适合条件P的点必的集合P=阴P(删;c.用坐标表示条件皿的，写出方程F(x,y)=0；d.化简方程Ax,力=0;e.检验或证明d中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则e可以省略.定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程.代入法(相关点法)：如果动点(X,力依赖于另一动点。(为，71),而0(入，力)又在 某已知曲线上，则可先列出关于x,匕为，内的方程组，利用乂 y表示为，,把小，力 代入已知曲线方程即为所求.参数法：动点P(X,力的横坐标、纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其 轨迹方程.2.根据曲线的方程画曲线时，关键根据方程判定曲线的类型，是我们熟知的哪种曲线,但要注意是曲线的全部还是局部.1.在四。中，底边比=12,其他两边四和四上中线2和龙的和为30,建立适当 的坐标系，求此三角形重心G的轨迹方程.解：以所在直线为*轴，%边中点为原点，过原点且与肉垂直的直线为y轴建立 平面直角坐标系，贝!夙6,0),。(一6,0),|劭|+|倒=30,2可知|阳+|GC|=(|M+CE)=20,o.重心G的轨迹是以(-6,0),(6,0)为焦点，2a=20的椭圆，目件0,其轨迹方程为:2 2x y.,、+-=1(10),例2如图，以Rt/回的两条直角边AB,方。向三角形外作正方形力应应和正方形及W7,利用坐标法解决平面几何问题连接用AF,且比；交于点明 连接创求证：BM_UC.思路点拨本题考查坐标法在解决平面几何中垂直、平行、线段相等、平分等问题中 的应用，解答此题需要先建立适当的平面直角坐标系，设出相关点的坐标，求出相关线的方 程，求出服/,履，证明康履=一1,即可.精解详析如图，以两条直角边所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系.设正方形 25%和正方形 5。%的边长分别为 a,b,则 4(0,a),5(0,0),Cb,0),E(a,a),F(b,-6).直线AF-y+8 a+bx-b6?即(a+6)x+by ab=0;直线1:y0 xb a 0-a 1j即 ax+(a+t)y ab=Q.解方程a+b x+by ab=0,ax+a+b y ab=0,f 3 b户才+助+片alja+ab+If即点的坐标为匕,百b)b 0 a故 kBM=-.又 kAc=a b-0aP*kBM k/ic=-1,：.BMAC.方法规律小结-、坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题 中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第 三步，把代数运算结果翻译成几何结论.2.已知正回的边长为a,在平面上求一点夕使1必+|阳2+|用最小，并求出 此最小值.解：以比所在直线为x轴，比的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系,则(。,判,心,0)4f,0)设尸(x,y),PA1 2+PB2+PC21 x y(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的5,则赤+3=1 z zo y的图形如图.1 x y(3)如果y轴上的单位长度不变，x轴上的单位长度缩小为原来依层 则宏+5=1的图2 25 9=，+(/-坐)+(*+f)+/+(*-f)+/L 弓孑=3/+3y-y/iay+=3/+3(一即，+a,当且仅当x=。，片支时，等号成立,所求最小值为才，此时P点坐标为/(o,匈它是正府的中心.平面直角坐标系中的伸缩变换例3在下列平面直角坐标系中，分别作出五+之=1的图形.zb y(I)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍.思路点拨本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换对图形的影响及数形结合思想,解 决此题只需根据坐标轴的伸缩变换找出变换后x轴、y轴单位长度的变化情况，再作出图形 即可.2 2精解详析(1)建立平面直角坐标系使X轴与y轴具有相同的单位长度，贝脸+5=1形如图.方法规律小结-一般地，在平面直角坐标系xOy中：(1)使x轴上的单位长度为y轴上单位长度的左倍(A0),则当a=1时，x轴与y轴具X=X,有相同的单位长度；即为，的伸缩变换，当A1时，相当于X轴上的单位长度保Ly=yX，x9持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的;，即为,1 的伸缩变换，当00,点力的坐标为（1,1）,点方在抛物线y=/上运动，点0 满足=）,经过点。与x轴垂直的直线交抛物线于点X点满足=2,求点的轨迹方程.命题立意本题考查直线和抛物线的方程、平面向量的概念、性质与运算、动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问 题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.自主尝试由=/知。，朋三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设 P(x,y),Q(x,K),(x,*),则/必=/(y*),即y0=(1+Ax-/y.再设尔氏，y）,由=）,即（牙一小，%一 巾）=/（1 一为 1一%）,X 解得L/1=1+X X A,1+1.%4.将式代入式，消去K,得X=1+/x A,-2 2 y=1+/.x A 1+/.y A.又点方在抛物线y=V上，所以弘=看再将式代入=3,得(1+A)2x A(1+A)y-/=(1+A)x/(1+/)2x 2(1+/)y/=(1+/)2*2/(1+/)x+A2/(1+)x-/(1+/)y-/(1+/)=0.因2 0,两边同除以/(1+/),得2x y 1=0.故所求点的轨迹方程为y=2x-1.对应学生用书P4一、选择题1.方程/+盯=0的曲线是()A.一个点 B.一条直线C.两条直线 D,一个点和一条直线解析：选C方程变形为x(x+y)=0,.x=。或x+p=0,而方程x=0,x+y=。表示的是直线，正确.2.已知a1的底边比长为12,且底边固定，顶点4是动点，且sin夕-sin C=；sin 4若以底边比1为x轴、底边比1的中点为原点建立平面直角坐标系，则点/的轨迹方程是2 2 2 2A互药=1 B.5药=l(x3)2 2 2 2C历=1 D.药-=l(x-3)解析：选B由题意知，夙 6,0),7(6,0)1gl由 sin B sin C=sin A b c=a6,即|力。|一|羽=6.所以点/的轨迹是以尔-6,0),以6,0)为焦点，2a=6的双曲线的左支且y2 2X V、/13.已知一椭园的方程为石+彳=1,如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度依心 则 16 4 2该椭圆的形状为()解析：选B如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的则该 椭圆的形状为选项B中所示.4.平面内有一条固定线段明I 1=4,动点尸满足I序阳=3,。为四的中点,贝力伊I的最小值是()3 1A-2 B，2C.2 D.3解析：选A以的中点。为原点，力方所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，3则点尸的轨迹是以4%=4,c=2,2a=3,9 7,4=1-4=4一厂?2 2 q.点尸的轨迹方程靖1=i O).4 43由图可知，点夕为双曲线与x轴的右交点时，|伊|最小，|伊|的最小值是了二、填空题5.已知点4(-2,0),尔-3,0),动点尸(x,力满足=f+1,则点尸的轨迹方程是y=x+1,-1矛0,故其面积为2x5x2x1故正确.解析：由题意得=(-2 x,y),=(3 x,y).=(2 x)(3 x)+(y)2=/+1.即炉+5x+5=0.答案：/+5x+5=06.在平面直角坐标系中，。为原点，已知两点44,1),尔-1,3),若点。满足=%+亿 其中勿，60,1,且加+=1,则点。的轨迹方程为.解析：由题意知，4 B,。三点共线且。在线段44上，点4夕所在的直线方程为2x+5y13=0,且点。的轨迹为线段4瓦 所以，点。的轨迹方程为2x+5y13=0,在一 1,4,答案：2x+5y13=0(lx4)7.在平面直角坐标系中，设点Hx,力，定义181=1引+3,其中。为坐标原点，对以下结论：符合|0户|=1的点P的轨迹围成图形面积为2;设尸为直线Sx+2y-2=0上任意一点，贝小。川的最小值为1;设尸为直线y=Ax+6(，600上任意一点，则“使I。冏最小的点尸有无数个”的必 要不充分条件是“k=1”.其中正确的结论有_.(填序号)解析：在中，由于1。*=1ry x+1,0矛1,y x 1,1 矛|才+H=|O+1)x+b,当，=一1时，1|十3|引满足题意,即+3，一引=I(女-1)入一引,当左=1时，1x1+3满足题意,故正确.答案：8.曲线。是平面内与两个定点(-1,0)和(1,0)的距离的积等于常数4(a 1)的点 的轨迹.给出下列三个结论：曲线。过坐标原点；曲线。关于坐标原点对称；若点在曲线。上，则心的面积不大于!决其中，所有正确结论的序号是_解析：因为原点。到两个定点(-1,0),(1,0)的距离的积是1,而al,所以曲线。不过原点，即错误；因为(-1,0),K(1,0)关于原点对称，所以加 II在1=才对应的 轨迹关于原点对称，即正确；因为S6和=；|历|sin 历|=#,即面积不大于吴，所以正确.答案：三、解答题 79.如图所示，中，角A,B,。所对三边分别为a,b,c,且 人(一1,0),以 1,0)./(1)求满足力ac,九a,。成等差数列时，顶点)的轨迹方程.r一一；(2)在x轴上的单位长度为y轴上单位长度的;倍的平面直角坐标系中作出(1)中轨迹.解：=，a,c成等差数列，/?+c=22=2 x 2=4.即|AB+|NC|=4|BC=2符合椭圆定义条件.动点/(x,力的轨迹是椭园，目2a=4,=2,2c=2,c=1,.J点的轨迹方程是t+=1.由于力即可知4点轨迹是椭圆左半部分，还必须除去点(0,-3)，(0,4 B,。构成三角形，.必须除去点(-2,0).所求轨迹方程为了+=1(-2K0).4 u X V如果y轴上的单位长度不变，矛轴上的单位长度缩小为原来的，7+t=1(-260,a,6为常数)，动周G:f+沃尔a.点儿4分别为G的左、右顶点，G与G相交于4 B,Ct 四点.求直线AA与直线48交点的轨迹方程；(2)设动圆G:V+与c相交于，夕，/,少 四点，其中从以2t#tz.若矩形力打切与矩形小B C 的面积相等，证明：A+4为定值.解：设4(*,内)，夙由，-y1),又知4(a,0),A(a,0),则直线4/的方程为yV直线46的方程为丁=(a-).x a由得/七(系一才).2 2由点4(司，71)在椭圆G上，的。+71=z?2|x y，代入得力一7=1(叱一%八)设A(电，由矩形ABCD与矩形A B C D的面积相等，得4|用|力|二41 吊|用 I,+卜T 2 2 2 2故 xiy=x2y2.因为点4/均在椭圆上，所以X1a.X2a,由t丰方2,知X、*x.z,所以N+为=a.从而,+为=6,因此A+=a2+Z,2为定值.