福建省南平市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题.doc

福建省南平市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题

福建省南平市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题

年级：
姓名：

14

福建省南平市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题
（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数满足（其中为虚数单位），在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2．下列命题中假命题是
A. B.
C. D.

3．设函数 (为常数）则“”是为奇函数的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4．阿基米德（公元前287年—公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家。他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础.他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为
A． B． C． D．

5．已知是函数的极小值点，则函数的极小值为
A. B. C. D. ４

6．若直线的方向向量，平面的法向量，则
A． B．
C． D．或

7．函数有两个零点，则的取值范围为
A.　　　　B.　　　　　C. 　　　D.

8． 如图，已知为双曲线的左焦点，过点的直线与圆于两点（在之间），与双曲线在第一象限的交点为，为坐标原点，若，,则双曲线的离心率为
A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9． 下列说法正确的是(        )
A. 命题“”的否定是“”
B. 是的充分不必要条件
C.若，则
D.定义在上的偶函数的最大值为

10． 已知双曲线的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线上，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记的斜率分别为，，则下列说法正确的是
A．双曲线的方程为 B．双曲线的渐近线方程为
C．点到双曲线的渐近线距离为 D．为定值

11．如图，已知在棱长为2的正方体中，为上的动点。则下列结论正确的有
A．当运动到中点时，直线BP与平面ABCD所成角的正切值为
B．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
C．当在直线上运动到某一点时，直线与平面所成角为
D．当在直线上运动时，△的面积存在最小值

12．已知：是奇函数，当时，，，则
A． B.
C. D.

第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若复数为纯虚数 (为虚数单位)，则实数________．

14．已知向量，，若与互相垂直，则实数的值为 ．

15．在“中国花灯之乡”——广东省兴宁市，流传600多年的兴宁花灯历史文化积淀浓厚，集艺术性、观赏性、民俗性于一体，扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯，一大批中小学生花灯爱好者积极参与制作花灯．现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着其对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为,上顶点为，分米，在它的内部放有一个半径为分米的球形灯泡，球心在轴上,且分米．已知球形灯泡的球心到四周轮廓上的点的最短距离是在下顶点处取到，建立适当的坐标系可得其中一支抛物线的方程为，则实数的取值范围是_______

16．已知：，若有最值，则的取值范围为　　　　　　；
若当时，，则的取值范围为　　　　　　　　　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
设，实数满足.
（1）若，且都为真命题，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（本题满分12分）
设抛物线的焦点为，是抛物线上的点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于不同的两点，且，求直线的方程.

19．（本题满分12分）
某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为元，预计当每件产品的售价为元（）时，年销量为万件。若每件产品的售价定为6元时，预计年利润为27万元
（1）试求每件产品的成本的值；
（2）当每件产品的售价定为多少元时？年利润（万元）最大，并求最大值．

20.（本题满分12分）
如图①，在等腰梯形中，，，，，，将沿折起，使平面平面，得到如图②所示的四棱锥，其中为的中点．

（1）试在线段上找一点，使得∥平面，并说明理由；
（2）求二面角的余弦值．

21.（本题满分12分）
已知离心率为的椭圆的两个焦点分别为、．过的直线交椭圆于两点，且的周长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点作圆：的切线、交椭圆于两点，求面积的最大值．

22.（本题满分12分）
已知，函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若直线是函数图象的切线，求证：当时，．

南平市2020—2021学年第一学期高二年级期末质量检测
数学参考答案及评分标准
说明：
1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．D 7．C 8．D
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．BD 10．AD 11．ABD 12．ACD
三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．
13． 14． 15． 16．，
注：16题第一空2分，第二空3分．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）
【解析】（1）若，则
可化为，得．…………2分
若为真命题，则．…………3分
∴ 都为真命题时，的取值范围是．…………5分
（2） 由，
得． …………6分
，是的充分不必要条件，
∴ 是的真子集，…………8分
则  得， …………9分
∴ 实数的取值范围是．…………10分
18. （本小题满分12分）
【解析】（1）因为是抛物线上的点，所以，…………2分
解得，
则抛物线C的方程为. …………4分
（2）设，
当直线斜率不存在时，方程为，此时，不合题意，舍去.…5分
设直线方程为
由得
易知， …………7分
由抛物线的定义知 …………8分
则
…………10分
解得，所以直线的方程为 …………12分
19. （本小题满分12分）
【解析】（1）由题意得：，（）………………2分
当时，，解得：………………4分
（2）由，（）
得：
由，得或（舍）………………8分
当时，
当时，
所以当时，万元
即每件产品的售价定为5元时，年利润最大，最大值为32万元………………12分

20．（本小题满分12分）
解：（1）为的中点，证明如下：
连接
∵分别为，的中点，
∴……………………………2分
又
平面，
∴平面…………………………4分
（2）

由题意知，， 两两垂直，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，……………5分
∵在等腰梯形中，，，，，
∴，，，
∴，，，，
，．………………………7分
设平面的法向量为，
则即
令，则， ，
∴ 为平面的一个法向量．…………………………9分
又平面的一个法向量为： ………………10分
则． ……………11分
设二面角的平面角为，由图可知

∴二面角的余弦值为． ……………………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）因为的周长为8，所以，由椭圆的定义可得，即， ……………2分
又椭圆的离心率为 ，所以，所以，……………4分
所以椭圆E的标准方程为； ……………5分
（2）设，直线l的方程为，
因为直线l与圆相切，所以，即，……………6分
又直线l与椭圆的方程联立，整理得，
，， ……………8分
所以，……9分
又点O到直线l的距离为1，所以，
当且仅当，即时，取等号， ……………11分
所以的面积的最大值为1． ……………12分
22．（本小题满分12分）
解：（1） ……………1分
当时，，的单调递增区间为
当时，由，由，得，
当时，，当时，
所以的单调递减区间为，
的单调递增区间为
综上所述：当时，，的单调递增区间为
当时，的单调递减区间为，
的单调递增区间为……………5分
（2）直线是函数图象的切线，设切点为（），
则，即
因为切点在切线上，所以
又
所以
解得： ……………7分
当时， ，等价于
等价于 ……………8分
设
则=
因为，，由得
当时，，当时，
所以，即
所以 ……………12分