承前启后的大学数学2010.07.28.doc

承前启后的大学数学2010.07.28 作者： 日期：2 个人收集整理 勿做商业用途【新】承前启后的大学数学四川大学数学学院,马洪2010-07-20于拉萨西藏大学2010-07-28于成都四川大学个人简介马洪，1969年毕业于四川大学数学系基础数学专业,现为四川大学数学学院教授、博士生导师，研究方向为随机信号处理。读书心得有人说数学是艰深的、抽象的、枯燥的；但其实数学也是简单的、直观的、有趣的。我对数学的理解 数学的框架是简单的、 数学的原理是直观的、 数学的思想是有趣的.承前启后的大学数学1、中学数学：初等数学研究静止的、不变的各种自然现象、社会现象、工程现象的数学2、大学数学：高等数学研究运动的、变化的各种自然现象、社会现象、工程现象的数学从初等数学到高等数学的历史沿革（一）中学数学回顾：初等数学在中学数学中学习了几种初等函数，其中最简单的就是线性函数：1 一元线性函数：y = 从“一维实线性空间”到“一维实线性空间”的“线性映射 原像空间 像空间2 多元线性函数：Y= 从“n维实线性空间”到“一维实线性空间的“线性映射”原像空间 像空间（二） 大学数学回顾：高等数学（1)线性代数:数字信号处理的基础线性代数在做什么?其实它就做了一件事情，就是将中学的线性函数的像空间从一维扩展到多维，研究“多维实线性空间”到“多维实线性空间”的“线性映射”:,即从“n维实线性空间”到“m维实线性空间”的“线性映射” 函数（映射）的三要素：定义域、值域、对应关系线性代数首先研究的就是线性映射的定义域和值域：它的定义域和值域都是“有穷维的向量空间”（也称有穷维线性空间），所以线性代数首先讲的就是有穷维向量空间的定义及性质；然后再研究对应关系：从“n维线性空间到“m维线性空间”的一个线性对应关系表现出来就是一个矩阵，因此线性代数主要研究矩阵,它研究了各种各样的矩阵及其性质。所以线性代数的研究内容用一句话来说就是：研究“有穷维线性空间”到“有穷维线性空间”的“线性映射”有穷维线性空间：映射的“原像空间”和“像空间”有穷维线性映射：矩阵（2）泛函分析：现代信号处理的理论基础！数学作为一种工具要应用到各个领域中去解决实际问题，而在实际应用中我们遇到得最多的是连续参数函数,比如语音信号、雷达信号、股市行情、气温变化。以手机通话为例,手机作为一个系统:完成语音信号与无线电信号的相互转化.因此它可以被看作为映射（或曰算子）。如果我们把输入的一个语音信号看作一个向量的话，这个向量的维数是多少?无穷维！工程中这样的东西多了，手机、雷达、电视机、录音机，这些系统实际上都可看作我们数学上的映射：把一个无穷维的向量（信号）和另一个无穷维的向量(信号）对应起来.比如手机具有发送（把语音信号转换为无线电信号）和接受(把无线电信号转换为语音信号）两种功能,这两种功能分别由两个电子信息子系统来实现，这两个子系统实际就是两个算子.我们知道，语音信号、无线电信号都是能量有限信号,用数学的语言来描述，就是平方可积函数，而平方可积函数的全体就是空间，从而是Hilbert空间.所以一部手机实际上就是“Hilbert空间”到“Hilbert空间”的一个算子。如果电子信息系统是线性系统，就意味着我们的映射作为算子是线性算子，这就是为什么线性泛函分析构成了现代信号处理的理论基础的原因。如果我们也用一句话来描述线性泛函分析这门课程的主要内容,那就是:文档为个人收集整理，来源于网络本文为互联网收集，请勿用作商业用途研究“无穷维线性空间”到“无穷维线性空间”的“线性映射”无穷维线性空间：线性算子的“原像空间”和“像空间”无穷维线性映射：线性算子比较一下线性代数与线性泛函分析的一句话描述，我们惊奇地发现，它们是那样的相似，唯一的区别是“有”与“无”。但失之毫厘，谬以千里，一字之差，带来的是“有穷”与“无穷的本质区别。因此，在学习泛函分析的时候,我们要注意比较线性代数和线性泛函分析研究内容的异同：相同之处:它们共同关心的问题是映射的“线性性不同之处:其“原像空间”、“像空间”分别为“有穷维”与“无穷维”典型的无穷维线性空间如,完备的线性距离空间完备的线性赋泛空间(Banach空间）完备的线性内积空间（Hilbert 空间）（3）数学分析（又称微积分）的基本框架、核心内容：数学分析的核心内容：用“极限”这一手段,研究实函数的“连续性”和“光滑性1函数的“连续性”:用表示定义于上的连续函数的全体。2函数的“光滑性”：用表示定义于上的光滑函数的全体。我们用表示定义于上的m阶可微（m阶光滑）函数的全体显然，我们有微分映射(微分算子）：，积分映射（积分算子）：，定理1函数黎曼积分存在的充分必要条件:函数几乎处处连续注1 微分运算把“光滑”变“粗糙”，故可称“微分算子”为“粗糙子” ；积分运算把“粗糙”变“光滑”，故可称“积分算子”为“光滑子” 。注2数学分析中映射“连续性概念的一般化、抽象化属于拓扑学注3数学分析中映射“光滑性”概念的一般化、抽象化属于微分几何注4微积分在工程中的应用数学中的“无穷维向量”（函数）,工程中称为“信号”数学中的“映射”，工程中称为“系统，“线性映射对应“线性系统;“映射”的自变量、因变量，工程上称为“系统的输入、输出。在电子信息理论中，可以通过电子电路搭建“微分器”和“积分器”，也就是说，工程中对“信号”（函数）的微积分运算，可以通过电路来实现.（4）拓扑学（略)（5）微分几何（略)数学学科发展线索框架（一）研究映射的线性性、连续性、光滑性线性性 连续性、光滑性线性代数 数学分析 泛函分析 拓扑学 微分几何线性性、连续性； 连续性； 光滑性线性代数：研究映射的线性性（on实有穷维向量空间）数学分析：研究映射的连续性、光滑性（on实有穷维向量空间）泛函分析:研究映射的线性性、连续性（on抽象无穷维向量空间）拓扑学： 研究映射的连续性（on抽象空间)微分几何：研究映射的光滑性（on抽象空间）（二）研究函数（映射 ）在连续性、可测性条件下的“积分理论数学分析 实变函数 测度论 概率论数学分析：研究“实空间” 到“实空间”的“连续函数”的积分实变函数:研究“实可测空间”到“实可测空间”的“可测函数”的积分概率论：研究“抽象可测空间到“实可测空间”的“可测函数”的积分测度论：研究“抽象可测空间”到“实可测空间”的“可测函数”的积分不同类型积分的异同数学分析：实空间上连续函数的黎曼积分；on诺当测度空间连续函数的黎曼积分实变函数：实空间上可测函数的勒贝格积分；on勒贝格测度空间可测函数的勒贝格积分概率论：抽象空间上可测函数的勒贝格积分；on概率测度空间可测函数的“勒贝格积分”测度论：抽象空间上可测函数的勒贝格积分;on测度空间可测函数的“勒贝格积分”（三） 概率论与随机过程的基本框架1、从概率论到随机过程的基本概念（1)有穷维随机向量（概率论）1一维随机向量：随机变量2n维随机向量:随机向量由于有穷维随机向量的可测性,在其像空间上诱导出测度，即此处的测度称为随机向量的分布。(2）无穷维随机向量(随机过程）-“一族随机变量1可数无穷维随机向量：离散参数随机过程（随机序列)2不可数无穷维随机向量：连续参数随机过程注 关于“随机过程”的三种理解:1、是一族随机变量（一元函数）:对任意给定，2、是一族普通实函数(一元函数）：对任意给定，（称为随机过程的轨道）3、是一个二元函数： 2、随机序列（按统计特性分类）(1）马尔可夫序列（马氏性，即无后效性）（2)平稳序列(平稳性）随机向量 有穷维随机向量 无穷维随机向量（概率论) （随机过程) 可数无穷维随机向量 不可数无穷维随机向量 （离散参数随机过程） （连续参数随机过程）（随机序列) 平稳随机序列 马尔可夫随机序列 （按统计特性分类)（平稳性） （无后效性） 时间序列分析 根据“信号与系统”理论，时间序列分析研究：将“白噪声”输入“线性时不变系统T.”的输出“X(n）”.即 T. X（n）输入 系统 输出根据系统的不同,经典时间序列主要研究:（1）AR(p）模型（只有反馈的模型）；=，这里是白噪声，取整数.T.为带q阶时延的线性时不变因果稳定系统,白噪声为输入，X（n）为输出。（2）MA（q）模型（只有时延的模型)；= T.为带q阶时延的线性时不变因果稳定系统，白噪声为输入,X（n）为输出。（3）ARMA(p,q）模型（既有时延,又有反馈的模型) T.为带p阶反馈q阶时延的线性时不变因果稳定系统，白噪声为输入,X(n)为输出。10