高等数学微分方程试题.doc

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第十二章 微分方程
§12-1 微分方程的基本概念

一、判断题
1.y=ce(c的任意常数)是=2x的特解。 ( )
2.y=()是二阶微分方程。 ( )
3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( )
4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ）
5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ）
二、填空题
1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。
2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
3. 积分曲线y=(c+cx)e中满足yx=0=0, x=0=1的曲线是 。
三、选择题
1．下列方程中 是常微分方程
（A）、x2+y2=a2 (B)、 y+ (C)、+=0 （D）、=x2+y2
2.下列方程中 是二阶微分方程
（A）（）+x2+x2=0 (B) () 2+3x2y=x3 (C) +3+y=0 (D)-y2=sinx
3.微分方程+w2y=0的通解是 其中c.c1.c2均为任意常数
（A）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c1coswx+c2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx
4. C是任意常数，则微分方程=的一个特解是
（A）y-=(x+2)3 (B)y=x3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3
四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1．（其中为任意常数） 2.（其中为任意常数）

五、质量为m的物体自液面上方高为h处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

12-2 可分离变量的微分方程

一、求下列微分方程的通解
1． sec2.tacydx+sec2ytanxdy=0

2． (x+xy2)dx-(x2y+y)dy=0

3． (ex+y-ex)dx+(ex+y-ey)dy=0

4． =cos(x-y).(提示令.x-y=z)

二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解
1． cosydx+(1+e-x)sinydy=0. yx=0=

2.

三 、设f(x)=x+f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)

四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。

五、船从初速v0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。

12-3 齐次方程

一、求下列齐次方程的通解
1 -xsin 2 (x+ycosdx-xcosdy=0

二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
1．xy=x2+y2 yx=e=2e 2.x2dy+(xy-y2)dx=0yx=1=1

三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy的通解

四、设有连结点O(0，0)和A（1，1）一段向上凸的曲线孤对于上任一点
P（x，y）,曲线孤与直线段所围图形的面积为x2，求曲线孤的方程。

12.4 一阶线性微分方程

一、求下列微分方程的通解
1.x+y=xex 2.+ytanx=sin2x

3.+ 4.

二、求下列微分方程满足初始条件的特解
1．cosy+siny =x y 2.(2x+1)ey2ey=4 y

三、已知f(),曲线积分与路径无关，求函数f(x).

四、质量为M 0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。

五、 求下列伯努利方程的通解
1．y′+2y5 2. xy′+y-y2lnx=0

12-4 全微分方程

一、求下列方程通解
1．[cos(x+y2)+3y]dx+[2ycos(x+y2)+3x]dy=0

2.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0

3.eydx+(xey-2y)dy=0

二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解
1 ydx-xdy+y2xdx=0

2 y(2xy+ex)dx-exdy=0

三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0为全微分方程，其中函数f(x)连续可微，f(0)=0,试求函数f(x)，并求该方程的通解。

12-7 可降阶的高阶微分方程

一、求下列各微分方程的通解
1．=xsinx 2. -=x

3.y+()2= 4. (1+ex)+=0

二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
1．2=sin2y y

2. x-ln+lnx=0 y

三、函数f(x)在x>0内二阶导函数连续且f(1)=2，以及(x)-,求f(x).

四、一物体质量为m,以初速度Vo从一斜面上滑下，若斜面的倾角为，摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。

12-8 高阶线性的微分方程

一、选择题
1．下列方程中 为线性微分方程
（A）（）+x=x (B)y
(C) (D)
2.已知函数y1=，y1=，y3=e(x-则
（A）仅y1与y2线性相关 （B）仅y2与y3线性相关
（C）仅y1与y3线性相关 （D）它们两两线性相关
3．若y1和y2是二阶齐次线性方程，+p(x)+4(x)y=0两个特解，c1c2为任意常数，则y=c1y1+c2y2
(A)一定是该方程的通解 （B）是该方程的特解
（C）是该方程的解 （D）不一定是方程的解
4．下列函数中哪组是线性无关的
（A）lnx, lnx2 (B)1， lnx (C)x, ln2x (D)ln, lnx2
二、证明：下列函数是微分方程的通解
1y=c1x2+c2x2lnx(c1 c2是任意常数)是方程x2-3x+4y=0的通解

2y=c1e-x+c2e(c1c2是任意常数)是方程2的通解

三、设y1(x)y2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且y1(x)y2(x).y3(x).线性无关，
证明：微分方程的通解为：

四、试求以y=ex+c2e-x)+ (c1,c2是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。

12-9 二阶常系数齐次线性微分方程

一、选择题
1以y1=cosx,y2=sinx为特解的方程是
（A） (B) (C) (D)
2．微分方程2的通解是
（A）（B）（C） (D)
3．常微分方程，（其中是不等的系数），在初始条件y1x=0=特解是
（A）y=0 (B)y= (C) （D）
4．是微分方程的一个特解，则此方程的通解是
（A） （B）
（C） （D）
5．是微分方程 的通解
（A）（B）（C）（D）
二、求下列微分方程的通解
1． 2．

3． 4．

5． 5.

三、求下列微分方程满足初始条件的特解
1．

2．

四、一质量为m的质点由静止（t=0,v=0）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大小成正比（比例系数为k），求此质点的运动规律。

12-10 二阶常数非齐次线性微分方程

一、选择题
1微分方程，
(A)ax (B)ax+b (C)ax (D)
2.微分方程
（A） （B） （C） （D）
3．微分方程的特解y*形式为
（A） （B） （C） （D）
4．微分方程的特解y*形式为
（A）acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x) (D)acos2x+bsin2x
5. 微分方程的特解形式为y*=
（A）（ax+b）sin2x (B)(ax+b)sin2x+(cx+d)cos2x
（C）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x （D）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f
6. 微分方程的特解形式为
（A） (B)
（C） （D）
二、求下列各方程的通解
1． 2．

3． 4．

三、求微分方程满足的特解

四、已知二阶常系数微分方程有特解，求的值，并求该方程的通解

五、为常数。试求的通解。

六、设，其中f(x)为连续的数，求f(x)。

七、一链长18cm，挂在光滑的圆钉上，一边垂下8cm，另一边垂下10cm，问整个链子滑过钉子需要多少时间？

第十二章自测题一

一、 填空题
1．已知曲线y=y(x)过点（0， ）且其上任一点（x,y）处的切线斜率为xln(1+x2)，则f(x)=
2．以为通解的微分方程是 （其中为任意常数）
3。微分方程ydx+(c2-4x)dy=0的通解为
4．微分方程的通解为 ]
5．已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解e-x,ex,sinx,cosx,则该微分方程为
二、选择题
１．已知函数y=f(x)在任意点x处的增量y=且当xo时，是比x更高阶的无穷小量，y(o)=，则y(1)等于
（A）2 （B） （C） （D）
2 y=y(x)是微分方程的解，且，则f(x)在
（A） x０的某个邻域内单调增加 （B）x０的某个邻域内单调减少
（C）x０处的取极小值 （D）x０处取极大值
3．一曲线通过点m(4.3),且该曲线上任意一点p处的切线在y轴上的截距等于原点到p的距离，则此曲线方程为
（A）（B）（C）（D）
4．下列方程中可利用,降为p的一阶微分方程的是
（Ａ） 　　　　　　 （Ｂ）
（C） (D)
三、求解下列微分方程
1.求ydx+(x2y-x)dy=0，满足的特解，

2.求的通解

四、求的通解。

五、已知，，是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

六、已知函数f(x)可微 ，且对任意实数x,y满足：f(x+y)=,求此函数f(x).

七、火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为m,机车牵引力为F,阻力为a+bv,其中a,b为常数，v为火车的速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律s=s(t).

第十二章自测题二

一、单项选择题
１．设y=是方程的解，若则在点
（A）取得极大值； （B）取得极小值；（C）某邻域内单调递增；（D）某邻域内单调递减；
２．函数是方程的
（A）通解；（B）特解；（C）解，但既非通解也非特解（D）以上都不对
３．微分方程的特解应具有形式（其中，a,b,c为常数）

（A） （B）
（C）a+bcos2x; (D) ax2+bcos2x+csin2x
4.微分方程特解应具有形式
（A）（Ax+Bx）e3x (B)x(Ax+B)e3x （C）x2(Ax+B)e3x （D）Ax3e3x
5.设一动点以等加速度a作直线运动，且其初速度为v0,初始位移为s0，则此质点规律是
（A）s=v0+s0; (B) (C) (D)
6 函数f(x)满足关系式
（A）1n2·ex; （B）1n2·e2x; （C）ex+ln2; （D） e2x+ln2.
二、填空题
1.微分方程的通解y=
2.以为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是
3.以为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是
4.微分方程
三、判断下列方程的类型并求其解
１．求
２．求(xey+1)dx+()dy=0的通解
四、求微分方程的的通解
五、已知函的图形经过原点和点M（1，2），且满足微分方程求
六、设二阶常数线性微分方程的一个特解为试确 定常数并求该方程的通解
七、设函数连续可微，且对任意闭曲线C都有
求