2021-2022学年高中数学-阶段提升课-第一课-数列教案-北师大版必修5.doc
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1、2021-2022学年高中数学 阶段提升课 第一课 数列教案 北师大版必修52021-2022学年高中数学 阶段提升课 第一课 数列教案 北师大版必修5年级:姓名:阶段复习课第一课数列思维导图构建网络考点整合素养提升题组训练一等差、等比数列的判定1.已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.证明是等比数列,并求an的通项公式.【解析】由an+1=3an+1得,an+1+=3an+=3,又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.an+=,因此an的通项公式为an=.2.设Sn为数列an的前n项和,对任意的nN*,都有Sn=2-an,数列bn满足b1=2a1,bn=(n2,nN*).(1
2、)求证:数列an是等比数列,并求an的通项公式;(2)判断数列是等差数列还是等比数列,并求数列bn的通项公式.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2-a1,解得a1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=an-1-an,即=(n2,nN*).所以数列an是首项为1,公比为的等比数列,故数列an的通项公式为an=.(2)因为a1=1,所以b1=2a1=2.因为bn=,所以=+1,即-=1(n2).所以数列是首项为,公差为1的等差数列.所以=+(n-1)1=,故数列bn的通项公式为bn=.判定一个数列是等差或等比数列的方法定义法an+1-an=d(常数)an是等差数列=q(非零常数)an是等比数列
3、中项公式法2an+1=an+an+2(nN+)an是等差数列=anan+2(an+1anan+20)an是等比数列通项公式法an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列an=cqn(c,q均为非零常数)an是等比数列前n项和公式法Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列Sn=kqn-k(k为常数,且q0,k0,q1)an是等比数列提醒:在解答题中证明一个数列是等比(或等差)数列通常用定义法和中项公式法,通项公式法和前n项和公式法常在小题或分析题意时应用.题组训练二数列通项公式的求法1.若数列an是正项数列,且+=n2+3n(nN*),则an=.【解析】因为+=n2+3n(nN*),所以
4、+=(n-1)2+3(n-1)(n2),-,得=n2+3n-(n-1)2+3(n-1)=2(n+1),所以an=4(n+1)2(n2).又=12+31=4,故a1=16,也满足式子an=4(n+1)2,故an=4(n+1)2.答案:4(n+1)22.已知在数列an中,an+1=an(nN+),且a1=4,则数列an的通项公式an=.【解析】由an+1=an,得=,故=,=,=(n2),以上式子累乘得,=,因为a1=4,所以an=(n2),因为a1=4满足上式,所以an=.答案:3.已知数列an满足a1=2,an-an-1=n(n2,nN+),则an=.【解析】由题意可知,a2-a1=2,a3-
5、a2=3,an-an-1=n(n2),以上式子累加得,an-a1=2+3+n.因为a1=2,所以an=2+(2+3+n)=2+=(n2).因为a1=2满足上式,所以an=.答案:4.已知数列an满足a1=2,an+1=(an0,nN+),则an=.【解析】因为数列an满足a1=2,an+1=(an0,nN+),所以log2an+1=2log2an,即=2,又a1=2,所以log2a1=1,故数列log2an是首项为1,公比为2的等比数列,所以log2an=2n-1,即an=.答案:数列通项公式的求法(1)定义法,即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适用于已知数列类型
6、的题目.(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系,求数列an的通项an可用公式an=求解.(3)由递推式求数列通项法.对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.(4)待定系数法(构造法).求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.题组训练三公式法求和1.设an为等差数列,Sn为数列
7、an的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列的前n项和,求Tn.【解析】设等差数列an的首项为a1、公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d,所以即解得a1=-2,d=1,所以=-2+(n-1)=-.而-=-=,所以数列是等差数列,其首项为-2,公差为,所以Tn=-2n+n(n-1)=n2-n.2.已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.【解析】(1)由已知a1b2+b2=b1,又b1=1,b2=, 所以a1=2,an是首项为2,公差为3的等差数列,所以an=2+3(n-1)=3n-1
8、,nN+.(2)由(1)及已知,3nbn+1=nbn,即=,所以bn是首项为1,公比为的等比数列,记bn的前n项和为Sn,Sn=(-+1),nN+.公式法求和注意事项(1)直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比数列公比为参数(字母)时,应对其公比是否为1进行讨论.(2)几类可以使用公式求和的数列等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列,它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求和.奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的,可以分项数为奇数和偶数时,分组求和,分别使用等差数列或等比数列的求和公式.等差数列各项加上绝对值,等差数列各项乘以(-1)n等.题组训练
9、四裂项相消求和1.已知数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn为数列an的前n项和,bn=,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设an的公比为q,由已知,a1+a4=a1+a1q3=9,a2a3=q3=8,所以a1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,nN+.(2)由(1)及已知,Sn=2n-1,bn=-,所以Tn=b1+b2+bn=+=-=1-,nN+.2.(2020邯郸高一检测)已知数列为正项等比数列,满足a3=4,且a5,3a4,a6构成等差数列,数列满足bn=log2an+log2an+1.(1)求数列,的通项公式
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