第一章静力学公理与物体受力分析.doc

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Part 1 静力学(Statics)

Chapter 1 静力学基础

§1－1 静力学基本概念

一、静力学的任务

研究物体在力的作用下平衡的规律及其应用。
平衡（equilibrium）：运动状态不变称为平衡.严格地讲指相对于惯性参考系处于匀速运动或静止状态。一般所谓的平衡状态，是指相对于地面的平衡状态，特别指相对于地面的静止状态.
静力学 静力分析 受力分析，求平衡力 强度、刚度
平衡 满足一定的条件
动力学研究的基础

二、力和力系

1、力（force）

例子：推车、拉伸弹簧

力是物体间的相互作用，这种作用可以使物体的运动状态和形状发生变化 -— 力的效应（effect）。力学只研究力的效应,而不追究其物理来源，事实证明，力的物理来源与力的效应无关。
我们约定，力使物体运动状态发生改变的效应称为运动效应或外效应(external effect）,力使物体产生变形的效应称为变形效应或内效应（internal effect）。
力的大小、方向和作用点是表征力的全部性质的三要素.这三个要素决定了力的作用效果。—-
作用点 —— 力的作用位置的抽象。（实际上不是一个点）

通过力的作
直接接触 场 用点，按力
的方向画出
分布力 集中力 来的线——
可以代换为产生同样效 作用线
果的一个力或几个力(刚体)。

方 向：自由静止的质点受此力产生运动的方向（方位、指向）。

大 小：作用的强弱，产生效果的大小。
国际标准：N、kN，工程制:kgf、tf。

矢量（vector)和标量（scalar quantity）。力是一种矢量，符合矢量的运算法则（定位矢）自由矢量（free vector）?滑动矢量(sliding vector）？固定矢量（fixed vector）？
表示为有向线段，注以或F。
的意义：表示此力，矢量（大小、方向、作用点)。
仅表示此力的大小,
2、力系(system of forces）

同时作用于同一物体或物体系上的一群力，称为力系。
可分为平面力系、空间力系，也可细分为共点力系(system of forces applied at the same point）、汇交力系（system of concurrent forces)、平行力系（system of parallel forces)等等。
力对物体的作用效果取决于它的特征，不同特征的力或力系的作用效果不同。但经验告诉我们,两个不同组合的力系可能对物体产生相同的作用效果。这时，我们就说，这两个力系是等价的，彼此可以代替。
等效力系(equivalent force system）：对物体产生同样力学效果的两个力系,互称等效力系。
在特殊情况下，一个力可以和一个力系等效，这个力就称为该力系的合力(resultant force / composite force）
对等效力系的严格定义将在今后给出.(涉及力系的主矢和主矩）

平衡力系（equilibrium force system）如果物体在一群力的共同作用下处于平衡状态,换言之,这一群力对物体的作用与不加任何力——零力系——等效，这一群力称为平衡力系。
显然，平衡力系各力间互成平衡，平衡力系中的任一力称为其它诸力的平衡力.

三、力学模型（mechanical model）

人们开始研究力学时，建立概念或者定律都是以对自然的直接观察和在生产、生活中的经验为依据的.之后，系统地组织科学实验逐渐成为科研的重要手段.从观察和实际中所得的感觉和经验上升为理性认识，必须抓住事物和现象的内部联系，这样，就必须在被观察的现象（往往是相当复杂的研究对象）中,抽出最重要的、带本质性的因素和特征，而撇开其余次要的、影响不大的东西，这就是科学研究中的抽象化方法（abstract）。
把作机械运动（或受力作用)的物体抽象化，人们提炼并建立了力学模型的概念。以下，是物体的一些力学模型：

1、刚体（rigid body）

受力或温度的变化都会导致物体变形。但如果研究的问题可以或者暂时可以不考虑物体的变形，即可以忽略力的内效应或者说撇开物体的变形性，我们建立起刚体的概念 -— 在受力的情况下保持形状、大小不变的物体。（刚体静力学)

Ex1. 机床主轴 （万分之二到万分之五）

轴承倾角
Ex2。 钢件受拉
(小于原长度的千分之一）

2、质点（particle）
当物体的运动范围比它本身的尺寸大得多的情况下，我们把物体当作只有质量而没有大小的所谓质点，——撇开了物体的广延性。
定义:具有一定质量的几何点称为质点。
·前进中的火车 不同的角度有不同的抽象（例如对车轮上的各点）
·地球绕太阳旋转 ,天文单位（）

3、质点系（system of particles）
定义：许多（有限或无限)相互联系着的质点组成的系统。
可变质点系（机构、流体）,不可变质点系（刚体）

4、连续体（continuum）
真实物体由许多粒子(原子、分子等）组成,在力学中往往把物体当作连续分布的。如果物体的每一个点的力学性质能反映这点附近千千万万真实粒子的平均性能，可称为连续体。在理论力学中，我们只讨论质点、刚体和质点系的力学规律，不讨论连续体的力学规律。

必须说明的是，对一个真实物体采用什么力学模型取决于问题的性质，例如，在探索太阳系中行星的轨迹时，我们把地球作为质点来研究；在计算卫星的轨迹时，我们把地球作为刚体来研究；在考察地球的演化、地震的起因时，我们把地球作为连续体来研究。

§1－2 静力学公理(axioms of statics）

所谓公理（axiom）是指为大量实践证实，不需要作理论证明的命题(proposition)，可以作为推理的出发点。公理不同于定理（theorem），定理需要被证明。
公理亦称公设（postulate）、定律（law / law of nature）、法则(rule）、原则(principle).

一、二力平衡条件(equilibrium condition of two forces）

二力平衡平衡 等值、反向、共线

前提必须是刚体,否则如绳索、橡胶棒等显然不会平衡
定义：在两个力作用下并处于平衡状态的物体称为二力体， —— 可以确定作用线.

力系平衡的基础.

二、加减平衡力系公理

可以在作用于刚体的任何一个力系上附加或除去一个平衡力系,不改变原力系对刚体的作用。
前提仍然必须是刚体 -— 非刚体，可能被破坏。

推论（corollary）1：力在刚体上的可传性。（在刚体上,力可以等同于与其等值、同向、共线的力。）
证明:由公理二，可加、；
A
由公理一，、平衡；
由公理二，可以除去，、
所以，力在刚体上可视为滑动矢.（能否搬来搬去？)

力系简化的基础。
三、力的平行四边形(三角形）法则（parallelogram law of force）

反过来，可分解一个力,有无数解；有必要的附加条件,可以有唯一解。

常用正交分解—— 正交分力(vertical component）。

在平面里，一个力总可以分解为一对正交分力，故若一个力的大小和方向均未知，可以认为它是由在此力所在平面内互相垂直的两个力的合成结果，两个力的方向已知，未知量仅是两个力的大小；如果是空间问题，此力的分力应该是沿正交的三个方向，未知数相应是三个力的大小.

力系合成与分解的基础.

推论2：三力平衡汇交定理:刚体受三力作用而平衡时，若其中任意二力作用线交于某点,则第三力必过此点。
证明:、交点，由推论1，、可以由作用在点的两个力和代替，
为之平衡力，由公理一，与共线，即过点，得证。

四、作用和反作用公理

“任何两个物体相互作用的力总是大小相等，方向相反，沿同一直线，分别作用于这两个物体。”或“与任何作用相应，总有一个与之大小相等、作用线相同而方向相反的反作用存在。”
注意，不是平衡力。

物系平衡的基础。

五、刚化原理（priciple of rigidization）

刚化（或增加刚性） —— 平衡状态不变.把变形体抽象为刚体的条件.刚体平衡条件是变形体平衡的必要条件而非充分条件。
§1－3 力矩及其计算

一、力矩的概念

经验告诉我们，力对（静止)物体的作用可以产生移动和转动两种（外)效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，而描述一个力改变物体转动状态能力的称为力矩(moment of a force）。
《墨经》上有一句话：“招负衡木,则本短标长；两加焉重相若，则标必下，标得权也。”这里的权，隐含力矩的概念。

1、力对点之矩（moment of a force about an arbitrary point）
z

B
O h A
我们先看一个力的转动效应。某力使物体绕某点O（实际上也就是绕由和O确定的平面上过O点且垂直于此平面轴Oz）转动的效应不仅与的大小有关，而且还与的作用线到O点的垂直距离h有关，O点为力矩中心或称矩心（centre of a moment），h称为力臂或臂（arm of force）。乘积就是(对此物体）转动效应的度量，这个乘积取适当的正负号,称为力对点O之矩，简称力矩：
之面积
其中，A、B是力矢两端，我们规定，使物体逆时针转动的力矩为正，使物体顺时针转动的力矩为负.显然，在平面问题中，力矩是一个代数量。
不难看出力矩的性质：
·作用点沿作用线移动，不改变对某点之矩；
·过矩心或，力矩为零;
·互成平衡的两个力对同一点之矩之和为零.

但如果若干个力不在同一个平面内,各个力与矩心所确定的平面的方位各不相同。换一个角度说，某一个确定的力对不同的矩心取矩,一定会牵扯到不同的平面.这样，力对点之矩就不能简单地用逆时针或顺时针来区别，仅靠正负号就不能完全表达出力的转动效应的方向。为此，除了给出力矩的大小和绕轴的转向以外,还要给出轴本身的方位。故对空间力系,表征力使物体绕矩心转动效应的力矩的显现出矢量的特征，即力对点之矩需要用矢量表示，称为力矩矢。
z
B

A
y
O d
x
设力作用于刚体的A点，我们定义力对O点之矩为矢径（)和力矢的矢量积(叉积），记做，O点为矩心。

力矩是一个矢量，与和所确定的平面垂直,力矩矢的大小

这与上述“力的大小与力臂的乘积”是一致的。
力对点之矩矢量自矩心画出，垂直于力与矩心所确定的平面，并按右手法则确定其方向，矢量的模表示力矩的大小，即面积,式中为力的作用线到矩心的垂直距离。力矩矢自O点画出，表示力对确定的点O之矩,这里并没有作用点的意思.显然是起点位于矩心的矢量，即这种矢量在空间的位置是完全确定的，是一个定位矢量或固定矢量。
力矩的量纲[长度]［力] （），SI中用或。
现在我们来计算力矩在直角坐标系中的投影（分量)。取直角坐标系，原点取在矩心,有
，
按叉积定义
如将写成分量形式 则

2、力对轴之矩（moment of a force about an arbitrary axis）

考虑一个分量，

显然，它和作用点的坐标无关。
我们把(这是一个矢量)的分量（这是一个代数量）定义为力对轴之矩.即把对轴上任一点的力矩在轴上的投影称为对轴之矩，记做。
同样,，，分别是力对、轴之矩。
z

O
H A

由此可见，力对某坐标轴之矩等于力对原点之矩在该坐标轴上的投影。
力对z轴之矩实际上就是力在垂直于z轴的平面内的分量(或投影)对此轴与此平面的交点(矩心）之矩，而此力的其余分量对此轴（或此轴与平面的交点）均无矩。由于有矩的分量的作用线与矩心都在同一平面内，因而力使物体绕矩心的转动不是正转（逆时针)，就是反转（顺时针),所以用代数量表示平面内力对点之矩或空间内力对轴之矩已经足够。
即力对点之矩是矢量，而力对轴之矩是标量（代数量）.
力对轴之矩是力使受力刚体绕该轴转动效应的度量，它等于这个力在垂直于这个轴的任意平面上投影对这个平面与转轴交点之矩.可见，力对点之矩和力对轴之矩是两个既有区别又有联系的概念，在空间问题里，前者必须用矢量表示，而后者用代数量表示已足够。当力与转轴共面（力线与转轴相交或平行）时,力对轴之矩为零。
（模)，(绝对值）
显然，，所以，

3、力对点之矩与力对轴之矩的一般关系

一般地说,力对任意轴之矩就是力对这一轴上任一点之矩(矢量）在这根轴上的投影。设力作用在点，是任意一根轴，沿轴的单位矢量是，取轴上任意点，有

由混合积的性质可知，只有当、和三者两两垂直时,的数值才等于与的乘积,这就是前面所说的力矩等于力的大小乘力臂的情况。

力对轴之矩是力使物体绕此轴转动效应的一种度量,如果力的作用线和轴相交或平行（共面），则力对该轴之矩为零，即没有转动效应。反之,为了使力有绕某一轴转动的效应，即力对该轴之矩不等于零，则力必须与轴既不相交也不平行。
,说明力平行于轴或与轴相交，，但；

过点，，。
在计算力矩时,可以把力沿着它的作用线随意地移动，而不影响计算的结果，如图。

z z
方向角

y y
x x
方向角和方向余弦
直接投影：, ，
二次投影:，，

,,.
二、合力矩定理
设有共点力系，作用点是，.力系合力,的作用点仍在，于是合力对点之矩为
所有力的作用点的矢径均为，即

此式表明，共点力系合力之矩等于各个力对同一点矩的矢量和.
将这一关系投影至某轴,例如轴，得

即共点力系合力对轴之矩等于各力对同一轴之矩的代数和.
这就是合力矩定理,对非共点力系，若有合力，定理仍然成立，证明以后给出。
利用合力矩定理，可以简化力矩的计算。下面用合力矩定理求力对轴之矩：

，，
、、均作用于点，
平行于轴，对轴无矩，
对轴之矩是与的乘积（力乘以力臂）,正负由转向确定（从的正方向看过去，逆时针为正，顺时针为负）。

同理，
，与上面的结果相同。
同样的方法可求出对和之矩和.

§1－4 力偶及力偶矩
d

大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成的力系叫做力偶(couple）。螺丝刀的例子。
我们来求这个力系对任意一点的矩：

可见,力偶的对任意点之矩相同,即与所取矩心无关。我们把力偶对任一点之矩称为力偶矩（moment of a couple），用表示(不再注明矩心）

上式中,是和的大小，是两作用线之间的距离，的方向垂直于力偶决定的平面，指向由右手法则确定（大小、方位、转向).

用反证法不难证明，力偶不可能与一个力等效。
*证明：设它与一个不等于零的力等效,取此力作用线上任一点作为矩心，则主矩为零。但已知力偶的主矩不为零，且与矩心的选择无关，故矛盾，得证.

所以,力偶是最简单的力系之一，不要试图将一个力偶进一步简化。
移动 —— 力的大小和方向（投影)
力
物体之间相互作用的基本形式 转动 -- 力矩

力偶 —— 转动 —— 力偶矩

或
可以证明，力偶可以与另一个力偶等效,只要其力偶矩矢相等（大小、方位、转向)，即力偶矩矢是一个自由矢量(可以滑动，也可以搬动）.
换句话说，唯一决定力偶对刚体作用的要素是:
·力偶矩的大小,
·力偶的转向，
·力偶作用面的方位。
既然是矢量，同样可以证明，力偶矩矢和其它矢量一样,可以按矢量代数的运算法则进行各种运算，包括相加、相减等.也只有这样,力偶矩的矢量表示法才有实际的物理意义。
力偶矩矢可以表示为上图的形式。
由许多力偶组成的力系称为力偶系（system of couples）。

§1－5 约束及约束力（constraints and constraint forces)

位移

（绳－约束－受力）

（灯－受绳反作用力）
一、约束的概念

自由体：在空间可以自由运动(获得任意位移)的物体,例如飞行的鸟、飞机、炮弹、火箭等.

非自由体（受约束体)：日常生活所遇到的和工程技术所研究的物体多数不能自由运动，由于它们与周围物体接触,这些物体不可能发生某些方向的位移。例如吊在天花板上的灯、放在桌面上的书、装在门臼上的门、插入墙内的悬臂梁等。吊灯的绳、桌面、门臼、墙分别限制了灯、书、门、梁等运动的自由。工程上这样的例子也很多，如机车、电机的转子、机床上的刀具、桥梁、吊车等等。非自由体又称受约束体.
约束(constraint)：由周围物体所构成的、限制非自由体位移的条件，称为加于该非自由体的约束。为方便起见，也把构成约束的物体称为约束。
约束力（constraint forces）：约束限制非自由体的位移，-—承受非自由体按位移（被阻挡位移）方向传来的力，-—相应地,约束给非自由体以反作用力.约束给非自由体的这种反作用力称约束反作用力，简称约束反力（constraint reaction）、反力、约束力。
显然,·此力方向与阻挡位移方向相反；
·此力是被动的。
它是由非自由体企图摆脱约束而施向约束的力而引起的，故它不能事先单独确定。主动力不存在时，相应的约束反力也不存在；反之,则不一定。
主动力（active forces）：约束反力以外的力称为主动力。主动力是给定的、可测的，例如重力、气体的压力。

二、约束的几种基本类型及其约束反力的特征

1、柔软的绳索约束（柔索约束）

“完全柔软”—— 不抗弯曲、压力，仅能承拉，且自重和受拉后的伸长不计。
非自由体可以在球面上或球内（即向绳内）运动,或者说约束仅限制物体沿柔索伸长方向的运动。所以，约束给非自由体的约束反力只可能是拉力，方向沿柔索本身，背离非自由体。
拉力，方向知，一个未知数.

2、光滑接触面
“光滑”—-接触面完全不阻碍非自由体沿接触处的切面内任意方向的运动，即忽略摩擦力。
非自由体不可能沿公法线压入接触面，故约束反力只能是压力，其方向沿公法线,且指向被约束物体。实例：换言之,压力，方向知，一个未知数。
，
t t

压力角
3、光滑铰链约束(圆柱形销钉连接）
“hinge"在力学中是一个抽象化名词,表示只限制移动，不限制转动的约束类型.

只允许物体绕铰链转动，限制在垂直于铰链轴的平面内任意方向的运动。即只限制两物体的相对移动,而不限制两物体的相对转动.
K 约束 铰链处抽象为一个点。约束反力在接触点处
的公法线上。因为接触点K不能事先确定。故
非自由体 约束反力的大小、方向均不能事先确定。
A
压力,方向不知。可以设为正交分力
—— 两个未知数.
实例：右图A点和B点，双点划线示 O B
出.

4、固定铰链支座（情况与3类似,上图O点）

非自由体

向心轴承
sliding bearing rolling bearing

5、活动（可动）铰链支座（辊轴支座）

允许物体沿支承平面运动，即非自由体沿支承面运动不受限制，相当于支承面是光滑的，但不可上下运动，即不可脱离此面。

z

A y
6、球铰链（空间类型约束)
作用线恒通过铰链中心,而方向不能独立地预先确定。 x

还有其它的约束形式,今后会陆续介绍。

§1－6 物体受力分析及受力图(力学计算的基础，要求运用熟练、绘制准确）

一、有关概念
1、分离体（free body）（研究对象）
设想把所要研究的物体或物体组合所受的约束解除，即将它（它们）从周围物体的联系中分离出来,单独画出,称为分离体.

2、受力图（free body diagram / force diagram）(用约束反力代替约束)
画出分离体及其所受各力(主动力、约束反力)的图，称为研究对象的受力图,它显示了研究对象受力状况之全貌.
受力图中，主动力和约束反力表示了周围物体对研究对象的作用。主动力一般事先给的，而约束反力却需要在解除约束时，从约束性质的分析中逐一画出。
受力图在静力学、动力学及整个力学中的重要性。

3、内力和外力
系统内部各物体之间的相互作用称为内力(internal force）,外部物体对系统的作用称为外力(external force)。(内力、外力的相对性）
系统中的内力成对出现，故在分析研究对象的外效应时,可以不考虑内力。

二、受力图的画法

1、明确研究对象,解除约束;
2、画出研究对象所受全部外力（不画内力）,除主动力外，根据是约束的性质画出约束反力;
3、注意作用力与反作用力关系，善于判断二力体,正确地运用三力平衡汇交定理。
例1： 受力图 大小方向之间的关系，
不是受力图。 ·明确自由体
·确定主动力
·按约束分析约束反力
·检查有否多画或漏画

例2：

例3:

B C D
例4:杆AB和BC在B处以铰相连，A、C均为固定铰，作用在铰销B上，杆重不计。画AB、BC和B的受力图。

B B

讨论铰和铰的受力。
例5：三铰拱

这里,和是一对作用力与反作用力,和是一对作用力与反作用力.但习惯上，当铰上不受其它外力作用时,把和作为作用力与反作用力.
双铰链刚杆连接的情况
—— 双绞刚杆约束（不计自重）

例6：课本第19至20页，1－14第一题。画出图中每个物体的受力图及整体受力图.未画重力的物体的重量不计，所有接触处均为光滑.

第一章习题课

一、内容总结

“五个概念、五个公理、两个推论、一张受力图。"

1、五个概念(平衡、力、刚体、力矩、力偶）

平衡：运动状态不变(相对于地面做匀速直线运动或静止）
静力学是研究物体在力系作用下平衡条件的科学，主要研究：
·物体的受力分析； ·力系的等效变换； ·力系的平衡条件。

力：物体间相互的机械作用（本质），使物体产生机械运动变化或形体变化（效应).在理论力学中,忽略了形体变化 -— 我们讨论的静力学是刚体静力学。
力是矢量。在理论力学中，力是滑动矢量 —— 大小、方向、作用点（线）.

刚体:忽略了力的内效应，撇开了物体的变形性 —— 受力后不变形的物体.

明确下列式子的含义：，，，
当然可以在空间沿任意三个方向把分解成三个矢量、和,但如果三个分量分别是沿着正交的、和三个坐标轴，这样的三个分量实际上已经有了确定的方向，可以写成或。这时的、和或、、不再是矢量，而是标量（代数量）。 力矩、力偶

2、五个公理和两个推理（带*号的,必须是刚体.）

＊二力平衡公理（条件）
推理1
＊平衡力系增减公理（原理) 推理2
力平行四边形法则（三角形法）
作用力反作用力定律
硬化原理

3、一张受力图

求解力学问题的第一步工作，必须熟练、准确。
限制非自由体某些位移的周围物体，称为约束。自由体有摆脱约束的倾向，一旦有此倾向,必然会有力作用于约束。根据牛顿第三定律,约束会对非自由体有反作用力。我们称约束对被约束物体施加的（这个被动）力为约束反力.显然，约束反力的方向与该约束所能阻挡该非自由体的运动方向相反。
这样看来，物体（我们的研究对象)受的力可以分为主动力和约束反力两种，约束反力有时也称约束力.

几种平面约束（柔性、刚性)
·柔索 —— 拉力,沿索,背离物体，作用在接触点.
·光滑面 —— 压力,作用在接触点，沿公法线，指向物体.
·铰链 (母线)
销钉，固定铰支(向心轴承），活动铰支（复合约束），球铰（链)（止推轴承），

画受力图
·解除约束,·主动力,·约束反力（物系受力图不画内力）。

二、习题 1、水平梁AB,A端铰接，B用斜杆BC支