直线与平面垂直的判定.doc

(完整word)直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定
［学习目标］　1.掌握直线与平面垂直的定义。2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题。

知识点一　直线与平面垂直
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面。它们惟一的公共点P叫做垂足
图示

画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

思考　直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？
答　定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的,但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直。

知识点二　直线与平面垂直的判定定理
文字语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
图形语言

思考　线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗?
答　用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,则是无关紧要的.
知识点三　直线和平面所成的角
有关概念
对应图形
斜线
与平面α相交,但不和平面α垂直，图中直线PA

斜足
斜线和平面的交点，图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角;一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角
取值范围
[0°，90°］

思考　若直线l与平面α所成的角是0°角，则必然有l∥α吗？
答　不一定.若直线l与平面α所成的角是0°角,则l∥α或l⊂α。

题型一　直线和平面垂直的定义
例1　直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是（　　)
A。l和平面α平行 B。l和平面α垂直
C.l在平面α内 D.不能确定
答案　D
解析　如图所示,直线l和平面α平行，或直线l和平面α垂直或直线l在平面α内都有可能.故正确答案为D。

跟踪训练1　设l，m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是(　　）
A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
B。若l⊥α,l∥m，则m⊥α
C。若l∥α,m⊂α，则l∥m
D.若l∥α，m∥α，则l∥m

题型二　线面垂直的判定
例2　如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点,过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.
证明　∵PA⊥平面ABC,
∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC。
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C,
∴AE⊥平面PBC。

跟踪训练2　如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E,F分别是棱AB，BC的中点,O是底面ABCD的中心,求证：EF⊥平面BB1O.
证明　∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BO。
又∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴AC⊥BB1，
又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，
又EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.

题型三　直线与平面所成的角
例3　如图所示，已知正四面体ABCD的棱长a，E为AD的中点,连接CE。
（1)求AD与平面BCD所成角的余弦值；
（2）求CE与平面BCD所成角的正弦值。
解　（1）如图所示，过点A作AO⊥底面BCD，垂足为点O，连接OB,OC，OD。
则OB，OC，OD分别是AB，AC,AD在平面BCD上的射影。
∴∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角。
又∵AB＝AC＝AD,∴OB＝OC＝OD.
∴O为△BCD的外心.
∵△BCD为正三角形，∴点O为重心。
又正四面体棱长为a，∴OD＝a×＝a。
∴cos∠ADO＝＝，
∴AD与平面BCD所成角的余弦值为.
(2)取OD的中点F，连接EF，CF.
∵E,F分别为△DAO的边AD,OD的中点，
∴EF为△DAO的中位线。
∴EF∥AO.
又AO⊥平面BCD，∴EF⊥平面BCD。
∴FC为EC在平面BCD上的射影。
∴∠ECF为CE与平面BCD所成的角.
在Rt△EFC中，EF＝AO。
而AO＝＝ ＝a，
∴EF＝a。
∵E为AD的中点，∴CE＝AD＝a.
∴sin∠ECF＝＝＝。
∴CE与平面BCD所成角的正弦值为。

跟踪训练3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E，F分别是AA1，A1D1的中点.
（1)求D1B与平面AC所成的角的余弦值;
（2)求EF与平面A1C1所成的角的大小。
解　（1）如图所示，连接DB.
因为D1D⊥平面AC，
所以DB是D1B在平面AC内的射影。
所以∠D1BD即为D1B与平面AC所成的角.
在Rt△D1DB中，
DB＝AB，D1B＝AB，
所以cos∠D1BD＝＝。
故D1B与平面AC所成的角的余弦值为.
(2）因为E是A1A的中点,A1A⊥平面A1C1，
所以∠EFA1是EF与平面A1C1所成的角.
在Rt△EA1F中，因为F是A1D1的中点，
所以∠EFA1＝45°。
故EF与平面A1C1所成的角的大小为45°.

分类讨论思想

例4　如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0），PA⊥平面AC，且PA＝1，问：BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD?并说明理由。
分析　由于矩形是变动的，在BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD与a有关，故应对a进行分类讨论.
解　因为PA⊥平面AC，QD⊂平面AC，
所以PA⊥QD。
又因为PQ⊥QD,PA∩PQ＝P，
所以QD⊥平面PAQ。所以AQ⊥QD。
①当0＜a＜2时,由四边形ABCD是矩形,且AB＝1,知以AD为直径的圆与BC无交点，即对于BC上任一点Q，都有∠AQD＜90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；
②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q,此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q,使PQ⊥QD；
③当a＞2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2），使PQ⊥QD.

线面垂直

例5　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心,求证：OE⊥平面ACD1。
分析　根据线面垂直的判定定理，要证明OE⊥平面ACD1，只要在平面ACD1内找两条相交直线与OE垂直即可。
证明　如图,连接AE，CE，D1O，D1E，D1B1。设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a,易证AE＝CE.
因为AO＝OC，所以OE⊥AC.
在正方体中易求出：
D1O＝＝＝a,
OE＝＝＝a，
D1E＝＝＝a。
因为D1O2＋OE2＝D1E2,所以D1O⊥OE.
因为D1O∩AC＝O，D1O⊂平面ACD1，
AC⊂平面ACD1。
所以OE⊥平面ACD1。

1。正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为(　　）
A.75° B.60° C.45° D。30°
2。下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是（　　)
A。l与平面α内的两条直线垂直
B。l与平面α内的无数条直线垂直
C.l与平面α内的某一条直线垂直
D。l与平面α内的任意一条直线垂直
3.已知PA⊥矩形ABCD，下列结论中，不正确的是（　　）
A.PB⊥BC B.PD⊥CD
C。PD⊥BD D.PA⊥BD

4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　）
①三角形的两边；②梯形的两边；
③圆的两条直径；④正六边形的两条边。
A.①③ B.② C。②④ D。①②④

5.矩形ABCD中,AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________.

一、选择题
1。已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面（　　）
A.有且只有一个 B。至多一个
C。有一个或无数个 D.不存在
2.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（　　)
A。30° B.45° C.60° D.120°

3.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是（　　）
A.垂直且相交 B。相交但不一定垂直
C。垂直但不相交 D.不垂直也不相交

4。如图所示，PA⊥平面ABC,BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是(　　）
A。4 B.3 C。2 D.1

5。如图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H。那么，在四面体A－EFH中必有（　　）
A。HG⊥△AEF所在平面
B。AG⊥△EFH所在平面
C。HF⊥△AEF所在平面
D。AH⊥△EFH所在平面

6。如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
A。 B. C. D.

二、填空题
7。在直三棱柱ABC－A1B1C1中,BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时,有AB1⊥BC1。(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
8。如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.
9.已知△ABC的三条边长分别是5，12，13,点P到A，B，C三点的距离都等于7,则点P到平面ABC的距离为____.
10。如图所示，PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E,F分别是点A在PB,PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB;②EF⊥PB；③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________.

三、解答题
11。如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1）求证:AN⊥平面PBM.
(2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB。

12。如图所示，在四棱锥P－ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝AB,PH为△PAD中AD边上的高.
(1)证明：PH⊥平面ABCD;
(2）若PH＝1,AD＝，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；
（3)证明：EF⊥平面PAB.

当堂检测答案
1。答案　C
解析　如图，连接AC,BD，两线相交于O,连接SO，则∠SBO就是侧棱与底面所成的角.
易得OB＝。因为SB＝1，
所以SO＝＝。
所以∠SBO＝45°。
2。答案　D
解析　根据线面垂直的定义可知，l垂直于α内的所有直线时，l⊥α.
3.答案　C
解析　如图，由PA⊥矩形ABCD，得BC⊥平面PAB，DA⊥平面PAB，DC⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，则有PB⊥BC，PD⊥CD,PA⊥BD均正确,而PD⊥BD错，故选C.

4。答案　A
解析　由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直。
5.答案　30°
解析　tan∠PCA＝＝＝,∴∠PCA＝30°。

课时精练答案
一、选择题
1.答案　B
解析　若异面直线m、n垂直,则符合要求的平面有一个，否则不存在.
2。答案　C
解析　如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影,则
BC＝AB，
所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角.
3。答案　C
解析　取BD中点O，
连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，
∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，
又BD、AC异面，∴选C.
4。答案　A
解析　∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC.又∵BC⊥AC，AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.
5.答案　D
解析　∵AD⊥DF，AB⊥BE，∴AH⊥HF，AH⊥HE。又∵EH∩FH＝H，∴AH⊥面EFH.
6。答案　D
解析　如右图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C1，与B1D1交于O点，连接OB，由已知A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1。
又∵BB1⊥平面A1B1C1D1,OC1⊂平面A1B1C1D1，
∴OC1⊥BB1.而BB1∩B1D1＝B1,
∴OC1⊥平面BB1D1D.
∴OB是BC1在平面BB1D1D内的射影。
∴∠C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角.
在正方形A1B1C1D1中，
OC1＝A1C1＝×＝.
在矩形BB1C1C中，BC1＝＝＝.
∴sin∠C1BO＝＝＝.
二、填空题
7。答案　A1C1⊥B1C1
解析　如图所示，连接B1C.由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C.因此，要得AB1⊥BC1,则需BC1⊥平面AB1C，即只需AC⊥BC1即可.由直三棱柱可知，只要满足AC⊥BC即可.而A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要满足A1C1⊥B1C1即可。
8.答案　90°
解析　∵B1C1⊥平面ABB1A1,MN⊂平面ABB1A1,∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M,B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°。
9.答案　
解析　由点P到△ABC三个顶点的距离相等可知，P在面ABC上的投影为△ABC的外心.
又∵△ABC为直角三角形，
∴其外心是斜边的中点，即P在面ABC上的投影是△ABC斜边的中点D，如图。
∴点P到平面ABC的距离为PD＝＝。
10.答案　①②③
解析　∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC。又∵AC⊥BC,PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB。又∵AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF。故①②③正确。
三、解答题
11.证明　（1）∵AB为⊙O的直径，
∴AM⊥BM。
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM。
又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，
∴AN⊥平面PBM。
（2)由（1）知AN⊥平面PBM，
PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A,
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.
12。(1）证明　∵AB⊥平面PAD,PH⊂平面PAD，
∴AB⊥PH。
又∵PH⊥AD，AB∩AD＝A，∴PH⊥平面ABCD。

（2）解　∵PH⊥平面ABCD，E为PB的中点，PH＝1,∴点E到平面ABCD的距离h＝PH＝.
又∵AB∥CD，AB⊥AD，∴AD⊥CD,
∴S△BFC＝·CF·AD＝×1×＝,
∴VE－BCF＝S△BCF·h＝××＝.
(3)证明　如图，取PA的中点G，连接GE,DG.
∵DA＝DP,∴DG⊥PA.
∵AB⊥平面PAD，DG⊂平面PAD，∴AB⊥DG.
又∵AB∩PA＝A，∴DG⊥平面PAB.
∵GE∥AB，GE＝AB，DF∥AB,DF＝AB,
∴GE∥FD，GE＝FD,∴四边形DFEG为平行四边形，
∴DG∥EF，∴EF⊥平面PAB。

16