山东省泰安市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题.doc

山东省泰安市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题

山东省泰安市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题

年级：
姓名：

25

山东省泰安市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 已知命题，，则命题的否定为 （ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置.根据描述，从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为 （ ）

A. B. C. D.
5. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，，（ ）
A. B. C. D.
7. 科学研究已经证实，人智力，情绪和体力分别以天、天和天为周期，按进行变化，记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且现在三条曲线都处于轴的同一点处，那么第天时 （ ）
A. 智力曲线处于最低点
B. 情绪曲线与体力曲线都处于上升期
C. 智力曲线与情绪曲线相交
D. 情绪曲线与体力曲线都关于对称
8. 已知定义域为的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足.若，当时，总有，则满足的实数的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若为正实数，，则
B. 若为正实数，，则
C. 若，则“”是“”的充分不必要条件
D. 当时，的最小值是
10. 若为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 函数的图象可能为（ ）
A.
B.

C. D.

12. 已知函数的定义域为，且，.若，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知弧长为cm的弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为___________cm．
14. 已知函数，若，则实数的值为_________．
15. 若函数且在上最大值为，最小值为，函数在上是增函数，则的值是______．
16. 若函数最大值为，则常数的值为_______．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.
（1）若，求实数的取值范围;
（2）若，求实数的取值范围.
18. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
①的最小正周期为，且是偶函数
②图象上相邻两个最高点之间的距离为，且
③与是图象上相邻的两条对称轴，且
问题：已知函数，若 ．
（1）求，的值;
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的单调递减区间.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
19. 己知，且.
（1）求的值;
（2）若，求值.
20. 已知函数，，且.
（1）证明:定义域上是减函数;
（2）若，求的取值集合.
21. 北京时间2020年11月24日，我国探月工程嫦娥五号探测器在海南文昌航天发射场发射升空，并进入地月转移轨道．探测器实施次轨道修正，次近月制动后，顺利进入环月圆轨道，于12月1日在月球正面预选区域着陆，并开展采样工作.12月17日1时59分，嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，标志着我国首次地外天体采样返回任务圆满完成.
某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度(单位:千米/秒)满足，其中，(单位:千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，(单位:吨)表示它装载的燃料质量，(单位:吨)表示它自身的质量(不包括燃料质量).
（1）某单级火箭自身的质量为吨，发动机的喷射速度为千米/秒.当它装载吨燃料时，求该单级火箭的最大速度(精确到);
（2）根据现在的科学水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过千米/秒，请说明理由.
（参考数据：无理数=，）
22. 已知函数，
（1）若，恒成立，求实数的取值范围;
（2）证明：有且只有一个零点，且

泰安市2020-2021学年高一上学期期末考试
数学考试（解析版）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用集合的交集运算求解.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：B
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式求解.
【详解】 ，
故选：C
3. 已知命题，，则命题的否定为 （ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题，可得选项．
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题，，则命题的否定为“，”，
故选：B．
4. 二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置.根据描述，从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为 （ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件，得到从夏至到立秋对应地球在黄道上运动的角度，即可求解.
【详解】根据题意，立秋时夏至后的第三个节气，
故从从夏至到立秋对应地球在黄道上运行了.
故选：D
5. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据终边经过点，且，利用三角函数的定义求解.
【详解】因为终边经过点，且，
所以，
解得，
故选：C
6. 若，，（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数的性质判断，根据指数的性质判断，由此得出三者的大小关系.
【详解】因为，，，所以.
故选：D.
7. 科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以天、天和天为周期，按进行变化，记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且现在三条曲线都处于轴的同一点处，那么第天时 （ ）
A. 智力曲线处于最低点
B. 情绪曲线与体力曲线都处于上升期
C. 智力曲线与情绪曲线相交
D. 情绪曲线与体力曲线都关于对称
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知得第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处，逐一判断可得选项．
【详解】第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处，
A项，则智力曲线不处于最低点，故A错误；
B项，情绪曲线E处于最高点，即将开始下降，故B错误；
C项，经过n个周期后，因为周期不同，所以智力曲线与情绪曲线不一定相交，故C错误；
D项，(322, 0)位于体力曲线P和情绪曲线E的交点x轴上，故D正确，
故选：D．
8. 已知定义域为的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足.若，当时，总有，则满足的实数的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，当，时，总有，转化为，当，时，总有，令，则在上递增，再根据，得到在上是偶函数，将，转化为求解.
【详解】令，
因为，当时，总有，
即，当时，总有，
即，当时，总有，
所以在上递增，
又因为，
所以在上是偶函数，
又因为，
所以，即，
所以即，
解得，
所以实数的取值范围为
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在上是偶函数，将问题转化为求解.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若为正实数，，则
B. 若为正实数，，则
C. 若，则“”是“”的充分不必要条件
D. 当时，的最小值是
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用作差法可考查选项A是否正确；利用作差法结合不等式的性质可考查选项B是否正确；利用不等式的性质可考查选项C是否正确；利用均值不等式的结论可考查选项D是否正确.
【详解】对于A，若，为正实数，，
，，故A正确；
对于B，若，，为正实数，，，则，故B错误；
对于C，若，则，不能推出，
而当时，有，所以成立，即，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，当时，，，当且仅当时取等号，故D不正确.
故选：AC.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10. 若为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项.
【详解】因为为第二象限角,
,,
所以A,B正确，D不正确；
当时，，当时，，所以C不一定正确.
故选:AB
11. 函数的图象可能为（ ）
A.
B.

C. D.

【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.
【详解】当时，，图象A满足；
当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；
当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；
图象C过点，此时，故C不成立.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
12. 已知函数的定义域为，且，.若，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据，利用赋值法求解判断.
【详解】A. 令得，即，因为，所以，故正确；
B. 令，得，即，故错误；
C. 令，得，即，所以，故正确；
D. 令得，所以，故正确；
故选：ACD
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知弧长为cm的弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为___________cm．
【答案】2
【解析】
【分析】
由弧度制公式求解.
【详解】已知弧长为cm的弧所对圆心角为，
因为，
所以，
故答案为：2
14. 已知函数，若，则实数的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求，再代入求，求实数的值.
【详解】，
，即，又，且，
所以.
故答案为：
15. 若函数且在上最大值为，最小值为，函数在上是增函数，则的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解即可.
【详解】当时，函数是正实数集上的增函数，而函数在上的最大值为，
因此有，所以，此时在上是增函数，
符合题意，因此；
当时，函数是正实数集上的减函数，而函数在上的最大值为，
因此有，所以，此时在上是减函数，不符合题意.
故答案为：1
16. 若函数的最大值为，则常数的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.
【详解】因为，
所以，解得，因为，所以.
故答案为：.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.
（1）若，求实数的取值范围;
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
首先分别求解两个函数的定义域，（1）根据集合包含关系，列不等式求解的取值范围；（2）根据，得，求的取值范围.
【详解】由题知，
，解得：，

（1）若，则，即，
实数的取值范围是.
（2）若，则，即，
实数的取值范围是.
18. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
①的最小正周期为，且是偶函数
②图象上相邻两个最高点之间的距离为，且
③与是图象上相邻的两条对称轴，且
问题：已知函数，若 ．
（1）求，的值;
（2）将函数图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的单调递减区间.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】条件性选择见解析，（1），；（3）.
【解析】
【分析】
（1）方案一:选条件①，由的最小正周期求出，利用函数的奇偶性得出；
（2）由（1）得出函数的解析式，通过平移和伸缩变换得到，根据余弦函数的单调递减区间结合给出的定义域得出答案．
【详解】（1）方案一:选条件①
的最小正周期为，
，
.
又是偶函数，
恒成立，
恒成立，
，
，.
又，
.
（2）由（1）知，，
将的图像向右平移个单位长度后，得到的图像.
再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的图像.
由，.
当时，

在上的单调递减区间是.
方案二：选条件②
（1）函数图像上相邻两个最高点之间的距离为，
，

又，
，即
，.
又，

（2）同方案一（2）
方案三：选条件③
（1）与是图像上相邻的两条对称轴，
，即.

又
，
，.
又，
.
（2）同方案一（2）.
19. 己知，且.
（1）求的值;
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据同角三角函数的关系求出，，再根据诱导公式化简求值即可；
（2）根据的范围，求出的范围，再根据同角三角函数的关系求出，再根据两角和的余弦公式求出，最后根据诱导公式即可求出的值.
【详解】解：，，
，
；
（1）；
（2），，
，
又，
，
.
20. 已知函数，，且.
（1）证明:定义域上是减函数;
（2）若，求的取值集合.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据，求得，得到，由，求得的定义域，令，用函数单调性的定义证明其单调性，再利用复合函数的单调性得到结论.
（3）易得函数是奇函数，将原不等式转化为，再利用在定义域上的单调性求解.
【详解】（1），
，
，
又，
，
.
由，解得，
的定义域为.
令.
任取，且，则
.
，，，
，即，
又在上是增函数，
由复合函数的单调性知：在上是减函数.
（3），
原不等式可化为，即.
由（1）知，是减函数，
.
又的定义域为，
的取值集合为.
【点睛】方法点睛：复合函数的单调性
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．
21. 北京时间2020年11月24日，我国探月工程嫦娥五号探测器在海南文昌航天发射场发射升空，并进入地月转移轨道．探测器实施次轨道修正，次近月制动后，顺利进入环月圆轨道，于12月1日在月球正面预选区域着陆，并开展采样工作.12月17日1时59分，嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，标志着我国首次地外天体采样返回任务圆满完成.
某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度(单位:千米/秒)满足，其中，(单位:千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，(单位:吨)表示它装载的燃料质量，(单位:吨)表示它自身的质量(不包括燃料质量).
（1）某单级火箭自身的质量为吨，发动机的喷射速度为千米/秒.当它装载吨燃料时，求该单级火箭的最大速度(精确到);
（2）根据现在的科学水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过千米/秒，请说明理由.
（参考数据：无理数=，）
【答案】（1）该单级火箭的最大速度为千米/秒；（2）该单级火箭的最大速度不能超过千米/秒，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据单级火箭的最大速度(单位:千米/秒)满足，由，，求解.
（2）根据单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过，即，又代入求解.
【详解】（1），，，
，
该单级火箭的最大速度为千米/秒.
（2），，
.
.
，
，
.
该单级火箭最大速度不能超过千米/秒.
22. 已知函数，
（1）若，恒成立，求实数的取值范围;
（2）证明：有且只有一个零点，且
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)先判断的单调性，求其最小值，再列出关于k的不等式，求解即可；
(2)用零点存在定理，分类讨论在和的零点情况；利用得出的零点结论，找到关系式，然后将带入中进行计算即可证明不等式成立.
【详解】解（1）是增函数，是减函数，
在上单调递增.
的最小值为.
又，
，
解得，
实数的取值范围为.
（2）当时，，，
.
在上无零点.
当时，与单调递增，
在上单调递增.
又，，
，使得，
在上有且只有一个零点，
综上所述，有且只有一个零点.
又，即，
，
在上单调递减，
，
.
【点睛】关键点睛：对x进行分类讨论时：①当时，，可判断在上无零点；②当时，与单调递增，再结合零点存在定理，即可判断在上有且只有一个零点