理论力学点的运动.ppt
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1、第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 运运运运 动动动动 学学学学 西北工业大学西北工业大学西北工业大学西北工业大学点的运动点的运动第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 运 动 学目录12用矢量法表示点的速度和加速度 13用直角坐标法表示点的速度和加速度 11确定点的运动的基本方法点的运动方程14用自然法表示点的速度和加速度第一章 点的运动第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 自然法 坐标法 矢量法 第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 1-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运
2、动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 (1 1 1 1)、定义:)、定义:)、定义:)、定义:以动点的运动轨迹作为一条曲线形式的坐标以动点的运动轨迹作为一条曲线形式的坐标 轴来确定动点位置的方法称为轴来确定动点位置的方法称为自然法。()()sOM1-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程(2 2 2 2)、运运运运动动动动方方方方程程程程:设设动动点点M 沿沿已已知知轨轨迹迹曲曲线线运运动动,在在轨轨迹迹曲曲线线上上任任选选一一定定点点O作作为为量量取取弧弧长长的的起起点点,并并规规定定由由原原点点O向向一一方方量量得得的的弧弧长长
3、取取正正值值,向向另另一一方方量量得得的的弧弧长长取取负负值值。这这种种带带有有正正负负值值的的弧弧长长OM 称称为为动动点点的的弧坐标,用用s表表示示。点点在在轨轨迹迹上的位置可由弧坐标上的位置可由弧坐标s完全确定。完全确定。1.自然法第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 当当点点M沿沿已已知知轨轨迹迹运运动动时时,弧弧坐坐标标s随随时时间间而而变变,并并可可表表示为时间示为时间t的单值连续函数,即的单值连续函数,即 这个方程表示了点这个方程表示了点M沿已知轨迹的沿已知轨迹的运动规律,称为,称为自然自然法表示的点法表示的点M的运动方程。的运动方程。()()sOM 自然法
4、自然法自然法自然法1-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 这一组方程称为点这一组方程称为点M的的直角坐标形式的运动方程。动动点点M对对于于所所选选直直角角坐坐标标系系的的位位置置,可可由由它它的的三三个个坐坐标标x,y,z 决决定定。当当点点M 运运动动时时,这这些些坐坐标标一一般般地地可可以以表表示示为为时间时间t 的单值连续函数,即的单值连续函数,即MxyzxyzijkOr1-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程2.坐标法 通常采用直角坐标。通常采用直角坐标。
5、若若函函数数f1,f2,f3都都是是已已知知的的,则则动动点点M 对对应应于于任任一一瞬瞬间间t 的位置即可完全确定。的位置即可完全确定。在运动方程的三个式子中消去在运动方程的三个式子中消去t t 即得直角坐标形式的即得直角坐标形式的轨迹方程。第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 矢径矢径r 唯一的决定了点唯一的决定了点M的位置。当的位置。当点点M 运动时,矢径运动时,矢径r 是随时间而变的矢量,是随时间而变的矢量,一般可表示为时间一般可表示为时间t t的单值连续函数的单值连续函数 由由定定点点O画画到到动动点点M的的有有向向线线段段OM=r称为动点称为动点M的的矢径,它
6、的解析式为它的解析式为 这方程称为点这方程称为点M的的矢量形式的运动方程。MxyzxyzijkOr1-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程3.矢量法 矢径端点在空间描出的曲线称为矢径端点在空间描出的曲线称为矢端图,它就是动点的轨迹。它就是动点的轨迹。矢量法确定点的位置比直角坐标法简明,理论推导时常用。矢量法确定点的位置比直角坐标法简明,理论推导时常用。第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 矢量法矢量法矢量法矢量法1-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程矢量法实例矢量法实例第一章第一章第一章第一章 点的
7、运动点的运动点的运动点的运动 例例1-11-1 椭椭圆圆规规的的曲曲柄柄OA可可绕绕定定轴轴O转转动动,端端点点A以以铰铰链链连连接接于于规规尺尺BC;规规尺尺上上的的点点B和和C可可分分别别沿沿互互相相垂垂直直的的滑滑槽槽运运动动。求求规规尺尺上上任任一一点点M 的的轨轨迹方程迹方程。ACByOxMxy已知已知:例题例题例题例题1-11-11-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程例题1-1第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 运运 动动 演演 示示 例题例题例题例题1-11-11-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运
8、动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 ACByOxMxy 考虑任意位置,考虑任意位置,M点的坐标点的坐标 x,y可以表示成可以表示成消去上式中的角消去上式中的角,即得即得M点的轨点的轨迹方程迹方程:解:例题例题例题例题1-11-11-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 轨轨 迹迹 演演 示示 例题例题例题例题1-11-11-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 M点的
9、轨迹是什么曲线点的轨迹是什么曲线?思考题 例题例题例题例题1-11-11-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 轨轨 迹迹 演演 示示 例题例题例题例题1-11-11-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 xyOACBl 例例1-2 1-2 曲曲柄柄连连杆杆机机构构中中曲曲柄柄OA和和连连杆杆AB的的长长度度分分别别为为r和和l。且且lr,角角=t,其其中中是是常常量量。滑滑块块B可可沿沿轴轴Ox作往复运动。
10、试求滑块作往复运动。试求滑块B的运动方程,速度和加速度。的运动方程,速度和加速度。例题例题例题例题1-21-21-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程例题1-2第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 运运 动动 演演 示示 例题例题例题例题1-21-21-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 考虑滑块考虑滑块 B 在任意位置,由几何关系得滑块在任意位置,由几何关系得滑块 B 的坐标的坐标将将=t 代入上式得代入上式得令令=r/l,将上式中的根将上
11、式中的根式展开,有式展开,有xyOACBl解:例题例题例题例题1-21-21-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 略去略去4以及更高阶项,并利用关系以及更高阶项,并利用关系滑块滑块B的速度和加速度分别为的速度和加速度分别为xyOACBl则则可表示为可表示为 例题例题例题例题1-21-21-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 位移 速度 加速度 1-2 用矢量法表示点的速用矢量法表示点的速度和加速度度和加速
12、度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 1-2 用矢量法表示点的速度和加速度用矢量法表示点的速度和加速度 设设有有一一点点M沿沿曲曲线线AB运运动动,在在任任一一瞬瞬时时t,该该点点之之位位置置可可由由如如下下矢矢径确定径确定显然,当动点显然,当动点M沿沿 AB 运动时运动时,r是一变矢量。是一变矢量。1.位 移 从从瞬瞬时时 t 到到 t+t,动动点点位位置置由由M改改变变到到M,其其矢矢径径分分别为别为r和和r。在时间间隔在时间间隔t内内,r 之变化量为之变化量为它表示在它表示在t时间内动点矢径之改变,称为动点在时间内动点矢径之改变,称为动点在t时间内的时间内的位移。
13、BMOr0ABM0Mrrr第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 由由矢矢导导数数定定义义知知,动动点点之之速速度度v的的方方向向沿沿动动点点的的矢矢端端图图(即轨迹曲线即轨迹曲线)的切线方向,并与此点的运动方向一致。的切线方向,并与此点的运动方向一致。当当t0时时,v的的极极限限值值称称为为动动点点在瞬间在瞬间t 之速度之速度比值比值表示动点在表示动点在t时间内的平均速度。时间内的平均速度。即即点的速度等于它之矢径对时间的一阶导数。MrBOr0AM0Mrr1-2 用矢量法表示点的速度和加速度用矢量法表示点的速度和加速度2.速 度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点
14、的运动点的运动 设从某一固定点设从某一固定点O画出动点画出动点在连续瞬间在连续瞬间t0,t,t+t、t2.速度矢速度矢在在t时时间间内内,速速度度改改变变量量为为 ,比比值值 称称为在为在t 时间内之平均加速度时间内之平均加速度 连接各速度矢量之端点,可得一曲线,连接各速度矢量之端点,可得一曲线,称为速度矢端图,此时可视称为速度矢端图,此时可视v为一变矢量为一变矢量。va*Mv0M0MMvOv01-2 用矢量法表示点的速度和加速度用矢量法表示点的速度和加速度3.加 速 度(1 1)平均加速度)平均加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 当当t0时,时,之极限称为动点在
15、瞬时之极限称为动点在瞬时t t 之瞬时加速度。之瞬时加速度。即即动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数,或等于它的矢径对时间的二阶导数。其其方方向向沿沿速速度度矢矢端端图图之之切切线线,并并指向速度矢端运动的方向。指向速度矢端运动的方向。又又则则a*vvOv0a 加加加加速度速度速度速度1-2 用矢量法表示点的速度和加速度用矢量法表示点的速度和加速度(2 2)瞬时加速度)瞬时加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 直角坐标法表示点的速度直角坐标法表示点的加速度1-3 用直角坐标法表示点用直角坐标法表示点的速度和加速度的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点
16、的运动点的运动点的运动 由由于于沿沿固固定定轴轴的的单单位位矢矢i、j、k不不随随时时间间而而变变,它它们们对对时时间的导数都等于零间的导数都等于零,故得故得 1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度已知动点的直角坐标形式的运动方程已知动点的直角坐标形式的运动方程由坐标原点由坐标原点O画出动点的矢径画出动点的矢径因而有速度的矢量法表达式因而有速度的矢量法表达式MxyzxyzijkOr1.直角坐标法表示点的速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 即即,点的速度在固定直角坐标系各轴上的投影,分别等于动点的对应坐标对时间的一阶导数。以以vx,v
17、y,vz,代表速度代表速度v 在固定轴在固定轴x,y,z上的投影,则有上的投影,则有与前式比较,得与前式比较,得 速速速速 度度度度1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 已知动点速度的投影,可求出速度矢量已知动点速度的投影,可求出速度矢量v的大小和方向余弦。的大小和方向余弦。速速速速 度度度度1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 把速度把速度v 的表达式对时间的表达式对时间t 求导数,可得加速度的矢量表达式求
18、导数,可得加速度的矢量表达式另一方面,有分解式另一方面,有分解式1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度2.直角坐标法表示点的加速度速度速度v 的矢量表达式的矢量表达式第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 其其中中ax,ay,az是是加加速速度度a 在在固固定定轴轴x,y,z上上的的投投影影。比比较较上上列两式,得列两式,得即即,点的加速度在固定直角坐标系各轴上的投影,分别等于点的速度的对应投影对时间的一阶导数,或者等于对应坐标对时间的二阶导数。加加加加速度速度速度速度1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度
19、加速度的矢量表达式加速度的矢量表达式加速度的分解式加速度的分解式第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 已知动点加速度的投影,可求出加速度已知动点加速度的投影,可求出加速度a 的大小和方向余弦的大小和方向余弦 加加加加速度速度速度速度1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 例例1-3 1-3 半半径径是是 r 的的车车轮轮沿沿固固定定水水平平轨轨道道滚滚动动而而不不滑滑动动(如如图图)。轮轮缘缘上上一一点点M,在在初初瞬瞬时时与与轨轨道道上上的的O点叠叠合合;在在瞬瞬时时t半半径径M
20、C与与轨轨道道的的垂垂线线HC组组成成交交角角=t,其其中中是是常常量量。试试求求在车轮滚一转的过程中该在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程,瞬时速度和加速度。点的运动方程,瞬时速度和加速度。O OH HC CD DMMx xy y 例题例题例题例题1-31-31-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度例题1-3第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 O OA AH HB BC CD DMMx xy y 解:1.求M点的运动方程。在在M点的的运运动动平平面面内内取取直直角角坐坐标标系系Oxy如如图图所所示示:轴轴 x 沿沿直直线线轨轨道道,并并
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