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北师大版小学数学五年级（下册）知识点 
分数的加法和减法 知识要点
 一、分数的意义 
1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。 
2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
 二、分数与除法的关系，真分数和假分数 
1、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。 2、真分数和假分数： 
① 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。 
② 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。 ③ 由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。 
2、假分数与带分数的互化： 
① 把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。 
② 把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。 
三、分数的基本性质 
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 2、分数的大小比较： 
③  同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小； ② 同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。 
③ 异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。（依据分数的基本性质进行变化）
四、约分（最简分数） 
1、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。 
2、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 （并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到最简分数为止） 
注意：分数加减法中，计算结果能约分的，一般要约分成最简分数。 五、分数和小数的互化： 
1、小数化分数：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几„„，能约分的必须约成最简分数； 
2、分数化小数：用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。（一般保留三位小数。） 
3、分数和小数比较大小：一般把分数变成小数后比较更简便。 
六、分数的加法和减法  1、真分数加减法    
（1） 同分母分数加、减法  （分母不变，分子相加减） （2） 异分母分数加、减法  （通分后再加减） （3） 分数加减混合运算：同整数。 （4） 结果要是最简分数 
2、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。 
3、（1）同分母分数加、减法 
①同分母分数加、减法： 
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。 ②计算的结果，能约分的要约成最简分数。 
（2）异分母分数加、减法 
①分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。 ②异分母分数的加减法： 
异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。 （3）分数加减混合运算 

①分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。 
在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。 
②整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
《长方体（一）》
一、长方体的认识
知识点：1、认识长方体、正方体，了解各部分的名称。
(1) 表面平平的部分称为面；两面相交便形成了一条棱；而三条棱又交于一点，这个点叫作顶点。
(2) 左面的面叫左面，右面的面叫右面，上面的面叫上面，下面的面叫下面（或叫底面），前面的面叫前面，后面的面叫后面。
(3) 长方体有12条棱，这12条棱中有4条长、4条宽和4条高。正方体的12条棱的长度都相等，叫棱长。
        2、长方体、正方体各自的特点
长方体有6个面，每个面都是长方形，相对的两个面完全相同；有8个顶点；有12条棱，12条棱分成3组，每组4条棱一样长。同一个顶点的3条棱分别代表长方体的长、宽、高。当长方体有一组相对的面是正方形时，它的另外4个面是完全相同的长方形，此时它有8条棱一样长。
正方体是特殊的长方体。长、宽、高相等的长方体就是正方体。正方体有6面，
是完全一样的正方形；8个顶点；12条棱一样长。（面面相等、棱棱相等）
2、长方体、正方体各自的特点。

顶点
面
棱
个数
个数
形 状
大小关系
条数
长度关系

8

6
都是长方形，特殊的有两个相对的面是正方形，其余四个面是完全一样的长方形。
相对的面是完全一样的长方形。

12
可以分为三组，相对的棱平行且相等。

8

6
都是正方形。
每个面是正方形。

12
长度都相等。
3、正方体是特殊的长方体，又叫立方体。
4、能计算长方体、正方体的棱长总和;知道棱长总和，会求长、宽、高。
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，或者：
长方体的棱长总和= 长×4+宽×4+高×4
L=(a+b+h) ×4 或者：L=a ×4+b×4+c×4.
长方体的长=棱长总和÷4－（宽+高）
a=L÷4－（b+h）
长方体的宽=棱长总和÷4－（长+高）
b=L÷4－（a+h）
长方体的高=棱长总和÷4－（长+宽）
h=L÷4－（a+b）
正方体的棱长总和=棱长×12
L=12a
正方体的棱长=棱长总和÷12
a=L÷12
二、展开与折叠
知识点：1、认识并了解长方体和正方体的平面展开图。
        2、了解正方体平面展开图的几种形式，并以此来判断。
一、正方体表面展开图的三种情况
1、正方体展开后有四个面在同一层
正方体因为有两个面必须作为底面，所以平面展开图中，最多有四个面展开后处在同一层，作为底的两个面只能处在四个面这一层的两侧，利用排列组合知识可得如下六种情况：

2、正方体展开后有三个面在同一层
有三个面在同一层，剩下的三个面分别在两侧，有如下三种情形：

3、二面三行，象楼梯；三面二行，两台阶

三、长方体的表面积
1、理解表面积的意义:长方体的表面积是指六个面的面积之和。
2、长方体和正方体表面积的计算方法。
上面=下面=长×宽
前面=后面=长×高
左面=右面=宽×高
长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2
S=(ab+ah+bh) ×2
3.正方体的表面积=棱长×棱长×6
S=6a²
4.把一个正方体截成两个长方体，两个长方体的表面积之和比原来的正方体的表面积增大了，增大了原来正方体的两个面的面积。把两个正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了，减少了原来正方体的两个面的面积。
四、露在外面的面
1、在观察中，通过不同的观察策略进行观察。
        如:一种是看每个纸箱露在外面的面，再加到一起；另一种是分别从正面、上面、侧面进行不同角度的观察，看每个角度都能看到多少个面，再加到一起。
        2、发现并找出堆放的正方体的个数与露在外面的面的面数的变化规律。
分数乘法（一） 
知识点：1、理解分数乘整数的意义：数乘整数的意义同整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。 
         2、分数乘整数的计算方法：分母不变，分子和整数相乘的积作分子。能约分的要约成最简分数。 
         3、计算时，应该先约分再计算。 分数乘法（二） 
知识点 ：1、整数乘分数的意义：求一个数的几分之几是多少。     2、理解打折的含义。例如：九折，是指现价是原价的十分之九。  补充知识点：打几几折就是指现价是原价的百分之几，例如八五折，是指现价是原价的百分之八十五。 分数乘法（三） 
知识点：1、分数乘分数的计算方法：分子相乘做分子，分母相乘做分母，能约分的可以先约分。（计算结果要求是最简分数。） 
        2、比较分数相乘的积与每一个乘数的大小：真分数相乘积小于任何一个乘数；真分数与假分数相乘积大于真分数小于假分数。
《分数除法》
一、倒数
1、发现倒数的特征并理解倒数的意义。
       乘积是1的两个数，叫互为倒数。那么我们称其中一个数是另一个数的倒数。倒数是对两个数来说的，并不是孤立存在的。
        2、求倒数的方法。
（1） 真分数和假分数的倒数：把这个数的分子和分母调换位置。
（2） 大于1的整数的倒数：就是这个整数分之一。
     （3）1的倒数仍是1；
（4）0没有倒数。 是因为0乘以任何数都不等于1。在分数中，0不能做分母。
（5）找小数的倒数要把小数化成分数，在找它的倒数。也可以用1除以这个小数，得出这个小数的倒数。
（6）找带分数的倒数，先把带分数化成假分数，在找它的倒数。
二、分数除法（一）
1、分数除以整数的意义
        分数除以整数，就是把这个分数平均分成几份，求每一份是多少。
2计算方法。
分数除以整数（0除外）等于乘这个整数的倒数。
÷m = ×=
分数除法（二）
1、一个数除以分数的意义和基本算理。
一个数除以分数的意义：
一个数m包含几个,用除法：m÷
    2、掌握一个数除以分数的计算方法:
除以一个分数，等于乘以这个分数的倒数。
        总结：除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数。
    3、比较商与被除数的大小。
        除数小于1，商大于被除数；
        除数等于1。商等于被除数；
        除数大于1，商小于被除数。
分数除法（三）
1、已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法。
        一个数的是m,求这个数。
（1）列算式：m÷
（2）利用方程解决：
先找等量关系式：一个数×=m
解：设这个数为x
×x= m
x = m÷
知识点：1、列方程“求一个数的几分之几是多少”的方法： 
（1）、解方程法：设未知数，这里的单位“1”未知，所以设单位“1”为x，再根据分数乘法的意义列出等量关系式解这个方程。 
（2）、算术方法：用部分量除以它所占整体的几分之几（对应量÷对应分率=标准量）
判断单位“1”
①一般来说，某个数的几分之几，“某个数”就是单位“1” 
②数比谁多几分之几或少几分之几，“比”字后面的数量就是单位“1” ③谁是谁的几分之几，“是”字后面的数量就是单位“1” 
3、理解打折的含义：“打折”指的是现价是原价的十分之几或百分之几十，把原价看成单位“1” 如：打8折就是指现价是原价的十分之八  打八五折就是指现价是原价的百分之八十五程知识点归纳总结 
1、 小数乘整数的意义——求几个相同加数的和的简便运算。 如1：3χ表示χ的3倍是多少或3个χ的和的简便运算。 如2：1.5χ表示χ的1.5倍是多少或1.5个χ的和的简便运算。 
2、 在乘法里：一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。（这叫做积不变性质） 
3、 在除法里：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商的大小不变。（这叫做商不变性质） 
4.  乘法分配律：   a×(b ± c) = a×b ± a×c 
5、在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以简记“·”，也可以省略不写。（注意：加号、减号、除号以及数与数之间的乘号不能省略。字母与数字相乘简写时，数字写在字母前面。） 
6、a×a可以写作a·a或a² ，a²读作a的平方或a的二次方。  2a表示a+a 7、方程：含有未知数的等式称为方程。（所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。） 
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 求方程的解的过程叫做解方程。 
（方程的解是一个数；解方程是一个计算过程。） 8、解方程原理：天平平衡。 
等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。 9、加、减、乘、除运算数量关系式： 
加法：和=加数+加数     一个加数=和-两一个加数 减法：差=被减数-减数   被减数=差+减数   减数=被减数
 乘法：积=因数×因数    一个因数=积÷另一个因数 
除法：商=被除数÷除数 被除数=商×除数  除数=被除数÷商  
解方程的方法： 
方法一：利用天平平衡原理（即等式的性质）解方程； 方法二：利用加、减、乘、除运算数量关系解方程。
常用数量关系式： 
路程＝(速度)×(时间)   速度＝(路程)÷(时间)   时间＝(路程)÷(速度) 
总价＝(单价)×(数量)   单价＝(总价)÷(数量)   数量＝(总价)÷(单价) 总产量＝(单产量)×(数量)   单产量＝(总产量)÷(数量)    数量＝(总产量)÷(单价 ) 
大数－小数=相差数    大数－相差数=小数    小数＋相差数=大数 一倍量×倍数＝几倍量      几倍量÷倍数＝一倍量         几倍量÷一倍量＝倍数
 分数应用题的解题方法：（分率就是几分之几） l
 题型1：商店卖出的苹果6千克，卖出的苹果比橘子多二分之一
，求卖出橘子多少千克？ 【解题思路】 
第一步：找单位“1” 
该题中：单位“1”是“比”字后面的东西——橘子数量。 
第二步：判断单位“1”已知还是未知？已知用乘，未知用除。 
如果单位“1”已知，就用乘法解，用单位“1”的量乘以谁的分率就算谁的具体量。 
如果单位“1”未知，说明题目是求单位“1”的量。要用除法或者列X方程计算单位“1”的量，用已知量除以它对应的分率。 
该题中：单位“1”橘子数量未知，是题目要求出的数量，用除法，把已知量苹果作为被除数。 
第三步：某物比单位“1”多几分之几就写：（1＋分数），； 
某物比单位“1”少几分之几就写：（1－分数），或说减少了几分之几。 
该题中：苹果比橘子多12，也就是苹果是橘子的1
(1)2
+，根据前一步所得的被除数是苹果数量6千克
î苹果比橘子增加了
苹果比橘子多等同于苹果是橘子的1苹果增加到橘子的1  
同学们可以用具体数字带进去理解，例如：苹果为3千克，橘子为2千克。 
l 题型2：商店卖出苹果6千克，卖出橘子4千克，问卖出的苹果是橘子的几分之几？ 
【解题思路】 
第一步：求分率的应用题，我们同样要找单位“1”。 
该题问卖出的苹果是橘子的几分之几？单位“1”是橘子。 
第二步：单位“1”的量做除数，求谁的分率就用谁的具体量除以单位“1”的量。 
该题单位“1”是橘子，因此橘子做除数，苹果做被除数来除以单位“1”，因此
最终得出：3
642
¸=。 
l 题型3：求平均数的应用题，求谁的量就把谁做除数。 
例：一堆煤，5天烧了10吨，求平均每天烧多少吨？ 
求每天，天就作为除数，把5天做除数，即10÷5=2（吨）； 例：一堆煤，5天烧了10吨，求平均每吨烧多少天？ 
求每吨，吨就做除数，即5÷10=0.5（天）。 注意：得数的单位应该与被除数的单位一致。
工作总量＝(工作效率)×(工作时间)     工作效率＝(工作总量)÷(工作时间) 工作时间＝(工作总量)÷(工作效率)  
12、列方程解应用题的一般步骤： 
1、弄清题意，找出未知数，并用x表示。（解 设） 2、找出应用题中数量之间的相等关系，列方程。（找关系） 3、解方程。（列） 4、检验，写出答案。（验
数学与生活
粉刷墙壁
1、 明确我们在粉刷教室墙壁时必须知道的条件。
（1）有哪些面需要粉刷；
（2）每一个面的面积如何计算；
（3）还要去掉门、窗、黑板的面积是多少；
（4）总共需要粉刷的面积是多少；
（5）第一遍粉刷，每平方米需要多少涂料，一共需要多少涂料；
（6）第二遍一共又需要多少涂料；
（7）每千克涂料多少钱，一共需要多少钱。
        2、根据实际情况进行计算相应的面积。
折叠：
1、体会立体图形与展开图形之间的关系，发展空间观念。
        2、能正确判断平面展开图所对应的简单立体图形。

《长方体（二）》
一、体积与容积
1、体积与容积的概念。
      体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。
      容积：容器所能容纳入体的体积叫做物体的容积。
注意：①同一个容器，体积大于容积；当容器壁很薄时，容积近等于体积。如果容器壁忽略不计时，容积等于体积。
②几个物体拼在一起时，它们的体积不发生改变（它们占空间的大小没有发生变化）
2、体积单位。
        常用的体积单位：立方米（）、立方分米（）、立方厘米（）
常用的容积单位：升、毫升、1升=1、1毫升=1
棱长为1cm的正方体它的体积是1cm³；棱长为1dm的正方体它的体积是1dm³；棱长为1m的正方体它的体积是1m³.
3、液体的体积单位和容纳液体容器的容积单位：升（L）、毫升（mL）.
1升=1分米³ 1毫升=1厘米³
常用的体积单位：立方米（）、立方分米（）、立方厘米（）
常用的容积单位：升、毫升、1升=1、1毫升=1
4、感受1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义：
①手指头、苹果、火柴盒体积较小，可用作单位
②西瓜、粉笔盒体积稍大，可以用作单位
③矿泉水瓶、墨水瓶可以用毫升作单位
④热水瓶等较大盛液体容器、冰箱可用生升作单位
⑤我们饮用的自来水用“立方米”作单位。
二、长方体的体积
1、 长方体的体积=长×宽×高
V=abh
        正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a³
        长方体（正方体）的体积=底面积×高
V=Sh
长方体的体积=横截面面积×长
2、能利用长方体（正方体）的体积及其他两个条件求出问题。如：
长方体的长=体积÷(宽×高)
长方体的宽=体积÷(长×高)
长方体的高=体积÷(长×宽)
注意：计算体积时，单位一定要统一；表面积与体积表示的意义不一样，单位不同，无法比较大小
三、体积单位的换算
1.体积、容积单位之间的进率。
        相邻两个体积单位、容积单位之间的进率是1000。
1m³=1000 dm³ 1 dm³=1000 cm³ 1L=1000 mL
2、单位换算：.高级单位化成低级单位，要乘以进率，低级单位化成高级单位要除以进率。
四、有趣的测量
（1）测量不规则石块的体积
方案一：找一个长方体形状的容器，里面放一定的水，量出长方形容器的底面长、
宽和水面的高度，再把石头沉入水中（水面要完全浸没石块），再一次量出水面的高
度。这时计算一下水面升高了几厘米，用“长×宽×水面上升的高”计算出升高的
体积就是石块的体积。也可以分别计算放入石头前的体积与放入石头之后的总体积
之差。
1、 不规则物体体积的测量方法：一般都是把不规则物体的体积转化成可通过测量计算的水的体积
（注意液面是“升高了”还是“升高到”）
方案二：将石头放入盛满水的容器中，并将溢出的水倒入有刻度的量杯中，然后直接读出的水的体积，就是石头的体积。
（2）测量一粒黄豆的体积
可以用测量石块体积的方法测量出100粒黄豆的体积，再除以100，计算出一粒黄豆的体积。
5、补充知识：
（1）表面积相等的长方体，体积不一定相等；体积相等的长方体，表面积不一定相等。
（2）表面积相等的正方体，体积一定相等；体积相等的正方体，表面积一定相等。
（3）正方体的棱长扩大n倍，棱长扩大n倍，表面积扩大n²倍，体积扩大n³倍。
（4）底面积和高相等的长方体体积一定相等。
（5）将一个长方体截成两个长方体，这两个长方体与原来一个长方体相比，表面积增大了，而体积不变。

五单元：《分数混合运算》
一、分数混合运算（一）
1、 分数混合运算的运算顺序和整数是一样的，先算乘除，再算加减，有括号的要先算括号里的。同一级运算要从左到右依次计算。
2、分数乘除法混合运算，可以先把除法改成乘法，能约分的要先约分，然后再计算。
二、分数混合运算（二）
1、整数的运算律在分数运算中同样适用。
2、我们学过的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
三、分数混合运算（三）
1、利用方程解决与分数运算有关的实际问题。
2、分数中的估算
3、利用线段图来分析题中的数量关系。（单线图、双线图、三线图）
  4、对最后结果的检验。
5、在分数应用题中一般有以下一些等量关系式：
（1）甲数是乙数的 ，等量关系式：甲数=乙数×
（2）甲数比乙数多 ，等量关系式：甲数=乙数×（1＋ ）
（3）甲数比乙数少 ，等量关系式：甲数=乙数×（1－ ）
说明：在上面的三个关系式中，乙数是单位“1”的量，如果知道乙数，求甲数，就直接用乘法；如果知道甲数，求乙数，就用除法，或者用方程。
《统计》
扇形统计图：1、认识扇形统计图，了解扇形统计图的特点与作用。
        2、能读懂扇形统计图，并能从中获得相应的数学信息。
统计图的选择：1、了解条形统计图、扇形统计图、折线统计图的特点。
        条形统计图便于看出数据的多少；扇形统计图能清楚地看出整体与部分之间的关系；折线统计图能看出数据的变化趋势。
        2、能够根据需要选择最为直观、有效地统计图表示数据。
中位数和众数：1、中位数和众数的意义。
        中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，中间的数称为这组数据的中位数。
       众数： 一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数。
       2、中位数和众数的求法。
       将一组数据按大小的顺序排列，如果是奇数个数据，中间的数就为这组数据的中位数，如果是偶数个数据，中间两个数的平均数为这组数据的中位数。
       众数，就是一组数据中出现次数最多的，有可能是多个众数。
      3、能根据具体的问题，选择合适的统计两表示数据的不同特征。
综合运用所学的统计知识，发展学生的统计观念。