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2021-2022学年高中数学 第7章 概率测评巩固练习北师大版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第7章 概率测评巩固练习北师大版必修第一册

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第七章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列对古典概型的说法中正确的是(　　)
①试验中所有可能出现的样本点个数是有限的;
②每个事件出现的可能性相等;
③每个样本点出现的可能性相等;
④样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则P(A)=kn.
A.②④ B.①③④ C.①④ D.③④
答案:B
2.下列事件:①物体在重力作用下会自由下落;②方程x2-2x+3=0有两个不相等的实数根;③下周日会下雨;④某寻呼台某天某一时段内收到传呼的次数少于10次.其中随机事件的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
3.已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)的四个函数y1=x-1,y2=x2,y3=3x,y4=3x,从四个函数中任取两个函数相乘,所得函数为奇函数的概率是(　　)
A.12 B.13 C.35 D.34
解析:从四个函数中任取两个相乘的所有可能结果为y1y2,y1y3,y1y4,y2y3,y2y4,y3y4,其中是奇函数的有y1y2,y2y4,故所求概率为26=13.
答案:B
4.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A.110 B.15 C.310 D.25
解析:如表所示,表中每组数据中的第一个数表示第一次取到的数,第二个数表示第二次取到的数.

1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)

总计有25种情况,满足条件的有10种,所以所求概率为1025=25.
答案:D
5.设集合P={b,1},Q={c,1,2},P⊆Q,若b,c∈{2,3,4,5,6,7,8,9},则b=c的概率是(　　)
A.18 B.14 C.12 D.34
解析:因为P={b,1},Q={c,1,2},P⊆Q,
所以b=c≠2或b=2,c≠2.
又b,c∈{2,3,4,5,6,7,8,9},
当b=c≠2时,b,c的取法共有7种,
当b=2,c≠2时,c的取法共有7种.
所以集合P,Q的构成共有14种,其中b=c的情况有7种.所以b=c的概率为714=12.
答案:C
6.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是(　　)
A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7
答案:C
7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是(　　)
A.49 B.13 C.29 D.19
解析:若个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数,所以可以分两类:
(1)当个位为奇数时,有5×4=20(个)符合条件的两位数.
(2)当个位为偶数时,有5×5=25(个)符合条件的两位数.
因此共有20+25=45(个)符合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个,所以所求概率为P=545=19.
答案:D
8.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,他们“心有灵犀”的概率为(　　)
A.19 B.29 C.718 D.49
解析:首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a-b|≤1.由于a,b∈{1,2,3,4,5,6},则满足要求的事件可能的结果有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16种,而依题意得样本空间的样本点总数为36.因此他们“心有灵犀”的概率为1636=49.故选D.
答案:D
9.有两张卡片,一张的正反面分别画着老鼠和小鸡,另一张的正反面分别画着老鹰和蛇,现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上,不考虑顺序,则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是(　　)
A.12 B.13 C.14 D.16
解析:向上的图案为鼠鹰、鼠蛇、鸡鹰、鸡蛇四种可能情形,其中向上的图案是鸡鹰的概率为14.故选C.
答案:C
10.若a∈{1,2},b∈{-2,-1,0,1,2},则关于x的方程x2+ax+b=0有实数根的概率为(　　)
A.35 B.710 C.14 D.38
解析:若方程有实数根,则a2-4b≥0,即a2≥4b.则满足条件的样本点有(1,0),(1,-1),(1,-2),(2,-1),(2,0),(2,-2),(2,1)共7个,而样本空间的样本点总数为10,故所求概率为710.
答案:B
11.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是(　　)
A.318 B.418 C.518 D.618
解析:正方形四个顶点可以确定6条直线,甲、乙各自任选一条共有36个样本点.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和1组对角线),所以包含10个样本点.故所求概率为518.
答案:C
12.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就能获得冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队赢每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为(　　)
A.34 B.23 C.35 D.12
解析:甲队获得冠军有两种情形:情形一,第一局甲赢,其概率P1=12;情形二,需比赛2局,第一局甲负,第二局甲赢,其概率P2=12×12=14.
故甲队获得冠军的概率为P1+P2=34.
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为　　　　　. 
解析:摸出红球的概率为45100=0.45,因为摸出红球、白球和黑球是互斥事件,因此摸出黑球的概率为1-0.45-0.23=0.32.
答案:0.32
14.三张卡片上分别写有字母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英语单词BEE的概率是　　　　　. 
答案:13
15.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为　　　　. 
解析:由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法公式得,中国队夺得女子乒乓球冠军的概率为37+14=1928.
答案:1928
16.甲、乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏,随机出手一次,则甲不输的概率是　　　　　. 
解析:画出树形图,如图所示.

从树形图可以看出,所有可能的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=13;P(平局)=13,则玩一局甲不输的概率是13+13=23.
答案:23
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)对一批U盘进行抽检,结果如下表:
抽取件数a
50
100
200
250
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品率ba

(1)计算表中各次品率;
(2)从这批U盘中任取一个是次品的概率约是多少?
解:(1)表中次品率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.02,0.02,0.018.
(2)由(1)计算得到的次品率知,当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
18.(12分)随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,计算下列事件的概率:
(1)所得的三位数大于400;
(2)所得的三位数是偶数.
解:随机排列数字1,5,6可得三位数:156,165,516,561,615,651,共6个.设“所得的三位数大于400”为事件A,“所得的三位数是偶数”为事件B.
由古典概型的概率公式可得
(1)P(A)=46=23.
(2)P(B)=26=13.
19.(12分)已知关于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0,若a,b是一枚骰子连续抛掷两次所得到的点数,求方程有两个不相等的正实根的概率.
解:样本空间的样本点共有36个,且a,b∈{1,2,3,4,5,6}.
方程有两个不相等的正实数根等价于a-2>0,16-b2>0,Δ>0,即a>2,-4<b<4,(a-2)2+b2>16.
设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A,
则事件A所包含的样本点为(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),共4个.故所求概率为P(A)=436=19.
20.(12分)甲、乙两人玩一种游戏,每次甲、乙各出1到5根手指,若和为偶数,则甲赢,否则乙赢.
(1)若以A表示和为6的事件,求P(A);
(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问事件B与C是否为互斥事件?为什么?
(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
解:(1)样本空间与点集S={(x,y)|x∈N+,y∈N+,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应,因为S中点的总数为5×5=25(个),所以样本空间的样本点总数n=25.
事件A包含的样本点共5个:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),所以P(A)=525=15.
(2)B与C不是互斥事件,因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次.
(3)这种游戏规则不公平.
由(1)知,事件“和为偶数”包含的样本点有13个,
所以甲赢的概率为1325>12,乙赢的概率为1225<12.
因此,这种游戏规则不公平.
21.(12分)如图是两个可以自由转动的转盘,甲转盘被等分成3个扇形,乙转盘被等分成4个扇形,每一个扇形上都标有相应的数字.
小明和小红利用它们做游戏,游戏规则是:
同时转动两个转盘,当转盘停止后,指针所指区域内的数字之和小于9,小明获胜;指针所指区域内的数字之和等于9,为平局;指针所指区域内的数字之和大于9,小红获胜(如果指针恰好指在分割线上,那么再转一次,直到指针指向一个数字为止).
(1)请你通过画树状图或列表法求小明获胜的概率;
(2)你认为该游戏规则是否公平?若游戏规则公平,请说明理由;若游戏规则不公平,请你设计一种公平的游戏规则.

解:(1)列表法:
甲
乙
5
6
7
8
1
6
7
8
9
2
7
8
9
10
3
8
9
10
11

或树状图:

根据列表或树状图可知,共有12种等可能的结果,其中和小于9的可能结果有6种,故小明获胜的概率为P1=612=12.
(2)这个游戏不公平.因为小明获胜的概率为P1=12,
小红获胜的概率为P2=312=14,显然12≠14,
所以,这个游戏规则对小红不公平.
设计一种公平的游戏规则:当指针所指区域内的数字之和小于9时,小明获胜;当指针所指区域内的数字之和不小于9时,小红获胜.
22.(12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区:62　73　81　92　95　85　74　64　53　76　78　86　95　66　97　78　88　82　76　89
B地区:73　83　62　51　91　46　53　73　64　82　93　48　65　81　74　56　54　76　65　79
根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意

设事件C表示“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求事件C的概率.
解:设事件CA1表示:“A地区的用户满意度为满意或非常满意”;
事件CA2表示:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;
事件CB1表示:“B地区用户的满意度等级为不满意”;
事件CB2表示:“B地区用户的满意度等级为满意”,
则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2.
P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).
由所给数据,得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为1620,420,1020,820,所以P(CA1)=1620,P(CA2)=420,P(CB1)=1020,P(CB2)=820.
所以P(C)=1020×1620+820×420=0.48.