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2021-2022学年高中数学 3 圆锥曲线的方程 3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质课后素养落实新人教A版选择性必修第一册

2021-2022学年高中数学 3 圆锥曲线的方程 3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质课后素养落实新人教A版选择性必修第一册

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课后素养落实(二十九)　抛物线的简单几何性质
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　)
A．4 B．5　　　　　
C．6　　　　　 D．7
A　[由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，
则P(3，±2)，
∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A．]
2．F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A．4 B．
C．3 D．
D　[抛物线y2＝2x的焦点F，准线方程为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义得|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝8，所以x1＋x2＝7，所以线段AB中点的横坐标为，所以线段AB的中点到y轴的距离为.故选D．]
3．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
B　[由抛物线性质知|AB|＝5＋2＝7，∵当线段AB与x轴垂直时，|AB|min＝4，∴这样的直线有两条．]
4．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于(　　)
A．2 B．3
C．5 D．7
D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.
由得x2－5x＋4＝0，
∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.]
5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为(　　)
A．18 B．24
C．36 D．48
C　[不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
依题意，l⊥x轴，且焦点F，
∵当x＝时，|y|＝p，
∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6，
又点P到直线AB的距离为＋＝p＝6，
故S△ABP＝|AB|·p＝×12×6＝36.]
二、填空题
6．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
(3,2)　[将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2.
∴所求点的坐标为(3,2)．]
7．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝________.
6　[如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，
∵M为FN的中点，
|MM′|＝1，
∴M到准线距离d＝|MM′|＋＝3，
∴|MF|＝3，∴|FN|＝6.]
8．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(1，＋∞)　[依题意得点A的轨迹为抛物线y2＝4x.过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，由得ky2－4y＋4k＝0，当k＝0时，显然不符合题意；当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
[解]　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，
设A(x0，y0)，由题意知M，
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，∴x＋＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0得，
8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点．
(1)求证：l与C必有两交点．
(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．
[解]　(1)证明：联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，
所以Δ＝k2＋8>0，所以l与C必有两交点．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1， ①
将y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，
得2k＋＝1， ②
由(1)可得x1＋x2＝，x1x2＝－，
代入②得k＝1.

1．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PMF的面积为(　　)
A．5 B．10
C．20 D．
B　[设P(x0，y0)，则|PM|＝x0＋1＝5，解得x0＝4，则y＝4×4＝16，则|y0|＝4，故S△MPF＝×5×|y0|＝10.故选B．]
2．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(2,0)且与C交于A，B两点，|BF|＝.若|AM|＝λ|BM|，则实数λ＝(　　)
A． B．2
C．4 D．6
C　[由题意得抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，由|BF|＝及抛物线的定义知点B的横坐标为，代入抛物线方程得B.根据抛物线的对称性，不妨取B，则直线l的方程为y＝(x－2)，联立得A(8,4)，于是λ＝＝4.故选C．]
3．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
48　[由消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即或所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8，所以梯形APQB的面积S＝×8＝48.]
4．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.则抛物线C的方程为________；若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，则k＝________.
y2＝8x　2　[由题意设抛物线方程为y2＝2px，其准线方程为x＝－，根据定义可得4＋＝6，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
由k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，
解得k>－1且k≠0.
又＝＝2，
解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值为2.]

点M(m,4)(m>0)为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，F为其焦点，已知|FM|＝5.
(1)求m与p的值．
(2)以M点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求△FMN的面积．
[解]　(1)由抛物线定义知，|FM|＝＋4＝5，所以p＝2.所以抛物线的方程为x2＝4y，又由M(m,4)在抛物线上，所以m＝4.故p＝2，m＝4.
(2)设过M点的切线方程为y－4＝k(x－4)，代入抛物线方程消去y得，x2－4kx＋16k－16＝0，其判别式Δ＝16k2－64(k－1)＝0，所以k＝2，切线方程为y＝2x－4，切线与y轴的交点为N(0，－4)，抛物线的焦点F(0,1)，所以S△FMN＝|FN|·m＝×5×4＝10.