2015年高考山东理科数学试题及答案解析(2.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2015年山东，理1】已知集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）【2015年山东，理2】若复数满足，其中是虚数单位，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）【2015年山东，理3】要得到函数的图象，只需将函数的图像（ ）
（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位
（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为，，则BD·CD=（ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）【2015年山东，理5】不等式的解集是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（6）【2015年山东，理6】已知满足约束条件若的最大值为4，则（ ）
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
（7）【2015年山东，理7】在梯形中，，，．将梯形
绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则，）
（A） （B） （C） （D）
（9）【2015年山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射与圆相切，则反射光线
所在的直线的斜率为（ ）
（A）或 （B）或 （C）或 （D）或
（10）【2015年山东，理10】设函数则满足的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）

第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分
（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：
照此规律，当时， ．

（12）【2015年山东，理12】若“”是真命题，则实数的最小值为 ．
（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的的值为 ．

（14）【2015年山东，理14】已知函数的定义域和值域都是，则 ．
（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 ．
三、解答题：本大题共6题，共75分．
（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积．

（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台中，
分别为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若平面，，求平面与平面
所成角（锐角）的大小．

（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．

（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望．

（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上的任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点．
（i）求的值；（ii）求面积最大值．

（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数，其中．
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若，成立，求的取值范围．

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2015年山东，理1】已知集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】，，故选C．
（2）【2015年山东，理2】若复数满足，其中是虚数单位，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】，，故选A．
（3）【2015年山东，理3】要得到函数的图象，只需将函数的图像（ ）
（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位
【答案】B
【解析】，只需将函数的图像向右平移个单位，故选B．
（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为，，则BD·CD=（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】由菱形ABCD的边长为，可知，
，故选D．
（5）【2015年山东，理5】不等式的解集是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】当时，成立；当时，，解得，则
；当时，不成立．综上，故选A．
（6）【2015年山东，理6】已知满足约束条件若的最大值为4，则（ ）
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
【答案】B
【解析】由得，借助图形可知：当，即时在时有最大值0，不符合题意；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，满足，故选B．
（7）【2015年山东，理7】在梯形中，，，．将梯形
绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】，故选C．
（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则，）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】，故选D．
（9）【2015年山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射与圆相切，则反射光线
所在的直线的斜率为（ ）
（A）或 （B）或 （C）或 （D）或
【答案】D
【解析】关于轴对称点的坐标为，设反射光线所在直线为即，
则，解得或，故选D．
（10）【2015年山东，理10】设函数则满足的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由可知，则或，解得，故选C．
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分
（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：
照此规律，当时， ．
【答案】
【解析】

（12）【2015年山东，理12】若“”是真命题，则实数的最小值为 ．
【答案】1
【解析】“”是真命题，则，于是实数的最小值为1．
（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的的值为 ．
【答案】
【解析】．
（14）【2015年山东，理14】已知函数的定义域和值域都是，则 ．
【答案】
【解析】当时，无解；当时，解得，则．
（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】的渐近线为，则
的焦点，则，即，，．
三、解答题：本大题共6题，共75分．
（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积．
解：（Ⅰ）由，
由得，
则的递增区间为；
由得，
则的递增区间为．
（Ⅱ）在锐角中，，，而，
由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，
即，故面积的最大值为．
（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台中，
分别为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若平面，，求平面与平面
所成角（锐角）的大小．
解：（Ⅰ）证明：连接，，设与交于点，
在三棱台中，，则，
而是的中点，，则，
所以四边形是平行四边形，是的中点，．
又在，是的中点，则，
又平面，平面，故平面．
（Ⅱ）由平面，可得平面而，，，
则，于是两两垂直，以点为坐标原点，
所在的直线，分别为轴建立空间直角坐标系，
设,则,
，
则平面的一个法向量为，设平面的法向量为
，则，即，
取，则，，
，故平面与平面所成角（锐角）的大小为．
（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．
解：（Ⅰ）由可得，，
而，则．
（Ⅱ）由及，可得
，，

（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）125，135，145，235，245，345；
（Ⅱ）的所有取值为-1，0，1．
甲得分的分布列为：

0
-1
1

．
（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上的任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点．
（i）求的值；（ii）求面积最大值．
解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为可知，而则， 左、右焦点分别是,圆：圆：
由两圆相交可得，即，交点在椭圆上，
则，整理得，解得，（舍去），
故，，椭圆的方程为．
（Ⅱ）（i）椭圆的方程为，设点，满足，射线，
代入可得点，于是．
（ii）点到直线距离等于原点到直线距离的3倍：
，，得，
整理得．
，
，当且仅当等号成立．
而直线与椭圆有交点，则有解，
即有解，
其判别式，即，
则上述不成立，等号不成立，
设，则在为增函数，
于是当时，故面积最大值为12．
（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数，其中．
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若，成立，求的取值范围．
解：（Ⅰ），定义域为，
，设，
当时，，函数在为增函数，无极值点．
当时，，
若时，，函数在为增函数，无极值点．
若时，设的两个不相等的实数根，且，
且，而，则，所以当单调
递增；当单调递减；当单调递增．
因此此时函数有两个极值点；
当时，但，，所以当单调
递増；当单调递减，所以函数只有一个极值点．
综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个
极值点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时在单调递增，而，
则当时，，符合题意；
当时，，在单调递增，而，
则当时，，符合题意；
当时，，所以函数在单调递减，而，
则当时，，不符合题意；
当时，设，当时，
在单调递增，因此当时，
于是，当时，
此时，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．
另解：（Ⅰ），定义域为
，
当时，，函数在为增函数，无极值点．
设，
当时，根据二次函数的图像和性质可知的根的个数就是函数极值点的个数．
若，即时，，函数在为增函数，无极值点．
若，即或，而当时
此时方程在只有一个实数根，此时函数只有一个极值点；
当时方程在都有两个不相等的实数根，此时函数有两个极值点；
综上可知当时的极值点个数为0；当时的极值点个数为1；当时，
的极值点个数为2．
（Ⅱ）设函数，，都有成立，即
当时，恒成立；
当时，，；
当时，，；由均有成立．
故当时，，，则只需；
当时，，则需，即．综上可知对于，都有
成立，只需即可，故所求的取值范围是．
另解：（Ⅱ）设函数，，要使，都有成立，只需函数函数在上单调递增即可，于是只需，成立，
当时，令，，
则；当时；当，，
令，关于单调递增，
则，则，于是．
又当时，，所以函数在单调递减，而，
则当时，，不符合题意；
当时，设，当时，
在单调递增，因此当时，
于是，当时，此时，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．
【评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求．