2016年全国高考理科数学试题及答案-全国卷2.doc
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2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共24题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出,确定后必须用墨色笔迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 (A)(B)(C)(D) (2)已知集合,,则 (A)(B)(C)(D) (3)已知向量,且,则m= (A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8 (4)圆的圆心到直线 的距离为1,则a= (A) (B) (C) (D)2 (5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 (A)24 (B)18 (C)12 (D)9 (6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 (A)20π (B)24π (C)28π (D)32π (7)若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为 (A)x= (kZ) (B)x= (kZ) (C)x= (kZ) (D)x= (kZ) (8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图,执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s= (A)7 (B)12 (C)17 (D)34 (9)若cos(4(π)–α)= 5(3),则sin 2α= (A)(B)(C) (D) (10)从区间随机抽取2n个数,,…,,,,…,,构成n个数对,,…,,其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 (A) (B) (C) (D) (11)已知F1,F2是双曲线E的左,右焦点,点M在E上,M F1与 轴垂直,sin ,则E的离心率为 (A) (B) (C) (D)2 (12)已知函数满足,若函数与图像的交点为,···,(),则 (A)0 (B)m (C)2m (D)4m 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分。 (13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= . (14)α、β是两个平面,m、n是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β. (2)如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n. (3)如果α∥β,mα,那么m∥β. (4)如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有 。(填写所有正确命题的编号) (15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3。甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 。 (16)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= 。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本题满分12分) Sn为等差数列的前n项和,且=1 ,=28 记,其中表示不超过x的最大整数,如[0.9] = 0,[lg99]=1。 (I)求,,; (II)求数列的前1 000项和. (18)(本题满分12分) 某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下: 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 (I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (II)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率; (III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. (19)(本小题满分12分) 如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置,. (I)证明:平面ABCD; (II)求二面角的正弦值. (20)(本小题满分12分) 已知椭圆E:的焦点在轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA. (I)当t=4,时,求△AMN的面积; (II)当时,求k的取值范围. (21)(本小题满分12分) (I)讨论函数 的单调性,并证明当 >0时, (II)证明:当 时,函数 有最小值.设g(x)的最小值为,求函数 的值域. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22)(本小题满分10分)选修4-1:集合证明选讲 如图,在正方形ABCD,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F. (I) 证明:B,C,G,F四点共圆; (II)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积. (23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. (I)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程; (II)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于A、B两点, ∣AB∣=,求l的斜率。 (24)(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x-∣+∣x+∣,M为不等式f(x) <2的解集. (I)求M; (II)证明:当a,b∈M时,∣a+b∣<∣1+ab∣。 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案 第Ⅰ卷 一.选择题: (1)【答案】A (2)【答案】C (3)【答案】D (4)【答案】A (5)【答案】B (6)【答案】C (7)【答案】B (8)【答案】C (9)【答案】D (10)【答案】C (11)【答案】A (12)【答案】C 第Ⅱ卷 二、填空题 (13)【答案】 (14) 【答案】②③④ (15)【答案】1和3 (16)【答案】 三.解答题 17.(本题满分12分) 【答案】(Ⅰ),, ;(Ⅱ)1893. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先求公差、通项,再根据已知条件求;(Ⅱ)用分段函数表示,再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和. 试题解析:(Ⅰ)设的公差为,据已知有,解得 所以的通项公式为 (Ⅱ)因为 所以数列的前项和为 考点:等差数列的的性质,前项和公式,对数的运算. 【结束】 18.(本题满分12分) 【答案】(Ⅰ)根据互斥事件的概率公式求解;(Ⅱ)由条件概率公式求解;(Ⅲ)记续保人本年度的保费为,求的分布列为,在根据期望公式求解.. 【解析】 试题分析: 试题解析:(Ⅰ)设表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1,故 (Ⅱ)设表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出”,则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3,故 又,故 因此所求概率为 (Ⅲ)记续保人本年度的保费为,则的分布列为 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 考点: 条件概率,随机变量的分布列、期望. 【结束】 19.(本小题满分12分) 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ). 【解析】 试题分析:(Ⅰ)证,再证,最后证;(Ⅱ)用向量法求解. 试题解析:(I)由已知得,,又由得,故. 因此,从而.由,得. 由得.所以,. 于是,, 故. 又,而, 所以. (II)如图,以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,.设是平面的法向量,则,即,所以可以取.设是平面的法向量,则,即,所以可以取.于是, .因此二面角的正弦值是. 考点:线面垂直的判定、二面角. 【结束】 20.(本小题满分12分) 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先求直线的方程,再求点的纵坐标,最后求的面积;(Ⅱ)设,,将直线的方程与椭圆方程组成方程组,消去,用表示,从而表示,同理用表示,再由求. 试题解析:(I)设,则由题意知,当时,的方程为,. 由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为.因此直线的方程为. 将代入得.解得或,所以. 因此的面积. (II)由题意,,. 将直线的方程代入得. 由得,故. 由题设,直线的方程为,故同理可得, 由得,即. 当时上式不成立, 因此.等价于, 即.由此得,或,解得. 因此的取值范围是. 考点:椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系. 【结束】 (21)(本小题满分12分) 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ). 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先求定义域,用导数法求函数的单调性,当时,证明结论;(Ⅱ)用导数法求函数的最值,在构造新函数,又用导数法求解. 试题解析:(Ⅰ)的定义域为. 且仅当时,,所以在单调递增, 因此当时, 所以 (II) 由(I)知,单调递增,对任意 因此,存在唯一使得即, 当时,单调递减; 当时,单调递增. 因此在处取得最小值,最小值为 于是,由单调递增 所以,由得 因为单调递增,对任意存在唯一的 使得所以的值域是 综上,当时,有,的值域是 考点: 函数的单调性、极值与最值. 【结束】 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ). 【解析】 试题分析:(Ⅰ)证再证四点共圆;(Ⅱ)证明四边形的面积是面积的2倍. 试题解析:(I)因为,所以 则有 所以由此可得 由此所以四点共圆. (II)由四点共圆,知,连结, 由为斜边的中点,知,故 因此四边形的面积是面积的2倍,即 考点: 三角形相似、全等,四点共圆 【结束】 (23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】 试题分析:(I)利用,可得C的极坐标方程;(II)先将直线的参数方程化为普通方程,再利用弦长公式可得的斜率. 试题解析:(I)由可得的极坐标方程 (II)在(I)中建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 由得, 所以的斜率为或. 考点:圆的极坐标方程与普通方程互化, 直线的参数方程,点到直线的距离公式. 【结束】 (24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析:(I)先去掉绝对值,再分,和三种情况解不等式,即可得;(II)采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当,时,. 试题解析:(I) 当时,由得解得; 当时, ; 当时,由得解得. 所以的解集. (II)由(I)知,当时,,从而 , 因此 考点:绝对值不等式,不等式的证明. 【结束】- 配套讲稿:
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