新课标全国卷五年高考数列汇编(附答案).doc

1.[2014·新课标全国卷Ⅰ]
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ.
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

2.[2014·新课标全国卷2]
已知数列满足=1，.
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）证明：.

3.[2013·新课标全国卷1]
设等差数列的前项和为，则()
A.3 B.4 C.5 D.6
4.[2013·新课标全国卷1]
设的三边长分别为，的面积为，，若，，则( )
A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列
C.{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D.{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
5.[2013·新课标全国卷1]
若数列{}的前n项和为Sn＝，则数列{}的通项公式是=______.
6.(2013课标全国Ⅱ，理3)
等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()．
A．B．C．D．
7.(2013课标全国Ⅱ，理16)
等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为__________．
8. [2012新课标全国卷]
已知为等比数列，，，则（）

9. [2012新课标全国卷]
数列满足，则的前项和为

10.[2010新课标全国卷]
设数列满足
（1） 求数列的通项公式；
（2） 令，求数列的前n项和

11、（2015全国1卷17题）为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.

12、（2015全国2卷4题）已知等比数列满足a1=3， =21，则 （ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
．
13、（2015全国2卷16题）设是数列的前n项和，且，，则________．
14、（2016全国1卷3题）已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ）
（A）100 （B）99 （C）98 （D）97
15、（2016全国2卷15题）设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 …an的最大值为 ．
16、（2016全国2卷17题）为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）求数列的前项和．

17、（2016全国3卷17题）已知数列的前n项和，其中．
（I）证明是等比数列，并求其通项公式；
（II）若 ，求．

18、（2017年国1卷4题）记为等差数列的前项和，若，则的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8
19、（2017全国2卷3题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
20、（2017全国2卷15题）等差数列的前项和为，，，则 ．
21、（2017全国3卷9题）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（）
A． B． C．3 D．8
12、（2017全国3卷14题）设等比数列满足，，则________．
．

详细解析
1.解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1，
由(1)知，a3＝λ＋1.
若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.
由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，
a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
2.解：
(2)

3.【解析】有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，
=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.
4.B
5.【解析】当=1时，==，解得=1，
当≥2时，==－()=，即=，
∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.
6.答案：C
解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.
∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，
∴＝q＋10，整理得q2＝9.
∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.
7.答案：－49
解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝＝10a1＋45d＝0，①
S15＝＝15a1＋105d＝25.②
联立①②，得a1＝－3，，
所以Sn＝.
令f(n)＝nSn，则，.
令f′(n)＝0，得n＝0或.
当时，f′(n)＞0,时，f′(n)＜0，所以当时，f(n)取最小值，而n∈N＋，则f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49.
8.【解析】选
，或

9.【解析】的前项和为
可证明：

10.解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，

。
而
所以数列{}的通项公式为。
（Ⅱ）由知
①
从而
②
①-②得
。
即

11，试题解析：（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，
当时，==，即，因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
所以数列{}前n项和为= =.
12【解析】设等比数列公比为，则，又因为，所以，解得，所以，故选B
13．【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．
14试题分析：由已知,所以
故选C.
15，试题分析：设等比数列的公比为,由得,,解得.所以,于是当或时,取得最大值.
16【解析】⑴设的公差为，，
∴，∴，∴．
∴，，．
⑵记的前项和为，则
．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∴．
由，得，所以.
因此是首项为，公比为的等比数列，于是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，
解得．
18，
联立求得
得选C
19，【解析】一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得.
20.【解析】∵ ， ，∴
∵ ，∴ ∴
∵ ∴ ∴
∴
∴
21.【解析】∵为等差数列，且成等比数列，设公差为.
则，即
又∵，代入上式可得
又∵，则
∴，故选A.

22.【解析】为等比数列，设公比为．
，即，
显然，，
得，即，代入式可得，