2022年必修四平面向量数量积的物理背景及其含义.pdf

平面对量数量积的物理背景及其含义学习目标1.明白平面对量数量积的物理背景，即物体在力 F的作用下产生位移s所做的功2把握平面对量数量积的定义和运算律，懂得其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判定两个向量是否垂直.知以梳理 自主学习学问点一平面对量数量积的定义(1)定义：已知两个非零向量a与b,我们把数量|a|b|c o s 9叫做a与b的数量积或内积)，记作a b,即a b=|a|b|c o s 9,其中9是a与b的夹角.(2)规定：零向量与任一-向量的数量积为0.学问点二 向量数量积的几何意义1.投影的概念如下列图：O A=a,O B=b,过B作BBi垂直于直线O A,垂足为Bi,就O Bi=|b|c o s8|b|c o s9叫做向量b在a方向上的投影，|a|c o s6叫做向量a在b方向上的投影.2.数量积的几何意义：a b的几何意义是数量积 a b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|c o s 9的乘积.摸索|a|=1,|b|=2,a与b的夹角9=120。，就a在b方向上的投影为,b在a 方向上的投影为.1答案 一一121解析 a在b方向上的投影|a|c o s 9=1 X c o s 120；2b 在 a 方向上的投影|b|c o s0=2X c o s 120 1.学问点三平面对量数量积的性质依据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质.设a与b都是非零向量，9为a与b的夹角.1)当a,b)=0 时，a b=|a|b|；当(a,b)=tt时,a b=|a|b|；-_当a,b=2时，a b=lC(2)或|a|=a2；a 分(3)0=(4)|A|S|a|b|.5)1 a+b 2=a2+2a b+b2；(a b)2=a2-2a b+F；(a+b)n 6 b)=a2 b2.学问点四 向量数量积的运算律(1)a feb 去换律)；(2)Aa)b=人a)b a 入 5)1 结合律)；(3)(a+b)e=a 七b(夜排律).摸索某同学由实数乘法的三条性质：ab=O.a=0 或 b=0；ab=bc,0.a=c；(3)(ab)c=a(be)；类比得到向量数量积的三条结论：ab=0.a=0 或 b=0；ab=bc,bWO.a=c；(abc=a(be),这三条结论成立吗？请简要说明.不成立，由于(a b)c表示一个与 c共线避罂(b N表示一个与-a决线的向鲁W c呜a不肯定共线，所以(a b)ca(be),一般情形下不会成立.题型一求两向量的数量积例 1 已知|a|=4,|b|=5,当(1)ab：(2)al b：(3)a 与 b 的夹角为 30时,分别求a与b的数量积.解(1)a b,如a与b同向，就 0=0,a b=|a|b|,c o s 仔4X 5=20；如 a 与 b 反向，就 9=180,Aa b=|a|b|do s 180 d4X 5X(-1)=-20.当 a_Lb 时,0=90,.-.ab=|a|b|c|o s 90=?0.当a与b的夹角为 30时，a b=|a|do s 30=4X 5Xe=10产跟踪训练1 已知|a|=4,|b|=7,且向量a与b的夹角为120,求(2a+3b)囿一 2b).解2a+3b)一2b)=6a2 4a b+9b a 6b2=6|a+5a b-6|b|2=6X 42+5X 4X 7 c o s 120-6X 72=-268.题型二求向量的模例2 已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为1T求|a十b|,|ab|.3，1 25解 a,t o|a|b|c o s9=5X 5X=.2 2|a+b|=/a+b 2=j|a|2H-2a-Ht r|b|2二广h寸|a-b|=ra一t r2=Jaf22a.划评I-25-=A/25-2X y+25=5.跟踪训练2 已知向量a与b的夹角为120,且|a|=4,|b|=2,求：(1)|a+b|；|(a+b)-a-2b)|.解 由已知 a b=|a|b|c o s 9=4X 2X c o s 120 4,a2=|a|2=16,b2=|b|2=4.(1)V|a+b|2=(a+b)2=a2+2a b+b2=16+2X(-4)+4=12,，|a+b|=2 3.(2)aHb)a 62b)=a2-a t -2b2=16-(-4)-2X4=12,(a+b)-a J2b)|=12.题型三求向量的夹角例3设n和m是两个单位向量，其夹角是 60,求向量a=2m+n与b=2n 3m的夹 角.解：|n|=|m|=1且m与n夹角是60,1 1nr it|m|n|c o s 60 1 X 1 X=2 2,|a|=|2m+n|=2m+n 2=4X 1+1+4m n=4X1+1+4X_=V7,|b|=|2n 3ml=2n 3m 2=J4X 1+9X 1-12m n=y4X 1+9X 1-12X,=/,a fe(2m+n)n(2-3m)=m rr 6m2+2n21 7=：-6X 1+2X 1=-_.2 2设a与b的夹角为9,就_7a b 2 _ 1c o s 9=t.=-廊1 2又ew 0,n 2：.6=2，故a与b的夹角为纪3 于跟踪训练3已知|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60,就当k为何值时，向量ka b与a+2b垂直?解要想(ka b)_L(a+2b),就需(ka b)a%2b)=0,即 k|a|2+(2k-1)a-b21bl2=0,-52k+(2k-1)X 5X 4X c o s 60-2 X 42=0,解得k=羽，即当k=W时，向量kab与a+2b垂直.15 15疑难解析平面对量数量积安排律的证明例4下面是证明安排律 a+b)c=ac+bc的过程，请你补充完整.证明：当 a+b与向量c夹角为直角时，如图(1)所示，向量a+b在向量c方向上的投影|a+b|c o s(a+b,c)=0；向量a在向量c方向上的投影为|a|c o s(a,c)=O Ai,向量b在c方向上的投影为|b|c o s(b,c)=O Bi,易知O Ai与O Bi互为相反数，即 O Ai+O Bi=0.所以|a|c o s a,c)+|b|c o s(b,c)=|a+b|c o s(a+b,c).两边乘以|c|得：|a|c|c o s a,c)+|b|c|c o s b,c=|a+b|c|c o s a+b,c),；.a c+b c=(a+b)e,即(a+b)a a c+b c.当a+b与向量c夹角为锐角时，如图(2)所示，向量a+b在向量c方向上的投影为|a+b|c o sa+b,c)=O Ci；向量a在向量c方向上瓶影为|a|c o s =O Ai,向量b在c方向上的投影为|b|c o s(b,c)=O Bi,VO Ci=O Ai+A1C1,AiCi=O Bi,.,.O Ci=O Ai+O Bi,/.|a+b|c o s a+b,c)=|a|c o s a,c)+|b|c o s b,c).两边同乘以|c|得：|a+b|c|c o sa+b,c)=|a|c|c o sa,c)+|b|c|c o s b,c),即(a+b)=a c+b c.当a+b与向量c夹角为钝角时，如图(3)所示，同理可证得(a+b)=a c+b e.()/图,2)(当堂技测 自查自纠1.已知向量a,b和实数人，以下选项中错误选项)A.|a|=a aB.|a-|t e|a|b|D.|a-|S|a|b|2.已知|a|=1,|b|=2,且(a+b)与a垂直，就a与b的夹角是()A.60 B.C.135 D.453.如向量a,b满意|a|=|b|=1,a与b的夹角为120,就a a+a b=4.给出以下结论：如 aW 0,a t eO,就 b=0；如 a t eb q就 a=c；(a)a(b c(a,)。a fb(a c)=0.如|a十 b|=|ab|,就 a b.其中正确结论的序号是课时精练一、选择题 1.|a|=2,|b|=4,向量a与向量b的夹角为 120,就向量a在向量b方向上的投影等于）A.1 3B.-2C.2D.-12.已知a b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与Aa-b垂直，就人等于（333A.B.2C.42D.13.已知向量a,b满意a b=0,|a|=1,|b|=2,就|2a-b|等于（）A.0B.2 ir2C.4D.84.已知|a|=2|b|W0,且关于x的方程x?+|a|x+a 裆。有实根，就a与b的夹角的取值范畴 是（）tt nA.0,g B.,tt n 2 n，丫 QTT D.-,tt5.如非零向量a,b满意|a|=|b|,（2a+b）b=0,就a与b的夹角为 0A.30 B.60 C.120 D.1506.如向量a与b的夹角为60,|b|=4,（a+2b）-a-（3b）=-72,就向量 a的模为（）A.2 B.4 C.6 D.12二、填空题127.已知向量a在向量b方向上的投影是3，问=3,就a 的值为.8.已知向量a与b的夹角为120。，且|a|=|b|=4,那么b-a+b）的值为.9.设非零向量 a、b、c 满意|a|=|b|=|c|,a+b=c,就a,b）=.10.已知a是平面内的单位向量，如向量b满意b“ab）=0,就|b|的取值范畴是三、解答题11.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是60,运算:(1)(2a+b)a(2-b)；(2)|4a-2b|.12.已知非零向量a,b,且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.13.已知|a|=1,|b|=1,a,b的夹角为120,运算向量2a-b在向量a+b方向上的投影.当堂检测答案1.答案 B解析 由于|a 后|a|b|(t o s 0|(6为向量a与b的夹角)=|a|b|c酬，当且仅当6=0或it时，使|a b|=|a|b|,|故B错.2.答案 C解析 a+b)a=a2+a 0,a b=-a2 1,.c o sa，b一|a|bix/一 2.又 a,b)e 0 0,180,0(a,b)=135.13.答案21解析 a e+a b=12+1 X 1 X c o s 120-2-4.答案解析 由于两个非零向量 a、b垂直时，a t eO,故不正确；当a=0,b_Lc时，a 裆b eO,但不能得出a=c,故不正确；向量(a)匕与c共线，a b)。与a共线，故不正确；正确，a fb(a c)c(a b)=(a*)Ha,)er(a)c(a,13=0.正确，|a+b|=|a b|.(a+b)2=(ab)2.a b=0.ab.课时精练答案一、挑选题1.答案 D解析 a在b方向上的投影是|a|c o s 0 2 X c o s 120 1.2.答案 A解析：（3a+2b）人 2b23=3Aa2-2b2=12A-18=0.A A=2,3.答案 B解析|2abF=(2ab)2=4|aF4a b+|bF=4X 14X0+4=8,|2a-b|=,2.4.答案 B解析 由于=a2-4|a|b|(io s6(9为向量a与b的夹角)如方程有实根,就有 AN O即a2-4|a|191dos02 0,又|a|=2|b|,4|b|2-8|b|2c o s0O,c o s g 把 乂 o w ew it,力，TT.w e wtt.35.答案 C解析 由(2a+b)b=0,得 2a b+b?=0,设a与b的夹角为&.,.2|a|b|c o s0+|b|2=O./.c o s 0|b|-同 2=1,6=120.2WI W 26.答案 C解析 V a fe|a|c o s 6方2|a|,(a+2b)*a 63b)=|a|2 6|b|2 a,b=|a|2-2|a|-96=-72.|a|-6.二、填空题7.答案 2解析 a,%|a|b|o sa,b)=|b|a|c o s(a,b)=3X 2=2.38.答案 0解析 b,2+b)=2a,1b|b|2=2X4X4义 c o s 120+42=0.9.答案 120解析,.，a+b=c,Ic|a+b|2=a2+2a b+b2.又|a|=|b|=|c|,/.2a b b2,即 2|a|b|c o s =|b|2.1/.c o s(a,b)=2?.(a,b)=120.10.答案0,1解析 b (a b)=a t|b|2=|a|b|c o s0|b|2=0,/.|b|=|a|c o s9=c o s 9(9 为 a 与 b 的夹角)，0g 0,tt 2，0W|b|W1.三、解答题11.解(1)(2a+b)-a(2-b)=(2a)2-b2=4|a|2|b|2=4X 42 82=0.(2)；|4a2b=(4a-2b)2=16a2 16a b+4b2=16 X 42 16X4X 8X c o s 60 4X 82=256.,.|4a-2b|=16.12.解由向量垂直得a+3b,7a5b=09a 4b 7a2b=07a2+16a 15b2即，7a2 30a b=-8b2a b二1|b,化简得 2,|a|=|b|T 12-at r 2 彳/.c o sa,b=引干|b 2|a|1 1又 b2=2X 12+1 X 1Xcos 120-12=_ 2,|a+b|=a+b 2=a2+2a b+b2=1+2X1X 1Xcos 1201-1=1.|2a b|c o s(2a b,a+b)=|2a b|2a b a+b|2a-b|a-Hb|_ 2a b a+b _ 1|a+b|21，向量2ab在向量a+b方向上的投影为_2,