《金融衍生品》课件_第04章_金融衍生工具定价原理.pdf

第四章金融衍生产品定价原理 第一节复利和无风险资产 第二节无套利定价原理 第三节 状态价格定价和风险中性定价 第四节鞅定价方法第一节复利和无风险资产一、复利在日常生活中，计息通常是以年或者月为频率的。当然，计息的频率可以比按月计息 更加频繁，有时候，可能是假日计息的。理论上讲，利息的支付甚至可能更加频繁按小 时、分钟、甚至按秒计息。一个符合逻辑的结论是，在一段时间内可能有无限次的利息支付,或者说付息的时间间隔无限短。这种无限次利息支付，我们就称为连续复利。设初始投资额为R(0)元，一年付息m次的利率为利息持续投入到利率相同的投资中,n年后的终值为：R(0)(1+Pe(4.1)连续复利终值公式为：1 嗯 R(O)(l+pE=/?(0)ern(4.2)其中，r为连续复利率。连续复利利率与普通复利利率的转换：Trm=?n(e 1)(4.3)用连续复利表示利率，可以避免每次都要说明年复利利率、半年复利利率还是月复利利 率等付息频率。为了便于推导衍生产品定价公式或者对冲公式，通常假设投资者能够连续进 行交易，这也要求有关计算必须采用连续复利利率。二、无风险资产考虑一项投资，在时间0的投资额度为R(0),投资期限为T,期间的利息收入全部进行 再投资。设f时投资账户余额为R(t),在0匕t M T上，账户余额在时间间隔d t上的瞬间变 AAAA.化等于期间的利息收入，即d R(t).=R()rd t,由此得出砍t)满足微分方程saaaaaXaaaaaaaaaaaaAaa/saa/dR(t),、7=Rrat该微分方程的解为R(t)=R(Q)ert(4.4)由此得到期末投资账户余额为R(T)=R(O)e,因此我们可以看出“账户余额在时间间 隔d t上的瞬间变化等于期间的利息收入等价于以利率r连续复利计算利息。这里 利率也称为连续无风险利率，R(t)称为连续复利率投资的无风险资产账户余额。在本书的大部分章节，我们都是假设无风险利率为常数，但在研究利率衍生产品时将要 去掉这个假设，而是假定每个短期(即无穷小的投资期限上)投资都存在一个无风险利 率r(t)o这意味着在f时刻R(t)元的无风险投资在时间间隔上的瞬间利率收入为 R(t)r(t)dt.在这样的情形下，初始额度为R(0)元的投资，”寸刻而投资账户余额为R(t)满 足的微分方程为d R(t)dt=R(t)r(t)该微分方程的解R(t)=/?(0)/；/)曲(4.4)上式中，为连续复利因子。如果所有的利率丁为常数小则J；r(t)d t=rt,连续复利因子J*=，与常数连续复利率的例子完全相同。第二节无套利定价原理一、卖空交易与无风险套利(一)卖空交易卖空交易，也叫“空头交易，当卖空交易投资者认为未来的某种股票、债券等证券价 格会下降，就缴纳一部分保证金，通过证券经纪商人借入该证券等先卖出，等价格跌到一定 程度后再买回这些股票等交还借出者，投资者在交易过程中获利，这种做法称为卖空交易。简单来说，卖空即为卖出你并不拥有的证券。卖空这种以融券方式进行的交易，主要有以下几脚：(1)纯粹的投机性交易。这类交易纯粹是为了获得价差利益而进行的，如交易者本身不拥 有证券，而是从别人或证券商处借入证券供交割时使用。(2)保值性交易，即以保值为主要目的的交易。客户如对某种证券的买进多于卖出，但 这种证券的价格又趋于下跌，于是他就可从事与下跌证券具有相同趋势的其他种类证券的空 头交易，从中获取利润来抵补前种证券可能带来的损失。(3)技术性交易，指出于某种技术方面的原因而进行的交易。客户虽然持有某种证券，但因已经质押出去或其他方面原因无法流通，为了抓住交易机会，暂时从其他方面借入该种 证券卖空。(4)套利性卖空交易，指交易者利用各地证券市场的价差，从较低的市场借入，然后在 价格较高的市场卖出，等待价格下趺后再购回的交易。（二）套利交易与纯粹的单 向投机不同，它是利用衍生产品和现货之间、或者衍生产品之间 的价格关系耒获利。通常的做法是针对两种或多种有关联的合约，在市场上同时开立正反两 方面的头寸 期望在未耒的价差变动于己有利时作获利了结。无风险套利是指利用一个或多个市场存在的价格差异，在不冒任何损失风险且无需投 资者自有资金的情况下,获取利润的行为。一般耒说，严格的无风险套利具有以下三个特征：=1。当然,在实际的交易活动中,纯粹零风险的套利活动 比较罕见。因此实际的交易者在套利时往往不要求零风险,所以实际的套利活动有相当大一 部分是风险套利。2）无风险的套利活动是自融资投资组合，即开始时套利者不需要任何资金的投入，在投资期间也不需要投资者额外投入任何的资金。这一点需要以金融市场可以无限:制卖空为 前提。在没有卖空限制的情况下，套利者的自融资投资组合不管未耒发生什么情况，该组合 的净现金流都大于零。我们把这样的组合叫做“无风险套利组合”。从理论上说，当金融市场出现无风险套利机会时，每一个交易者都可以构筑无穷大的 无风险套利组合耒赚取无穷大的利润。这种巨大的套利头寸成为推动市场价格变化的力量，迅速消除套利机会。所以，理论上只需要少数套利者（甚至一位套利者），就可以使金融市 场上失衡的资产价格迅速回归均衡状态。无套利的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券耒复制另外一组证券。复制技术 的要点是使复制组合的现金流特征与被复制组合的现金流特征完全一致，复制组合的多头 空头）与被复制组合的空头多头）互相之间应该完全实现头寸对冲。由于价格不同，这 时通过对价格高者做空头、对价格低者做多头，就能够实现在头寸对冲、不承担风险的前提 下获取收益的目标,从而实现套利。由于套利活动的存在会推动市场走向均衡，因此可以互相复制的两种资产在市场上交 易时必定有相同的价格，否贝就会发生套利活动。由此可以得到的一些基本推论包括：0,25y=0求斛1上用期，散=0.25,尸-4.433。哪!价格为f=20 x+y=0.567 元二叉树期权定价f表示更一般地，假设一只无红利支付的股票，当前o时刻股票价格为5,基于该股票的某个 期权的价值是力期权到期日为几在期权存续期内,股票价格或者上升到S8或者下降到 Sd,在期权有效期内股票不支付红利,相应的期权回报分别为笈或者力，丘里和d分别 为上升幅度和下降幅度市场无套利要求股票价格处于上升时其收益率要大于无风险利率，处于下降时其收益 要小于无风险利率，否则就会存在套利机会，即u erT d（4.6）构造一个由一单位看涨期权空头和理位标的股票多头组成的无风险资产组合,并可计 算得到该组合无风险时的A值A fufdA=-z-z-7Su Sa如果无风险利率为心在无套利条件下，有SA-/=（S 必一九）整理后，期权价格/=e-rrp/u+（l-p）/J(4.7)(4.8)其中P=u-d(4.9)第三节状态价格定价和风险中性定价一、状态价格定价假定在某一特定状态发生时，某一证券的持有人得到1元的回报；如果该状态没有发 生，则该证券的持有者什么也得不到。此类证券通常被称为“基本证券”，也被称为阿罗(Arrow)证券。状态价格(state prices),指的是在特定的状态发生时回报为1,否则回报 为0的证券在当前的价格。下面我们考虑两种状态的情形。1兀d购买迎份基本证券1和的I份基本证券2,在无套利条件下，该组合在丁时刻的回报 与股票是相同的，即5=SU7TU+Sd7rd(4.10a)或者,U7Tu 4-dTTd=1(4.10b)购买1份基本证券1和1份基本证卷2,该组合在T时刻总能获得1元,这是无风险组 合，在无套利条件下，有L即erTnu-+erTnd=1(4.11)结合(4.10)和(4.11)式，可以求得由(4.6)式，可以保证f0,20。因此，风险资产与无风险资产之间不存在套利机 会与状态价格为正是完全等价的。更一般的,在状态价格和2已知的情况下，对期末时两状态下的或有支付为乙和尸d 的风险资产，其当前的无套利均衡价格P满足下式：P=Puttu-I-ndPd(4.13)二、风险中性定价(-)瞄中噬价公式下面我们引出风险中性概率和风睑中性定价。首先我们定义内=凡 Pd=er%。由前文可知，Pu0；Pd0,且Pu+Pd=l。我们可以将上升状态的班率赋值Pu,将下降 状态的概率赋值Pd。请注意,这是我们直接赋予的一个概率值,而不是这两个状态“直实”的概率。在我们赋予的概率下，(4.式可以写成如下的形式:P=(Pu Pu+Pd Pd)e-rT(4.14)上式表明，两状态的风险资产价格P等于其未来的或有支付和匕在概率比和%下的期 望值，再按照无风睑利率贴如在概率仇和为下,任何资产的未来支付的期望值按照无加睑利率的贴现值等于该资产当 前的价格，似乎所有的投资者都是风险中性的,贴现率中不需要包含风险溢价。由此可以 看出,对资产进行定价时,可以对概率进行调整,使投资者好像是网险申性的一样。这个调 整后的概率被称为风险中性概率,而该定价方法称为咽中性定价法。该方法源于Cox和 Ross(1976)的论文。(二)如何理解%中性定价从上述的推导过程可以看出，风险中性定价其实质还是无套利定价。当然,这里并不表示投资者真正是风险中性的,风险溢价体现到了概率的调整上。y为 风险收益率，尸-风险溢价。Pr。瓦和方叽分别为“真实世界”风险资产价格上升和下降 的概率，贝IP=e-yT(ProbuPu+Pro/Pd)(4.15)在投资者风险厌恶的市场下，风险溢价X),即J匕比较(4.14)式和(4.15)式，可 知Pro%瓦和Probdpd.因此风险中性概率是对实际概率的调整,调整程度的大小隐含了“真实世界 的风险厌恶程度和风险溢价的大小。将(4.14)分别运用到不支付红利的股票、衍生产品和无风险资产上，可以得到如下的 定价公式：5=(pu5u+pd5d)e-rr(4.16a)f=(Pufu+PdfdL 16b)l=Pu+Pd(4.16c)第四节 鞅定价方法一、风险资产不支付红利情形下的鞅定价（）计价物的概念在之前的分析过程中，我们采取购买力恒定的货币为资产计价。事实上，除了采用货 币为资产计价外，我们还可以采用某种资产的价格为其他资产计价。比如,可以采用无风险 资产作为计价物，也可以采用其他风险资产，如黄金、股票和外汇等作为计价物，为其他资 产计价。（二）无风险资产计价物下鞅定价公式在引入计价物的概念后，我们可以将之前的定价公式写成另外一种等价鞅的形式。为 了简化，我们先针对风险资产不支付红利情形。首先我们分析采用无风险资产作为计价物时的情形。考虑当前1元的无风险投资，在 时间了投资增加到e4。将当前的价格取为丑=1,T时上升状态或下降状态下的价格分别写 为&和%=%=。在无风险资产价格作为计价物下,（4.14）式可以重新写成：R=Pu 瓦；+Pd 两（4.17）（4-17）式表明，如果采用风险中性概率，当前的资产价格与无风险资产价格的比值，等于未 来该资产价格与无风险资产价格比值的数学期望值，即丁时，该比值的均值等于当前的比 值。将（4.17）分别运用到不支付红利的股票、衍生产品和无风险资产上，我们可以将（4.16）式写成以下公式：s S ftdPu61（4.18a）Pu Pd（4.18b）l=Pu+Pd（4.18c）（三）不支拉利风险资产作为计价物下的怏定价公式类似于使用（4.11）式定义风险中性概率，即概率等于状态价格与期末的无风险资产价 格乘积,我们还可以使用（4.10a）式定义上升状态和下降状态的概率,即：Q u-7ru-y=nuu（4.19a）S ftqd=nd-=ndd（4.19b）这里，qu0.qd0,且qu+qd=l,因此qj口Q d可以看成上升和下降的概率,我们称 之为。概率。在这个概率定义下,定价公式（4.15）式可以写成如下的式子：7T=（4.20）3 3 u 3d将（4.20）分别运用到不支付红利的资产本身、衍生产品和无风险资产上,我们可以将（4.16）式写成以下公式1=Q u+Q d（4.21a）j=Qu+Qd（4.21b）q*+qd（4.21c）W A u J d(四)定价公式中的术语下面我们正式给出定价模型中用到的术语。到目前为止，我们对未来上升和下降的状态已经定义了三种不同类型的概率。对事件 赋予概率过程，也可称为概率泱1度，或简称为测度。在每一个概率测度下，我们可以计算随 机变量的期望值和方差等统计量。选择无风险资产作为计价物时，用来计算其他资产价格与计价物比值的期望值的概率 测度是风险中性概率测度。而选择风险资产价格作为计价物时，需要选择(4.19)式定义的概率测度计算其他资产 价格与计价物的比值期望值。因此，在定价模型中，计价物和概率测度是一一对应的。在随机过程分析中，鞅或者鞅过程是一个重要的概念。当前时刻为一已知某一随机过 程当前时刻的观测值X(s),若未来某一时刻f该随机过程在某一概率测度H下的条件期望 等于当前时刻该随机过程的观测值，即E，X(t)|ts=X(s)则这一随机过程在这一概率测度下是鞅过程,其中理表示概率测度H下的期望值。运用鞅过程的定义，我们可以对定价公式(4.17)和(4.20)重新进行表述。(4.17)式表明，选择无风险资产作为计价物时，其他资产价格与无风险资产价格的比值在风险中性 概率测度下是一个鞅过程。(4.20)式表明，选择风险资产价值作为计价物时，其他资产的价格与风险资产价格 的比值在。概率测度下是一个鞅过程。二、风险资产支付红利情形下的鞅定价如果股票支付红利，其连续红利率为会 这时上述的定价公式需要做一个调整。假设期初持有一单位股票，计时红利再投资风险资产的价值则P(0)=5,V(D=S(T)s。股票价格上升时，计几=5十打；股票价格下降时，计乙=5相。在这样的红利 支付假设下，(4.10a)调整为S=匕E+Vdnd(4.16a)式调整为：S=(puVu+pdVd)2(4.1 Sa)式调整为如下定价公式：(4.22)(4.23)(4.24)(4.25)由(4.22)式，可以得到-VuU,Vdd 1=因此，在股票支付红利率q的情形下，定义上升状态和下降状态的概率为：Vqu=nu=nuueqT(4.26a)Qa=nd-=冗 ddei 7(4.26b)在这个概率下，定价公式(4.20)式可以写成如下的式子：P _ Pu Pd/A 07F(0)=+C427)通过上面的分析可以看到，对于支付红利的资产，不论是用其他作为计价物对其计价,还是用该资产作为计价物时，都需要将支付的红利加以考虑。三、等价鞅测度变换与资产定价(-)鞅与等价鞅;则度的定义衍生产品的鞅定价方法对分布的概率测度进行变换，从而使随机变量的均值也发生变 化。概率测度变换其实就是对概率进行调整。在进行概率测度变换时,不管这两个测度下对 其他状态赋予何种概率)只要它们对不可能事件看法是一样的,那这两个测度就是等价;则度。即在原来的概率测度下概率为0的事件,在新的概率测度下概率也为0,反之也成立,这样 的概率测度变换称为“等价概率泱1度”变换。如前面两状态下的鞅定价方法所示,在衍生产品定价时,概率测度的变化隐含所有风 险资产在无风利率基础之上的“风险溢价,O在对衍生产品定价时,使用了一种特殊的“等 价概率测度”变换，该概率测度变换要求风险资产的方差,即风险的大小不会随着概率测度 的变换发生变化。我们进行这样的不同概率测度变换目的是为了规避衍生产品定价过程中的诸多困难。例如,在衍生品定价中，如果在直实的概率测度下数学期望值计算存在各种困难，如需要计 算出衍生产品的风险溢价以及衍生品未来支付的直实概率测度,我们才能使用期望现金流贴 现模型对衍生品定价,在现实当中几乎是不可能实现的。如前文所示,基于无套利定价原理,我们可以转换成风险中性概率测度下对衍生品进 行定价。本节的目的就是为了夯实这种变换所需要的数学基础,以方便推广到更为复杂的连 续时间随机过程中的概率测度变换。鞅与等价鞅测度的定义连续时间鞅过程的定义为：在概率测度P下，若对于所有f都满足E TX(t)|s,且 用X(O|X(t),t s=X(s),则随机过程X(t)在概率测度P下是一个鞅过程。离散时间的鞅过程的定义为:在概率测度p下,若对于所有neN都满足E P|Xn|贝”转换后的概率测度称为等价鞅测度。(-)资产定价中等价鞅:则度变换在本童第四节中，我们基于无套利的定价原理，构造了无风险资产和风险资产(红利 再投资的风险资产)作为计价物相对应不同的概率测度，并且证明了其他资产的价格(包含 红利)与计价物价格的比值在对应的概率测度下是一个鞅。下面我们从等价鞅测度的角度,对上述鞅定价方法做一个正式的证明。在r时刻,用来贴现未来-1时刻的随机现金流的市场随机贴现因子为m(t+l)o 假设某金融资产i在未来什1时刻的随机支付为这里是资产i在一1 时刻的价格R(t+1)加上所有的红利Dj(t+1)(或者利息)收入,可以合理假定出(t+l)为 必然非负的随机变量,这里还假定在某些状态下，兄(t+1)为正。该金融资产当前的市场价 格为Pi(t),在无套利约束下,Pi(t)0。该金融资产的定价公式：+=P)(4.61)在状态离散情形下,随即贴现因子与状态价格之间的关系如下：小(+1)=您(4.43)丐、Prob,所以随机贴现因子也称为状态价格密度。(二)资产定价中等价鞅;则度变换在Pi(t)0约束下，(441)可以写成尸(+1必(+1)_I PM J记4。+1)=也喑产。在上述的约束条件下，4(t+l)为几乎必然非负的随机变量，且 E Zf(t+l)=lo因此，可以将原来的概率测度转换到与其等价的概率测度P(A)：d声=现t+l，2；：+l，3)dp(3)(4.62)在概率测度吓，随机变量的Y的期望值可表述如下：.C-巩 t+Lo)Xf(t+Lo),、EPY=yQ)3)=E y(co)-短点-(4.63)J在(4.62)式中选择不同的资产，可将“真实世界”的概率测度转换为不同的概率测度。这里为随机变量，当A发生时取1,否则取值0。选择无风险费产作为计价物时，概率测度P(A)为P(A)=F/X?n(t+lta)erT(4.64)这个概率测度就为“风险中性概率测度”O当选择匕=工工的红利再投资的资产作为计价物时，概率测度2(A)为P(A)=E 04皿一)；二.1户】(4.65)(-)资产定价中等价鞅;则度变换本章第四节中主要的结论是当采用某资产作为计价物得出的概率测度时,其他资产的 价格(包含红利或利息等)与计价物价格的比值在对应的概率测度下是一个鞅。下面证明这个结论对本节给出的一般模型也成立，即P(t)一 严口叫 P+D nuw(t)Lnum(t+1)J(4.66)这里/的表示:曲卬作为计价物时的概率测度下的期望值。需要强调的是，这里的被定价 资产和计价物都是应百红利再投资的价格。(二)美产定价中等加鞭剜度奏换上逑的定价公式证明如下:在Z时，考虑如下的自融奥交易策略：卖空焉号;数里的计价物奥产，荻得资金 G用来购买1单位的钺定价亮产，持有该奥产组合到什1时结清o 假设持有期同任何奥产产生的红利或者利息在相同的奥产上进行了再投去“+1时被定 价奥产的红利再投去的价格为尸8+工)，计价物红利再投重的价格为rxrrt+工)。在什1时交易结清后能带来的收入为如下随机妾里：PCO PQt+1)nX七 4-1)numQ tj由于该交易策略在t时不需要投奥者投入自有奥金的自融奥组合，在t时的价格必定为 o,W+1时交易结清后能带来的随机收入在z时的贴现值也为O，即：E m(t+1)(PQt+1)numQt+1 I=0 nzirrtj y I将上式整理后，可得：E(-7丁-I mJit 4-1)-I=0 4.69)7i2xrrKt+1 j numCt)/记51十】)=m十】)写缁*，贝U E5十)=1，且 NhEH+l)为几乎必然非负 的随机芟里，因此利用Nsm 十工)可以将原来的概率喇度转换到与其等价的概率则度 bqA):K(A)=EIAmJit+1)-鲁鼠(4.70)根据(4.63),(4.69)在概率测度尸e(a)下可以转换成如下式子;一(尸()_-)1=0ynixmCt 4-1)nzimQt)J 或者等价地尸 =尸匕+11 numQ tj nixrrK t-F 1 j5.为概率则度尸RE(a)下的期望值o从上逑推导过程可以看出，鞅定价实质是无套利定价的一种数字表逑方式。四、鞅定价的运用：欧式期权的例子以欧式看涨期权为例介绍鞅定价的一个应用例子。欧式看涨期权到期支付为C(T)=max(S(T)-K,O)C(T)可以写成以下形式C(n=S(T)I-KI(4.72)其巾，/如下取值：当S(T)2K时，7=1;当S(T)S0)为计价物，贝”有G(。)_ Fp 0(0)oCsCVctT因此，Cs(0)=e-qTSQOEI=e-TS(O)Pro5(T)印对欧式数字期权定价时，以无风险生产R(ty=/为计价物I：cD(o)_ FrcD(ni7?(0)一 Rm 因此，CD(0)=0TE Z=gYTPro，S(T)N 勺最后，我们可以得到欧式看涨期权的定价公式：C(0)=grTs(0)PvoBI$(T)K-K LTPt。谬ISQT)幻(4.75)(4,76)(4,77)(4,78)(4.79)熟悉BlacK-Scholes期权定价公式的读者，可以通过对比(4.79)式和Black-S0ol可 期 权定价公S；爰就Pro S(T)K=N(d。，ProtSfT)K=N(d2)其中N()表示正态分布函数的累积概率函数，心和心是两个不同的里。尽管N0D和N02)都表示期权到期被执行的概金，但N(dQ表示V计价物概率则度下期权到期执行概率，N02)表示风险中性概率则度下期权到期执行概率。在下一章里，我们在假设标的奥产价格服从特定随机过程基础上，计算出上面同个不同 概率则度下欧式看张期板到期执行的概率。对于欧式看跌期权，其到期支付为尸(T)=max(K-S(T),0)。按照上述的相同方法，可以得到其定价公式：P(0)=Ke-rTProlS(7 M 勺 一0一仃5(0)尸?01又乃 K 4.SO)其中 Pro，S(T)/CJ=1 NS2)=N(心)，Pro/S(T)ZC=1 N(d1)=N(dQ。