基于反馈控制的分数阶复值神经网络的Hopf分岔.pdf

第2 2 卷第3期2023年9 月doi:10.12194/j.ntu.20221128004引文格式：宋倩倩，程尊水.基于反馈控制的分数阶复值神经网络的Hopf分岔J.南通大学学报（自然科学版），2 0 2 3，2 2(3):56-71.南通大学学报（自然科学版）Journal of Nantong University(Natural Science Edition)Vol.22No.3Sept.2023基于反馈控制的分数阶复值神经网络的Hopf分岔宋倩倩，程尊水*（青岛科技大学数理学院，山东青岛2 6 6 0 6 1）摘要：研究了具有时滞的分数阶复值神经网络的分岔控制问题。通过对原系统设计反馈控制器，调节反馈增益参数来改善系统的动态性能，并产生Hopf分岔；给出了系统产生Hopf分岔的充分条件和临界参数值；最后通过数值仿真验证了理论结果的正确性。关键词：分数阶复值神经网络；稳定性;Hopf分岔；反馈控制中图分类号：TP183Hopf bifurcation of fractional complex-valued neural networks(School of Mathematics and Physics,Qingdao University of Science and Technology,Qingdao 266061,China)Abstract:This study investigates the bifurcation control problem of fractional complex-valued neural networks withtime delays.By designing a feedback controller for the original system and adjusting the feedback gain parameters,the dynamic performance of the system is improved,and a Hopf bifurcation is generated.The sufficient conditions forthe system to exhibit Hopf bifurcation and the critical parameter values are provided.Finally,the theoretical results isverified through numerical simulations.Key words:fractional complex-valued neural networks;stability;Hopf bifurcation;feedback control随着科学与技术的发展，涉及脑科学、数学科学、智能控制等多个领域的神经网络被广泛应用于分类 图像识别2-3 和优化4 等多个方面。探索神经网络性质的有效方法是分析网络的动力学性能，因此，神经网络的动力学行为引起越来越多学者的研究兴趣,其中稳定性和分岔(分支)5-6 是神经网络动力学中的重要特性，例如Wang等回人研究了三对角双向联想记忆(bidirectional associative memory,BAM)神经网络模型的稳定性和Hopf分岔特性。此外,神经网络的分岔、振荡、混沌和同步7-9 等动力学性质收稿日期：2 0 2 2-11-2 8 接受日期：2 0 2 3-0 3-15基金项目：国家自然科学基金面上项目（6 137 40 11)；山东省自然科学基金面上项目（ZR2020MF080)第一作者简介：宋倩倩（19 9 7 一），女，硕士研究生。*通信联系人：程尊水（19 7 2 一），男，教授，博士，主要研究方向为复杂系统与复杂网络。E-mail：c h e n g z u n s h u i g ma i l.c o m文献标志码：Abased on feedback controlSONG Qianqian,CHENG Zunshui*文章编号：16 7 3-2 340(2 0 2 3)0 3-0 0 56-16也是当前的研究热点18-9 。分数阶微积分涉及任意阶的积分和导数。不同于整数阶系统，分数阶系统具有无限遗传和记忆能力的优点，这也使得分数阶模型被广泛应用于物理和工程等领域。其中，在信号传输中会不可避免地出现时滞，时滞的存在会对系统的动态性能产生影响,导致系统失去稳定性。因此,对具有时滞的分数阶神经网络模型进行稳定性和分岔分析就显得非常必要，也引起了研究者的广泛兴趣10-13,例如Huang等12 人研究了高维分数阶神经网络中由自连宋倩倩，等：基于反馈控制的分数阶复值神经网络的Hopf分岔接时滞引发的分岔问题。近些年来，具有时滞的分数阶神经网络的动力学分析取得了丰硕的研究成果，推动着人们去扩展现有的分数阶网络模型。其中,具有时滞的分数阶复值神经网络(fractional complex-valued neural net-works,FCVNNs）就是在分数阶实值神经网络（frac-tional real-valued neural networks,FRVNNs)的基础上发展起来的。与一般的分数阶实值神经网络不同，具有时滞的分数阶复值神经网络的状态、连接权重和激活函数都是复数，因此它可以解决更复杂的问题，获得更新的研究成果1 4-1 9。例如Yuan等7 人对具有时滞的二元分数阶复值神经网络进行了研究，这也激励了我们对这类网络进行更深入的探讨。在分数阶神经网络中,学者们为了得到理想的分岔行为，针对不同的网络提出了多种控制策略，常见的控制方法有PD控制2 0、混合控制2 1 和反馈控制2 等。这些控制方法不仅为网络控制提供了理论帮助，也在化学工程和电力工程等领域中发挥了实际效益本文的主要贡献如下：1)通过设计反馈器对具有延迟的分数阶复值神经网络模型进行控制，并分析了受控系统的稳定性和分岔行为;2)给出了受控系统产生Hopf分岔的充分条件;3)给出了产生分岔的临界参数值，分析了反馈增益参数与阶数对系统分岔行为的影响。1问题描述在文献1 6 中,Huang等人研究了具有离散时滞的二元延迟分数阶复值神经网络，该网络模型为Dz,(t)=-uiz(t)+af(z(t-T)+bf(z(t-T)Dz,(t)=-z2(t)+cf(z(t-T)+df(z2(t-T)Yuan等7 人进一步将泄露时滞引入上述模型,得到Dz,(t)=-iz(t-T)+af(z(t-T)+bf(z(t-T)Dz,(t)=-z(t-T)+cf(z(t-T)+Odf(z2(t-T)57.在本文中，我们考虑同时具有泄露时滞和离散时滞的三元分数阶复值神经网络，并为该系统设计了时滞反馈控制器，数学模型表示为Dz(t)=-uiz(t-T)+af(z(t-T)+b,f(z2(t-T)+cf(z,(t-T)+Kz(t)-zi(t-T)Dz,(t)=-z(t-T)+af(z1(t-T)+b,f(z2(t-T)+c-f(z,(t-T)+Kz2(t)-z2(t-T)Dz,(t)=-ugz;(t-T)+af(z(t-T)+bsf(z2(t-T)+cf(z,(t-T)+Kz;(t)-z;(t-T)其中:q E(0,1);z,(t)G=1,2,3)是复值状态;u,(G=1,2,3)是正实数;q，b,c,G=1,2,3)=C表示连接权重,均取为复数值;T是时滞;f()是激活函数;K是反馈增益参数。系统(3)的平衡点为(z1,z2,z,)=0(0,0,0)。为简化分析，做以下说明：(H1)z,=x+i,(=1,2,3),其中xj,y,分别代表z,的实部和虚部，i是虚数单位。(H2)连接权重,bj,c,G=1,2,3)可以表示为g=,+ig,b,=b,+ibj,c,=c,+ic,(j=1,2,3)。(H3)激活函数()的实、虚部表示为f=f+if。(1)(H4)()的实、虚部对x,，y,的偏导%,%(i=1,2,3)存在且连续,并有JR(0,0,0)=0,fi(0,0,0)=0。2时滞反馈控制器下的Hopf分岔分析(2)根据(H1)一(H4),对系统(3)分离实部和虚部，可以得到如下的等价模型：(3)58.Dx,()=-uxi(t-T)+dif(a(t-T),yi(t-)-aif(ai(t-T),yi(t-T)+b/fr(ag(t-T),y2(t-T)-bif(x(t-T),2(t-T)+eifr(xg(t-T),ys(t-T)-cif(xg(t-T),ys(t-T)+Kx(t)-x(t-T)Dyi(t)=-uyi(t-T)+dif(a(t-T),yi(t-T)+af(a(t-T),yi(t-T)+bif(a,(t-T),y2(t-T)+bifr(x2(t-T),y(t-T)+cif(x,(t-T),ys(t-T)+cifr(xg(t-T),ys(t-T)+Klyi(t)-yi(t-T)Dx,()=-2(t-T)+dfr(a(t-T),yi(t-T)-df(xi(-T),yi(t-T)+bfr(ag(t-T),2(t-T)-bf(x(t-T),y2(t-T)+ezf(xg(t-T),ys(t-T)-czf(x(t-T),s(t-T)+Kx2(t)-x(t-T)Dy,(t)=-u22(t-T)+df(a(t-T),yi(t-T)+df(i(t-T),yi(t-T)+bf(x2(t-T),y2(t-T)+bsfr(x(t-T),y2(t-T)+c2f(g(t-T),ys(t-T)+cfr(xg(t-T),ys(t-T)+Kly2(t)-y2(t-T)Dx,(t)=-ugxg(t-T)+dfr(x(t-T),y(t-T)-df(a(t-T),(t-T)+bsfr(a2(t-T),y2(t-T)-bf(x(t-T),2(t-T)+csfr(x,(t-T),ys(t-T)-cf(xg(t-T),ys(t-T)+Kxg(t)-xg(t-T)Dy()=-sy(t-T)+df(x(-T),(t-T)+dfr(xi(t-T),yi(t-T)+bf(a2(t-T),y2(t-T)+bsfr(x,(t-T),y2(t-T)+csf(x(t-T),ys(t-T)+cfr(x(t-T),ys(t-T)+Kys(t)-ys(t-T)令x(t)=Ul(t),yi(t)=U,(t),x2(t)=U,(t),y2(t)=U4(t),xs(t)=U,(t),ys(t)=U(t),则系统DU(t)=-uU,(t-T)+au,(t-T)+ap U,(t-T)+ag U,(t-T)+auU(t-T)+ais U,(t-T)+aisU(t-T)+KU,(t)-U,(t-T)DU,(t)=-u,U,(t-T)+ai U(t-T)+a2 U,(t-T)+a2,U,(t-T)+ay U(t-T)+a2s U,(t-T)+a2U。(t -T)+K U,(t)-U,(t -T)D U,(t)=-u,U,(t-T)+agrU(t-T)+a2 U,(t-T)+dg U,(t-T)+ay U(t-T)+as U,(t-T)+a U,(t-T)+KU,(t)-U,(t-T)DU()=-u,U.(t-T)+a4l U,(t-T)+aa,(t-T)+a4s U,(-T)+au U(t-T)+a4s U,(t-T)+a4gU。(t -T)+K U 4(t)-U (t -T)D U,(t)=-u,U,(t-T)+asi U,(t-T)+as,U,(t-T)+ag U,(t-T)+as U(t-T)+ass U,(t-T)+as U。(t -T)+K U,(t)-U,(t -T)D U(t)=-u,U,(t-T)+a U,(t-T)+ae U,(t-T)+g U,(t-T)+aa U(t-T)+as U,(t-T)+a U,(t-T)+KU(t)-U(t-T)南通大学学报（自然科学版）(4)变换后的线性模型为2023年（4)(5)宋倩倩，等：基于反馈控制的分数阶复值神经网络的Hopf分岔其中（i j=1,2,3,4,5,6)的定义见附录A。s-K+me-ST-ST-a2;e-ST-a3ie-ST-a4ieST-asieST-%i e其中m,=-au+K,m,=-d2+K,m,=z-a33+K,m4=z-a4+K,ms=,-ass+K,mg=Mg-a%o+K。式（6)可以等价写成：P(s)+P,(s)e+P,(s)e-55TP,(s)es*+P(s)e452这里P(s)=s0+N,sN,s+N。P,(s)=N,s+Ngs4Ni2，P,(s)=Ni.s+N,P,(s)=Nis+Nig.s+N2os+N21,P,(s)=N2,s+N2s+N4,P,(s)=N2s+N26,P,(s)=N27,其中,N1,Nz,N，,N2 5,N2 6，N2,的定义详见附录B。2.1T0时式(7)特征根的存在性分析式(7)两边同乘，可得3ST2sTP(s)esT+P,(s)e+P,(s)e+P4(s)+-2STP,(s)e*+P,(s)e+P,(s)e假设s=io=weT=w(cos+isin2259.线性系统(5)对应的特征方程为ST-ST-a12e-a13e-ST-K+m,e9STS-ST-a32eST42eSTa52e-ST-%2e+P4(s)e65T+P,(s)e=0,5q4q54+N2s+N3s+N4s+2q3q24+N+N+N+1oS115Vl4s+Nis+Nios+Ni7,3q2q2qST-a14e-ST-a23e-24 e-ST-STs-K+m,e-a34 e-STs-K+m4e-ST-a43eST-a53e-ST-%3e3ST+3q-3sT=0。TT)(0)是ST-aiseST-2se-ST-a3s e-3Ta4seSTs-K+mseST-as4 e-ST-%4 e式(8)的纯虚根,A,B,(i=1,2,7)分别是P(s)在s=i时所对应的实部和虚部。将s=io,P(io）=A,+iB,G=1,2,7)代人式(8),分离实部和虚部可得(A,+A,)cos 3T+(B,-B,)sin 3wT+(A,+A,)cos 2wT+(B。-B,)s i n 2 w T +(7)(A,+A,)cos WT+(B,-B,)sin WT=-A4(B,+B,)cos 3wT+(A,-A,)sin 3wT+(B,+B。)c o s 2 w T +(A 2 -A。)s i n 2 w T +(B,+B,)cos WT+(A,-A,)sin WT=-B4其中,A,B,(=1,2,3,7)的表达式见附录C。下面分两种情况对式(9)进行讨论。2.1.1 sin wT=V1-cos ar 时式(7)根的情况当 sin oT=V1-cos ar 时,先将式(9)的第 1个方程改写成(A,+A,)cos(2WT+WT)+(B,-B,)sin(2wT+WT)+(A,+A。)(2 c o s WT-1)+2(B-B,)cos WTsin WT+(A+A,)cos WT+(B,-B,)sin WT=-A 4,再将 sin aT=V1-cosar代人上式得4(B,-B,)cos wT+2(B。-B,)c o s WT +B,+B,-B,-B,1 V1-cos oT=(8)-4(A,+A,)cos WT-2(A,+A。)c o s WT +3(A,+A,)-(A,+A,)cos WT+A,+A。-A 4 0-ST-a16eST-a26e-5T36e-ST46e-as6e-STs-K+me-ST-a%s e2=0，(6)(9)60.将上式两端平方，得6d,cos WT+d,cos WT+d,cos WT+dy cos WT+dscos wT+d.cos WT+d,=O,其中d,=16(A,+A,)+(B,-B,),d,=16(A,+A,)(A2+A)+(B,B,)(B。B,),d,=4(A,+A。)-2(A,+A,)(3 A,+3 A,-A,-A,)-4(B,-B,)+2(B,-B,)(B+B,-B;-B,)+(B。-B,)1,南通大学学报（自然科学版）4两边开方并移项，得(10)3针对方程(1 2）,有下面两种可能：(i)取式(1 2)中的3x+E,x+E2x+E,=0,2其中E,2023年24e2+4-e。=0。e1424e6+6e54e(12)(13)eE，4e6Ed=4(B。-B,)(B,+B,-B,-B,)-4(B,-B,)(B-B,)-2(A,+A,)(A,+A-A4)-(A2+A。)(3 A,+3 A,-A,-A,),d,=(3A+3A,-A,-A,)-4(A,+A。)(A 2 +A-A4)-8(B,-B)(B,+B,-B,-B,)-4(B。-B,)+(B,+B,-B,-B,),d。=2(3 A,+3 A,-A,-A,)(A,+A。-A 4)-2(B。-B,)(B,+B,-B,B,),d,=(A,+A。-A,)-(B,+B,-B,-B,)。令coswT=x,并将式(1 0)两边同时除以di,式(10)可改写为65x+eix+e2x+e3x+e4x+esx+e=0,(11)ddd其中edd,d(H5)ei-4e 0,e。0,(21)G1D=0,G,G2G10D=GG2G0,GsG4GG,100G,G,G1D4=0,G4G,G20G。G,G4G,100 0(22)G,G1C0(23)D=G,G4GG2G0,0GGsG4G000G。G,D。=G.D,0。(24)由Routh-Hurwotz 准则可知,如果(H6)成立,则当T=0时方程(7)所有的根都具有负实部。arccosF,(a4)+2lm,4kG,入+G=O,2.3Hopf分岔发生的横截条件分析(25)令s()=(）+i b()是式(7)满足(。)=(27)620,b(T。）=的特征根,即i是=T。时式(7)的一对纯虚根。让式(7)两边同时对T求导得ds=W(s)dTV(s)其中，5qW(s)=s(N,sNus+Ni2)e+Nios2qNi5sN20s+N21-3sT+4(N224+N2as9)e5(N2s+Ng)e6q-1V(s)=6qs+5qN,s十3qN,s3g-1+2qN4s24-1+qN.s.91+5-14-1+4qNss5qN,s24-1+qN.sq-1-T(N,s+Ngs+2qNos39+N.os24N.s4g-14qN135+3qN14s4q-2T(Nis+Ni4s9-1+3q N1s34-1+2qN,s2ST24-1Ni,)Je+qN20s.9-1-3T(N18S34+Ni9s+N205+q3sT24-1+2qN2sN2i)Je4(N2s245T(N2s5+N2)e设W1,W,是W(s)在s=io。时所对应的实部和虚部,Vi,V,是V(s)在s=io。时所对应的实部和虚部,当s=io。时有dsRe(dTW1,W2,Vi,V,详见附录D。(17)0.Vi+V22如果(H7)成立,则系统(3)就满足Hopf分岔发生的横截条件南通大学学报（自然科学版）dsRe(dT综上,当(H1)一(H7)成立时,有下述定理。定理1 当T=T。时,系统(3)在平衡点O(0,(28)0,0)处产生Hopf分岔：i)当TE0,T。)时,系统(3)的平衡点0(0,0,0)+N4N,s34+N.os24十+4+Ni45+3q+2(N13135-25T+3(N1ss+Nigs+24+Ni)e4sT+N+-5ST+6N27e6s51-14qN2s4g-1+34-1+3qN,S5q3q-1+2qN15524-1+3q24+N15+N6s+2.9881和分岔临界值T。=0.3 3 4 7。图1 为K=-0.2,T=0.31T。时系统(3)的波形图和相位图,图2为K=-0.2,T=0.31T。时系统(3)的波+q235+qN2s+N24)1e4sT-6TN27e-6sTW.Vi+W,V2=To.0=W0Vi+V2023年是渐进稳定的；ii)当TT。时,系统(3)的平衡点0(0,0,0)失去稳定性，并产生Hopf分岔。33数值模拟本节通过几个实例讨论阶数q和反馈增益参数K对系统动力学分岔行为的影响，仿真结果进一步验证了上述理论分析的正确性。例1 选取激活函数f(z)=tanh(x）+t a n h(y）+i(tanh(）+t a n h(y)）,该激活函数满足(H3)，（H 4),+求得系统(3)的平衡点为0(0,0,0)。令q=0.98,K=4q-0.2,=z=,=1,a=0.3+2i,b,=-0.2-0.4i,c=-0.2-i,az=0.2+0.5i,b2=-2-0.1i,C2=1+0.4i,ag=1.2+i,b,=-0.2-0.6i,c3=-0.8i。借助MATLAB可计算出临界频率。=形图和相位图，图4 为K=-0.2,T=0.39T。时系.9-1统(3)的三维轨迹图,图5为K=-0.2时系统(3)zi(t)的实部和zz(t)的虚部与的分岔图。图1 和图2 表明当T=0.31T。时系统(3)失去稳定性并且在平衡点0 处产生周期解（图3 和图4)。图5验证了(29)上述求得的分岔结果是正确的。接下来我们分析反馈增益参数K对系统(3)动力学行为的影响,这里保持q和ai,b1,C1,a2,b2,C2,ag,b3,c,的取值不变。令T=0.39,K=-0.1,-0.2,-0.3。图6 为T=0.39,K=-0.1,-0.2,-0.3时系统(3)的波形图和相位图，图7 为T=0.27,K=0.3,0.55时系统(3)的波形图和相位图,图8 为反馈增宋倩倩，等：基于反馈控制的分数阶复值神经网络的Hopf分岔0.051.0r0.040.50.03-01/(0)12)o0.022)00.010-0.01-0.02500.03r0.02(0)2）U0.010-0.01-0.01630.080.070.060.0500.040.03-0.50.02-1.00.010-1.5-0.0151015202530t/s0.070.060.050.040.030.020.010-0.0100.010.02 0.03 0.04Im(z,(t T)图1 K=-0.2,T=0.31T。时系统(3)的波形图和相位图Fig.1 Waveform plots and phase porrait of system(3)when K=-0.2,T=0.31 T。-3.0-2.0-1.0Re(z(t-T)/10-3051015202530t/s01.02.0-01/(0)2010-11015202530J056r5432t/s024Re(z;(t-T)/10-3680.010-0.01-0.022)-0.03-0.04-0.0550.060.040.02Im(z,(t)0-0.02 0.020.080.06()0.04)200.020-0.020.150.020.100.010.05-0.010Re(z,(t)0.020Im(z2(t)0-0.05 0.06-0.04-0.02Re(z,(t)0.02(0)2)叫I0-0.02-0.040.150.100.05Re(z;(t)0-0.05-0.010.04()0.0200.02-0.040.150.050.100.030.050.01Im(z,(t)Im(z;(t)0.020.0100-0.010.05 0.02Re(z,(t)图 2 K=-0.2,T=0.31T。时系统(3)的三维轨迹图Fig.2 The 3D trajectory diagram of system(3)when K=-0.2,T=0.31 T。0.8r0.60.4F(0)2)u0.2-0.2-0.4-0.6-0.854050(0)2)0y0.0500.05-0.10-0.150.200.400.80图3 K=-0.2,T=0.39T。时系统(3)的波形图和相位图-0.04-0.02Re(z(t-T)0.200.150.100102030t/s00.02400.045000.20m0.150.10()2)040.050-0.05-0.10-0.15-0.20-0.2010-0.10Re(z(t-T)2030t/s040500.100.200.080.05(（1）20-0.050.020.01Im(z,(t)0.060.040.0200.010-0.0250.0050.0500.0.01-0.02-0.010-0.005Re(t)0.0400.02Im(z(t)-0.05-0.04-0.020Re(z,(t)0.020.010-0.01-0.020.03-0.04-0.05.0.150.100.05Re(z;(t)0-0.050.080.060.04“2)叫0.020-0.020.050.04Im(z,(t)00.020Im(z(t)0.040.02-0.020-0.05-0.04Re(z;(t)图4 K=-0.2,T=0.39T。时系统(3)的三维轨迹图Fig.4 The 3D trajectory diagram of system(3)when K=-0.2,T=0.39 T。即Hopf分岔会提前发生(图7)。图8 表明T。将随着K的增加而减小,黄色区域D是系统(3)的稳定区域,系统(3)将在边界曲线L上经历Hopf分岔，当K和的取值超出区域D时,系统(3)将从平衡点O宋倩倩，等：基于反馈控制的分数阶复值神经网络的Hopf分岔65.0.030.020.01()12)-0.01-0.02-0.030.280.300.320.340.360.380.400.42图5K=-0.2时系统(3)z,(t)的实部和z(t)的虚部与的分岔图Fig.5Bifurcation graph of Re(z,(t)and Im(z,(t)versus T for system(3)when K=-0.21.5K=-0.1K=-0.21.0FK=-0.3(（）0.50-0.5-1.005101520253035 40t/s图6：T=0.3 9,K=-0.1,-0.2,-0.3 时系统(3)的波形图和相位图Fig.6 Waveform plots and phase portrait of system(3)with K=-0.1,-0.2,-0.3 when T=0.390.05,K=0.3K=0.55K=0.550.030.010()0.01“2)T-0.01-0.03-0.05,010203040506070t/s图7 T=0.27,K=0.3,0.55时系统(3)的波形图和相位图Fig.7Waveform plots and phase portrait of system(3)with K=0.3,0.55 when T=0.27处分支出周期解。例2 仍取激活函数f(z）=t a n h(x）+t a n h(y）+i(tanh(x)+tanh(y),令 K=0.1,=0.5,z=0.7,=1,a=-0.7-1.6i,b,=-0.3-0.4i,c=-0.3-1.2i,az=0.1+0.6i,b,=-1.9-0.3i,c=1+0.4i,a,=1.1+0.7i,b,=0.2+0.4i,c,=-0.8-i,改变阶1.00.80.60.40.200-0.2-0.4-0.6-0.8-1.00.280.30 0.320.340.360.380.400.42TK=-0.11.0K=-0.20.8K=-0.30.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0-1.0K=0.30.02()“2)叫l-0.01-0.020.03-0.04-0.05数q的值。当阶数增大时，T。也随之增大，这意味着Hopf分岔的发生将被推迟(图9)。4总结本文研究了反馈控制下时滞的分数阶复值神经网络的分岔与控制问题。以时滞作为分岔参数，T-0.50Re(z,(t-T)-0.04-0.02Im(z;(t-T)0.501.00.02660.400.38X:-0.5Y:0.38250.360.340.320.300.280.2620.5图8 反馈增益参数K对临界值T。的影响Fig.8 Influence of the feedback gain parameters Kon critical value To0.320.300.280.260.240.220.200.180.160.140.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00图 9阶数对临界值 T。的影响Fig.9Effect of the order q on critical value To根据Routh-Hurwotz准则求得平衡点的稳定区间，得到了系统产生Hopf分岔的充分条件；通过复杂的计算,得到发生Hopf分岔的参数临界值；最后,借助数值仿真对理论结果进行了验证，并进一步讨论了如何提前或延迟Hopf分岔。参考文献：1 LIU H J,ZHANG J R,LIU Q S,et al.Minimum span-ning tree based graph neural network for emotion classifi-cation using EEGJ.Neural Networks:the Official Journal ofthe International Neural Network Society,2022,145:308-318.2 J LI M,HONG Q H,WANG X P.Memristor-based circuitimplementation of Competitive Neural Network based ononline unsupervised Hebbian learning rule for patternrecognitionJJ.Neural Computing and Applications,2022,34(1):319-331.【3 李超波，李洪均，徐晨.深度学习在图像识别中的应用南通大学学报（自然科学版）J.南通大学学报（自然科学版），2 0 1 8，1 7(1)：1-9.LI C B,LI H J,XU C.Application of deep learning inimage recognitionJJ.Journal of Nantong University(Natu-ral Science Edition),2018,17(1):1-9.(in Chinese)4 MA Z L,LI X J.Data-driven fault detection for large-Dscale network systems:a mixed optimization approach J.Y:0.5Y:0.271.500.5K2023年Applied Mathematics and 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