江苏省扬州市江都区大桥高级中学2019-2020学年高一数学下学期6月学情检测试题.doc

江苏省扬州市江都区大桥高级中学2019-2020学年高一数学下学期6月学情检测试题

江苏省扬州市江都区大桥高级中学2019-2020学年高一数学下学期6月学情检测试题

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- 20 -

江苏省扬州市江都区大桥高级中学2019-2020学年高一数学下学期6月学情检测试题（含解析）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.过两点的直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用两点间的斜率公式即可求解.
【详解】根据斜率公式可得，
故答案选：C
【点睛】本题主要考查斜率公式，属于基础题.
2.，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A. ⊥，⊥∥ B. ⊥，∥⊥
C. ∥∥，，共面 D. ，，共点，，共面
【答案】B
【解析】
【分析】
通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为；判断出对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．
【详解】解：对于，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，错；
对于，，，所成的角是，又，所成的角是，对；
对于，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故错；
对于，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故错．
故选：B ．
【点睛】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．
3.在中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则角B的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据余弦定理进行化简，进而得到的值，再由正弦函数的性质可得到最后答案．
【详解】解：，
由余弦定理可得

或
故选：D．
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用．考查计算能力，属于基础题．
4.直线与直线平行，则两直线间的距离为（ ）
A. B. 或 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行得到，排除重合的情况得到，再利用平行直线距离得到答案.
【详解】直线与直线平行，则，
解得或，
当时，两直线均为，两直线重合，舍去；
当时，直线和，即的距离为.
故选：C.
【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，平行直线距离，意在考查学生的计算能力和转化能力.
5.若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：圆的圆心在横轴上，且半径已知，可假设圆的方程为，因为直线与圆相切，即圆心到直线的距离等于半径，可求得，因为圆在纵轴的左侧，则必有，所以，则圆的方程为，正确选项为D．
考点：圆的标准方程及其切线性质.
【思路点睛】本题考查圆和基础知识及直线与圆的位置关系等基础知识，设出圆心坐标因其在坐标轴上，所以只有一个变量，再由圆心到直线的距离等于半径即解得．设圆心为，则，再根据题意，以及圆的方程即可求出结果.

6.如图，在正方体中，、分别是、中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，求出点的坐标，应用向量数量积即可求夹角.
【详解】以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：

设棱长为2，则

所以
即
所以异面直线与所成角
故选：C
【点睛】此题考查异面直线所成夹角，通过建系找到点的坐标是关键点，属于简单题目.
7.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是 ，则 b=（ ）
A. 1+ B. C. D. 2+
【答案】A
【解析】
分析】
由三角形面积得，由余弦定理结合已知条件可得．
【详解】由已知，，
所以，解得．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形面积公式，考查余弦定理，解题方法是直接法，直接利用余弦定理列出的方程即可求解．
8.P是直线x+y-2=0上的一动点，过点P向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长最小，则必须点到圆的距离最小，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可.
【详解】解：∵圆，
∴圆心，半径.
由题意可知，
点到圆的切线长最小时，
直线.
∵圆心到直线的距离，
∴切线长的最小值为：.
故选：C.
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
9. 中，，，，则的角平分线的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出图形，利用余弦定理求得，进而求得的值，利用正弦定理可求得的值，最后在中利用余弦定理求得的长.
【详解】在中，，，，
由余弦定理得，
由余弦定理得，

由题意可得，，，
在中，由正弦定理得，①
在中，由正弦定理得，②
①②得，，则，
在中，由余弦定理得.
故选：B.
【点睛】本题考查三角形角平分线长的计算，考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
10.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中

①∥ ②与成角
③与为异面直线 ④∥面
以上四个命题中，正确的序号是 （ ）
A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
由正方体的平面展开图还原为正方体，利用异面直线的判定、异面直线所成角的求法及线面平行的判定定理即可得解.
【详解】由正方体的平面展开图得到几何体，如图，

很显然与是异面直线，故①错误；
为等边三角形，与成角，
∥，与成角，故②正确；
与为异面直线，故③正确；
∥，面，面，
∥面，故④正确.
故②③④正确.
故选：D.
【点睛】本题考查异面直线的判定、异面直线所成的角及线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
11.已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则是锐角三角形
B. 若，则是等腰直角三角形
C. 若，则是直角三角形
D. 若，则是等边三角形
【答案】AD
【解析】
【分析】
对于A，化简得，然后即可判断选项A正确
对于B，通过倍角公式，化简为，然后即可判断选项B错误
对于C,通过和差公式和诱导公式即可化简出，，然后即可判断选项C错误
对于D，利用正弦定理，把化简为，即可判断选项D正确
【详解】对于A，，
，
又由A，B，C是的内角，故内角都是锐角，故A正确
对于B，若，则，则，则
，则或，是等腰三角形或直角三角形,故B错误
对于C,，，即，则是等腰三角形，故C不正确
对于D，若，则，则，
，即是等边三角形，故D正确
故选：AD
【点睛】本题考查倍角公式、和差公式以及正弦定理的使用，属于简单题
12.下列叙述中正确的是（ ）
A. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
B. 若三个平面两两相交，其中两个平面的交线与第三个平面平行.则另外两条交线平行；
C. 如果是两条异面直线，那么直线一定是异面直线；
D. 在中，，，，则绕所在直线旋转一周，所形成的几何体的轴截面面积为10．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由面面平行的性质定理可以判断的真假；
根据线面平行的性质定理及平行公理可判断B；
对于C：由题意画出图形，利用反证法证明直线，一定是异面直线．
依题意可得轴截面面积为的面积的两倍，计算可得D；
【详解】解：对于：要求两直线必须相交，故为假命题．
对于B：根据线面平行的性质可知这条交线与另外两条直线平行，由平行公理可得，另两条直线也平行，故B正确；

对于C：如图，如果，是两条异面直线，那么直线，一定是异面直线．

原因如下：假设与共面，设为，
，，且，，，，
，，则与是共面直线，与与是异面直线矛盾．
即直线，一定是异面直线．故C正确；
对于D：绕所在直线旋转一周，所形成的几何体的轴截面面积为的面积的两倍，即面积为，故D正确；
故选：BCD
【点睛】本题考查空间中线性、线面关系的判断，属于中档题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次被抽取的总户数为____________.
【答案】24
【解析】
【分析】
分层抽样即等比例抽样，根据抽查高收入6户占所以高收入的比例即可推出抽样的总数。
【详解】总共480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户
所以高收入：户
设本次被抽取的总户数为，则，解得
故答案为：24
【点睛】此题考查分层抽样，关键点理解清楚分层抽样等比例的概念，属于简单题目.
14.一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm的正方形，则它的体积是 cm2．
【答案】32
【解析】
试题分析：侧面展开图的边长为底面周长和高．
解：∵正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm的正方形，
∴正四棱柱的底面边长为2，高为8．
∴正四棱柱的体积V=22×8=32．
故答案为32．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
15.已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点做圆的切线，切点为，若，则的取值范围 是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据通过两点间距离公式求出点P的轨迹，从而将问题转化为直线与圆的位置关系问题进行求解即可.
【详解】圆,直线与轴相交于点
设，由可得
，即，满足的点P的轨迹是一个圆，所以问题转化为直线与圆有公共点
所以，，解得
所以实数的取值范围是：
故答案为：
【点睛】本题突破点是等价转化思想的应用，将问题转化为直线与圆有公共点，结合圆的几何性质建立不等式求解，属于一般性题目.
16.过圆与轴正半轴的交点A作圆O的切线，M为上任意一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q．当点M在直线上运动时，△MAQ的垂心的轨迹方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】
设点坐标，，由于，是过点的圆的两条切线，求出切点弦的方程，将其与圆的方程联立，可以得到点坐标，由于垂直于轴，于是垂线就垂直于轴，因此、横坐标相同．又、是圆的两条切线，于是，因此可知过中点，而由圆的对称性可知，也过的中点，于是可知、、三点共线．又直线的斜率知道了，点的横坐标知道了，于是点的纵坐标也出来了，则垂心的轨迹可求．
【详解】解：由题意设点坐标，，则以为直径的圆的方程为，
又圆的方程为，两式作差得：．
联立，解得或．
则点的横坐标为．
由于垂直于轴，于是垂线就垂直于轴，因此、横坐标相同．
又、是圆的两条切线，于是，因此可知为三角形的垂心）过中点，
而由圆的对称性可知，也过的中点，于是可知、、三点共线．
由直线的方程为，
代入点横坐标得点的纵坐标为．
三角形的垂心的轨迹方程为．
消掉得： ．

故答案为：
【点睛】本题考查轨迹方程的求法，训练了参数法求曲线的轨迹，解答此题的关键是求出过切点的弦的方程，属于中档题．
四．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是AB、BC的中点．

（1）求证：MN∥平面A1B1C1D1
（2）求证：平面B1MN⊥平面BB1D1D.
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中位线性质得,根据平行四边形性质得,即得，再根据线面平行判定定理得结果；
（2）根据正方形性质得,即得,由正方体性质得平面,即得,再根据线面垂直判定定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结果.
【详解】（1）因为M、N分别是AB、BC的中点，所以，
因为正方体ABCD－A1B1C1D1，所以从而四边形为平行四边形，即得，因此
因为平面,平面,所以平面,
（2）因为正方形ABCD，所以，因为，所以，
因为正方体ABCD－A1B1C1D1，所以平面,因为平面,因此,
因为,平面,所以平面，
因为平面,所以平面平面，
【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理、面面垂直判定定理，考查基本分析论证能力，属中档题.
18.已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上.
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的方程.
【答案】（1）3x＋y＋2＝0；（2）(x－2)2＋y2＝8.
【解析】
【分析】
(1) 直线AB斜率确定，由垂直关系可求得直线AD斜率，又T在AD上，利用点斜式求直线AD方程；（2）由AD和AB的直线方程求得A点坐标，以M为圆心，以AM为半径的圆的方程即为所求.
【详解】(1)∵AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为－3．
又∵点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0．
(2)由,得,
∴点A的坐标为(0，－2)，
∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，
∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|＝.
∴矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8．
【点睛】本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题.
19.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知．
求的值；
若，的周长为5，求b的长．
【答案】（1）2（2）2
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理和三角形的性质，得，即求解的值；（2）由（1）可知，∴，再由余弦定理和三角形周长，即可求解的长.
试题解析：（1）由正弦定理知，
， （2分）
即，
即， （4分）
又由知，，所以. （6分）
（2）由（1）可知，∴， （8分）
由余弦定理得
∴， （10分）
∴，∴，∴. （12分）
考点：正弦定理；余弦定理.

20.以下表格记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.
甲组
9
9
11
11
乙组

8
9
10

（1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.
【答案】（1）平均数；方差；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用平均数和方差的定义，即可得解；
（2）列举出基本事件个数和符合条件的基本事件个数，用古典概型概率公式即可求得概率.
【详解】（1）当时，乙组同学的植树棵数是8，8，9，10，
所以，乙组同学植树棵数的平均数，
乙组同学植树棵数的方差.
（2）当时，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11，
乙组同学的植树棵数是： 9，8， 9， 10.
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，，，，，，共16种，
这两名同学的植树总棵数为19的情况为：，，，，共4种，
所以，这两名同学的植树总棵数为19的概率.
【点睛】本题考查了平均数和方差的求解及古典概型的概率计算问题，属于基础题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本事件的探求方法有两种，（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的情况；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.
21.设△的面积为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且角不是最小角，求取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】（1）设中角所对的边分别为，由，
得，
即，
所以，
又，所以．
（2）因为，所以， 由正弦定理，得，
所以，
从而
，又，所以．
22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：－y＋3＋＝0和圆：＋＋8x＋F＝0．若直线l被圆截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）设圆和x轴相交于A，B两点，点P为圆上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于M，N两点．当点P变化时，以MN为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论；
（3）若△RST的顶点R在直线x＝－1上，点S，T在圆上，且直线RS过圆心，∠SRT＝，求点R的纵坐标的范围．
【答案】（1）；（2）圆经过圆内一定点；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理列方程解得F，即得结果；
（2）设点P坐标，表示出M，N两点坐标，利用向量写出以MN为直径的圆，再根据方程确定其定点；
（3）根据到距离不大于半径，确定范围，进而可得点R的纵坐标的范围.
【详解】（1）
所以圆的方程为；
（2）和x轴相交于,不妨设
设，则，所以,

因此以MN为直径的圆为

从而
因为当时
因此圆过定点，而在圆内，
所以圆经过圆内一定点；
（3）设到距离为，则
设，则
所以点R的纵坐标的范围为.
【点睛】本题考查垂径定理、圆方程、圆过定点、直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.