辽宁省丹东市2020届高三数学下学期3月线上教学质量监测试题-文.doc

辽宁省丹东市2020届高三数学下学期3月线上教学质量监测试题 文

辽宁省丹东市2020届高三数学下学期3月线上教学质量监测试题 文

年级：
姓名：

- 22 -

辽宁省丹东市2020届高三数学下学期3月线上教学质量监测试题 文（含解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，若,，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为全集，所以，，
因此，选B.
2.已知是虚数单位，，，则“”是“”的　　
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的运算性质，分别判断“” “”与“” “”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．
【详解】解：当“”时，“”成立，
故“”是“”的充分条件；
当“”时，“”或“”，
故“”是“”不必要条件；
综上所述，“”是“”的充分不必要条件；
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．

3.为平行四边形的一条对角线，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质、向量相等、向量的三角形法则和运算即可得出.
【详解】由平行四边形的性质可得.
故选：D
【点睛】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了平面向量减法的坐标表示公式，考查了数学运算能力.
4.一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.2，那么摸出黑球的概率是（ ）
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.95
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知，从中摸出一个小球是黑色和是红或白色是互斥事件，根据互斥事件的概率公式即可求解
【详解】解：根据题意可知，从中摸出1个球，摸出黑球与摸出红色和白色是互斥事件，
故其概率.
故选：B
【点睛】本题考查了互斥事件概率的计算公式，考查了数学运算能力.
5.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用指数对数函数的单调性即可得出.
【详解】解：∵.
∴.
故选：B
【点睛】本题考查了对数式和指数式的比较，考查了指数函数对数函数的单调性，考查了数学运算能力.
6.如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
几何体是一个三棱柱，该三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，求出球的半径，可得这个球的表面积.
【详解】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，该三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，
三棱柱的两个底面的中心连接的线段的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，
∵是边长为3的等边三角形，，
∴，
∴这个球的半径，
∴这个球的表面积，
故选：C

【点睛】本题考查了由三视图还原空间图形，考查了三棱柱外接球表面积的计算，考查了空间想象能力和数学运算能力.
7.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意利用同角三角函数的基本关系，求出的值，再利用二倍角公式的正切公式，求得的值.
【详解】解：∵已知，，
∴，
∴，
则，
故选：A
【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的正切公式，考查了数学运算能力.
8.中国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数，由图可知，这位古人共捕鱼（ ）

A. 89条 B. 113条 C. 324条 D. 445条
【答案】A
【解析】
【分析】
利用进位制的定义可得答案.
【详解】解：该图的五进制数为324，
根据进位制的定义将五进制转换成十进制计算可得：324(5)＝4×50+2×51+3×52＝89，
故选：A
【点睛】本题考查了进位制的性质，考查了数学运算能力.
9.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】B
【解析】
试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.
考点：空间点线面位置关系．

10.将函数的图象向右平移个单位长度单位后得函数图象，若为偶函数，则（ ）
A. 在区间上单调递减 B. 在区间匀上单调递增
C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数平移关系求出的解析式，结合是偶函数求出，利用三角函数的单调性进行求解即可.
【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度单位后得函数图象，
则，
若为偶函数，则，
即，
∵，
∴当时，，
即，
当时，，此时不具备单调性，故A，B错误，
当时，，此时为增函数，故D正确，
故选：D
【点睛】本题考查了余弦型函数的图象变换、性质，考查了数学运算能力.
11.已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A. 2 B. C. 6 D.
【答案】C
【解析】
试题分析：直线l过圆心，所以，所以切线长，选C.
考点：切线长

12.函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分析可知，的一个零点为，另一个零点为，且，由此建立关于的不等式，解出即可.
【详解】解：，，的一个零点为，
由韦达定理可知，的另一个零点为，
因为在处取得极大值，
所以在的左侧附近大于0，右侧附近小于0，
因为二次函数是开口向上的抛物线，
所以，即，解得.
故选：A
【点睛】本题考查了函数极值的定义，考查了数学运算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.
【答案】1800
【解析】
试题分析：由题共有产品4800名，抽取样本为80，则抽取的概率为；，再由50件产品由甲设备生产，则乙设备生产有30件，则乙设备在总体中有；．
考点：抽样方法的随机性.

14.已知内角，，的对边分别为，，，若，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用正弦定理角化边得到，再利用余弦定理即可求出角.
【详解】解：∵，
∴由正弦定理得：，即，
∴，
由余弦定理得：，
又，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理，考查了特殊角三角函数值，考查了数学运算能力.
15.如果双曲线：的离心率是椭圆：离心率的倒数，那么的渐近线方程为_____
【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆的方程可得椭圆的离心率，再由椭圆可得双曲线的离心率，进而可得的关系，再由双曲线的方程与渐近线方程的关系求出渐近线的方程.
【详解】解：由椭圆的方程可得椭圆的离心率为：＝，
所以由题意可得双曲线的离心率为：2，即＝2，可得，即，
所以双曲线的渐近线的方程为：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了双曲线和椭圆的离心率公式，考查了数学运算能力.
16.定义在上的奇函数又是周期为4的周期函数，已知在区间上， ，则_____；_____.
【答案】 (1). 0 (2). 1
【解析】
【分析】
由定义在上的奇函数又是周期为4的周期函数，得，由是周期为4的周期函数，得，由和奇函数性质，得，由此能求出结果.
【详解】解：∵定义在上的奇函数又是周期为4的周期函数，
∴，解得，
∵是周期为4的周期函数，
∴，
∵周期为4的周期函数，
∴，
∴，
∴，
∵定义在上的奇函数，
∴，
∴，
∵在区间上，，
∴，
解得，.
故答案为：0，1.
【点睛】本题考查了函数的周期性和奇函数的性质，考查了数学运算能力.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.
17.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，点在上.

（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若，，三棱锥的体积为，证明：为的中点.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接交于，连接，可得，再由线面平行的判定可得平面；
（2）由题设，求出的面积，结合棱锥的体积为求得到平面的距离，再证明平面平面，过在平面内作，垂足为，则平面，可得，结合的长度可得为的中点.
【详解】证明：（1）连接交于，连接，
∵为矩形，
∴为的中点，
又为的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）由题设，
∴的面积为.
∵棱锥的体积为，
∴到平面的距离为.
∵平面，
∴平面平面，
过在平面内作，垂足为，则平面，
而平面，于是.
∵，
∴为的中点.

【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理，考查了棱锥的体积公式，考查了推理论证能力和数学运算能力.
18.2014年，中央和国务院办公厅印发《关于引导农村土地经营权有序流转发展农业适度规模经营的意见》，要求大力发展土地流转和适度规模经营.某种粮大户2015年开始承包了一地区的大规模水田种植水稻，购买了一种水稻收割机若干台，这种水稻收割机随着使用年限的增加，每年的养护费也相应增加，这批水稻收割机自购买使用之日起，5年以来平均每台水稻收割机的养护费用数据统计如下：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代码
1
2
3
4
5
养护费用 (万元)
1.1
1.6
2
2.5
2.8

（1）从这5年中随机抽取2年，求平均每台水稻收割机每年的养护费用至少有1年多于2万元的概率；
（2）求关于的线性回归方程；
（3）若该水稻收割机购买价格是每台16万元，由(2)中的回归方程，从每台水稻收割机的年平均费用角度，你认为一台该水稻收割机是使用满5年就淘汰，还是继续使用到满8年再淘汰？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.
【答案】（1）0.7；（2）；（3）建议使用到满8年再淘汰
【解析】
【分析】
（1）利用古典概型判断即可；
（2）根据线性回归方程公式，求出，代入求出，求出线性回归方程；
（3）根据(2)线性回归方程，估算满5年和满8年的平均费用，判断即可.
【详解】（1）根据题意，从这5年中随机抽取2年，每台水稻收割机每年的养护费所有可能的结果有10种，
，，，
其中2年的养护费用不多于2万元的有3种，，
故所求概率为；
（2）根据表格的，，
＝，
，
故线性回归方程为；
（3）若满5年就淘汰，则每台水稻收割机年平均费用为 (万元)，
若满8年淘汰，则每台水稻收割机的年平均费用为 (万元)，
所以使用满8年的年平均费用低于使用满5年的年平均费用，
建议使用到满8年再淘汰.
【点睛】本题考查了古典概型的计算公式，考查了线性回归方程的求法，考查了平均数的计算公式，考查了数学运算能力.
19.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数，与2的等差中项等于与2的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由等差数列和等比数列中项性质可得，两边平方后，将换为，相减变形后，运用等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）求得，运用数列的裂项相消求和，可得，再由不等式的性质，即可得证.
【详解】（1）是正数组成的数列，即，其前项和为，
并且对于所有的自然数，与2的等差中项等于与2的等比中项，
可得，平方可得，则，
相减可得，
即为，由即，可得，
又＝，可得，
则数列为首项为2，公差为4的等差数列，可得；
（2）证明：，
则前项和为，
由，可得，即有.
则.
【点睛】本题考查了等比中项和等差中项的性质，考查了裂项相消法，考查了数学运算能力.
20.已知函数，.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）证明：.
【答案】（1）单调递减区间，没有递增区间；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）把代入后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；
（2）原不等式可转化为，结合导数与单调性关系及(1)中结论lnx-x+1≤0可求.
【详解】（1）解：， ，
当时，单调递增，当时，单调递减，
故，
故的单调递减区间，没有递增区间；
（2）证明：，，
因为，
所以当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故，
由(1)知，
所以，即，
所以即，
因为，
所以.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了数学运算能力.
21.经过抛物线：焦点的直线与相交于点，.
（1）证明：，
（2）经过点，分别作的切线，两条切线相交于点，证明：；点在的准线上.
【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析，（ii）见解析
【解析】
【分析】
（1）设出直线方程，联立方程组，根据韦达定理即可证明；
（2）由题设的斜率存在，分别设为，根据切线的性质可得，同理，(i)即可证明，(ii)分别可得直线的方程，根据，即可证明.
【详解】证明：（1） 的焦点坐标为，由题设不平行于轴，可是，
代入到可得，
∵，
∴，
∴；
（2）由题设的斜率存在，分别设为，
则方程为，将代入得，
由可得，，同理，
(i)由(1)可得，
∴，
(ii) 方程为，的方程为，
两方程联立可得
由题设，所以，
因此点在的准线上.
【点睛】本题考查好直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，考查了数学运算能力.
22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (其中为参数，).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，被截得的弦长为.
（1）求实数的值；
（2）设与交于点，，若点的坐标为，求的值.
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用垂径定理和点到直线的距离公式的应用求出结果.
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.
【详解】（1）直线的参数方程为 (其中为参数，).转换为直角坐标方程为：.
曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为，
由于被截得的弦长为.
所以：利用垂径定理圆心到直线的距离，
解得.
（2）直线的参数方程，转换为标准式为 (为参数)，
代入得到：，
所以，，
所以：.
【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程化为普通直角坐标方程，考查了利用参数方程中参数的几何意义的应用，考查了数学运算能力.
23.设函数.
（1）若，解关于的不等式；
（2）当时，，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】
（1）时，可得出，然后根据即可得出的范围，即得出原不等式的解集；
（2）根据条件即可得出，从而得出，根据即可得出，解出的范围即可.
【详解】（1）时，＝，
∴时，由得，；
时，由得，；
时，由得，，
综上得，原不等式的解集为或；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，解得，
∴实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了求含绝对值不等式的解法，考查了已知不等式恒成立求参数取值范围，考查了数学运算能力.