四川省泸县第二中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题-理.doc

四川省泸县第二中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理

四川省泸县第二中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理

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四川省泸县第二中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由空集的定义，结合集合与集合的关系及元素与集合的关系逐一判断即可得解.
【详解】解：对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意集合的子集，即，即A正确，
对于选项B，，即B错误，
对于选项C，，即C错误，
对于选项D，，即D错误，
故选：A.
【点睛】本题考查了空集的定义，重点考查了集合与集合的关系及元素与集合的关系，属基础题.
2. 已知，为虚数单位，且，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：复数相等，只需实部与实部相等，虚部与虚部相等，由于，则，，，选
考点：1.复数相等；2.复数运算；
3. 命题“，”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
分析：根据含有量词的命题的否定为：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定．
详解：由命题“，”，其否定为：， .
故选C.
点睛：本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．
4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合正态分布的对称性得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.
【详解】随机变量服从正态分布，则正态分布的图象关于直线对称，
结合有，解得：.
本题选择C选项.
【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：
①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
5. 某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：
零件数/个
12
23
31
加工时间/分
15
30
45

现已求得上表数据的回归方程中的值为1.6，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（ ）
A. 155分钟 B. 156分钟 C. 157分钟 D. 158分钟
【答案】A
【解析】
分析】
先求出样本中心点，然后代入求出，从而求出回归方程及可作出预测.
【详解】由题意得：，，
回归直线过样本中心点，故有，∴，
故，当时，.
故选：A.
【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解及应用，其中回归直线过样本中心点是解题的关键，属常规考题.
6. 如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成的角大小.
【详解】
以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为，
则，
，
，
异面直线与所成的角为，故选D.
【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则是异面直线
D. 若，，，则
【答案】A
【解析】
【分析】
利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故A正确.
对于B，若，，则或，故B错误.
对于C，若，，则位置关系为平行或相交或异面，故C错误.
对于D，若，，，则位置关系平行或异面，故D错误.
故选：A
【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质，线面平行的判定和面面平行的性质，属于简单题.
8. 已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为(　　)
A. 270x－1 B. 270x
C. 405x3 D. 243x5
【答案】B
【解析】
令x＝1，得(a－1)5＝32，解得a＝3，展开式中共有6项，其中奇数项为正数，偶数项为负数，所以比较奇数项的系数，奇数项分别为 (3x)5＝243x5，(3x)3=270x， (3x) ＝ ，所以系数最大的项为270x.
故选B.
点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数和问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等．
9. 如图所示，输出的n为（　　）

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】
运行程序，直到时，退出循环结构，输出的值.
【详解】运行程序，，，判断否，，判断否，依次类推，……， ，判断否，，判断否，判断否，，判断是，退出循环，输出，故选D.
【点睛】本小题主要考查程序框图，考查循环结构输出结果，只要根据程序的运行，退出循环之后可 输出的结果，属于基础题.本小题还考查数数列的求和方法，通过观察的变化可知，分母每次都增加，故到后面，正的项和负的项恰好约掉，由此可判断出变为正数时的值的大小.
10. 已知是双曲线上的三个点，经过原点,经过右焦点,若且,则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
做出如图因为经过原点,经过右焦点,可得为矩形，设AF=a,则根据双曲线定义可知，在得得
点睛：根据题意画出草图，分析出为矩形时解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可
11. 已知三棱锥内接于球，，，平面，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先得出为等边三角形，设其中心为，可得知，由正弦定理求出，利用公式可计算出球的半径，然后利用球体的表面积公式可计算出球的表面积.
详解】
如图，因为，，所以是等边三角形，设其中心为，则平面，因为平面，所以.
由正弦定理得，则，
所以外接球的半径，球的表面积为.
故选：C.
【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了多面体的外接球问题，解题的关键就是要利用几何关系计算出外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.
12. 若函数满足：在定义域D内存在实数，使得成立，则称函数为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）．
A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④
【答案】B
【解析】
试题分析：对于①，若存在实数，满足，则，所以且，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数，满足，则，解得，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数，满足，则，化简得，显然该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”；对于④，注意到，，即，因此④是“1的饱和函数”，综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④，故选B．
考点：新定义题．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若随机变量，且，则__________．
【答案】
【解析】
随机变量，
正态曲线关于对称，，
则
【点睛】解决正态分布问题要了解正态密度函数和正态密度曲线，，曲线的对称轴为，曲线与轴所围成的面积视为概率1，可以利用对称性求面积，即概率.
14. 已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是，，，，这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.
【答案】45
【解析】
【分析】
通过分步乘法原理即可得到答案.
【详解】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有个不同的编号.
【点睛】本题主要考查分步乘法原理的相关计算，难度很小.
15. 已知某运动队有男运动员名，女运动员名，若现在选派人外出参加比赛，则选出的人中男运动员比女运动员人数多的概率是_________.
【答案】.
【解析】
【分析】
将所求事件分为两种情况：男女，男，这两个事件互斥，然后利用古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式可求出所求事件的概率.
【详解】事件“选出人中男运动员比女运动员人数多”包含事件“男女”和事件“男”，
由古典概型概率公式和互斥事件的概率加法公式可知，
事件“选出的人中男运动员比女运动员人数多”的概率为，
故答案为.
【点睛】本题考查古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式的应用，解题时要将所求事件进行分类讨论，结合相关公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.
16. 设函数
（1）记集合，则所对应的的零点的取值集合为____．
（2）若 .（写出所有正确结论的序号）
①
②
③若
【答案】（1）；（2）①②③；
【解析】
（1）因为a=b，所以，即，此时令，，做出图像可知，当且仅当时取到；
（2）对于①，在上为减函数，所以，对于②，不妨令，此时，其不等构成三角形的三条边；对于③，，因为钝角三角形，所以，所以，故③正确

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值．
【答案】（1）（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数导数，由导数的几何意义可知，即可求出切线方程；
（2）令，解得，分，，三种情况讨论，列出表格即可求出单调区间和极值.
【详解】（1）,
,

所以函数在点处的切线方程为.
（2）函数的定义域为,
令,得解得：
当时,列表：

（-1,0）

0

0

0

↗

极大

↘

极小

↗

可知的单调减区间是，增区间是（-1,0）和；
极大值为,极小值为,
当时,列表：

0

0

0

↗
极大
↘
极小
↗

可知的单调减区间是，增区间是和；
极大值为,极小值为,
当时,,
可知函数在上单调递增, 无极值.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，利用导数求函数的单调区间、极值，分类讨论，属于中档题.
18. 某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：

(1)求频率分布直方图中的值；
(2)技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X服从正态分布，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算，并计算测量数据落在(187.8，212.2)内的概率；
(3)设生产成本为y元，质量指标值为，生产成本与质量指标值之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产该疫苗的平均成本．
参考数据：,．
【答案】（1）（2）测量数据落在内的概率约为（3）生产该疫苗的平均成本为75.04
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1可求得a；

（2）利用频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求得平均数，再利用正态分布中的得解；

（3）根据分段函数的解析式，将每组区间的中间值代入相应的解析式所得的值乘以每组小矩形的面积的积再求和可得解.
【详解】（1）由，
解得.
（2）依题意，
，
故
所以
故测量数据落在内的概率约为.
（3）根据题意得

故生产该疫苗的平均成本为75.04.

【点睛】本题考查补全频率直方图，计算平均数，正态分布和平均成本的估计，属于基础题.
19. 如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且.

（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）连接 ，交 于点，设中点为，连接，，先根据三角形中位线定理及平行四边形的性质可得，再证明平面，从而可得平面，进而可得平面平面；（2）以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果
试题解析：（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，．

因为，分别为，的中点，
所以，且，
因为，且，
所以，且．
所以四边形为平行四边形，所以，即．
因为平面，平面，所以．
因为是菱形，所以．
因为，所以平面．
因为，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）解法：因为直线与平面所成角为，
所以，所以．
所以，故△为等边三角形．
设的中点为，连接，则．
以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）．
则，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则即
则所以．
设平面的法向量为，
则即令则所以．
设二面角大小为，由于为钝角，
所以．
所以二面角的余弦值为．
【方法点晴】本题主要考查线面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
20. 椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点O的直线与C交于A,B两点，且线段AB被直线OP平分.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求k的值；
（3）求面积取最大值时直线l的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用两点间的距离公式以及离心率求出，再由，即可求解.
（2）设，由，消元利用韦达定理求得线段的中点，再根据线段的中点在上，可求出解.
（3）由（2）求出，到直线的距离，即可求得的面积，从而问题得解.
【详解】（1）由题意可得，解得，
，
椭圆C的方程.
（2）设，由直线不过原点，可得.
由 ，消元可得①,
,
线段的中点，
在上，易知直线的解析式为，
，.

（3）由（2），将①化为，
又直线与椭圆相交，
，
，
，
又到直线的距离，
的面积，
令，
则，
，
，取得最大值，即取得最大值，
所求直线的方程为.
【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及直线与椭圆中围成三角形面积范围问题，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.
21. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求实数的值，并求的单调区间；
（2）试比较与的大小，并说明理由；
（3）求证：当时，.
【答案】（1）a=0,增区间为，减区间为；（2）；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由求导公式求出导数，再由切线的方程得f′（1）=1，列出方程求出a的值，代入函数解析式和导数，分别求出f′（x）＞0、f′（x）＜0对应的x的范围，即求出函数f（x）的单调区间；
（2）根据函数f（x）的单调性得：＞，由对数的运算律、单调性化简即可；
（3）.
【详解】解:(1)依题意，，
所以，又由切线方程可得，
即，解得，
此时，，
令，所以，解得；
令，所以，解得，
所以的增区间为：，减区间为：.
(2) 由(1)知，函数在上单调递减，所以 ,
,
,
(3)
,
,
．
【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为，曲线C2参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C1的参数方程和的直角坐标方程；
（2）已知P是C2上参数对应的点，Q为C1上的点，求PQ中点M到直线的距离取得最大值时，点Q的直角坐标.
【答案】（1）（为参数）；；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的参数方程的形式得到曲线C1的参数方程，又由直线l的极坐标方程可知直线l过原点，斜率为1，则可求出的直角坐标方程．
（2）由题意写出P，Q的坐标，可得M的坐标，利用点到直线距离求解Q坐标即可．
【详解】（1）的参数方程为（为参数）；
的直角坐标方程为.
（2）由题设，由（1）可设，于是.
到直线距离，
当时，取最大值，此时点的直角坐标为.
【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化，考查运用参数解决问题的能力，是基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若正数，满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）去绝对值，根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集；
（2）由题意得，再根据基本不等式即可求出.
【详解】（1）因为
所以
①当时，
由，解得
②当时，
由，解得
又，
所以
③当时，不满足，此时不等式无解
综上，不等式的解集为
（2）由题意得
所以
=

当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式的简单证明，注意利用基本不等式证明时要强调等号成立的条件！