云南省丽江市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末市统测模拟考试试题-文.doc

云南省丽江市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末市统测模拟考试试题 文

云南省丽江市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末市统测模拟考试试题 文

年级：
姓名：

23

云南省丽江市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末市统测模拟考试试题 文
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60.0分）
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知命题p：直线与直线垂直，q：原点到直线的距离为，则
A. 为假 B. 为真
C. 为真 D. 为真
4. 的导函数的图象如下图所示，则函数的图象最有可能是图中的   
A. B.
C. D.
5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法已知一个5次多项式为，用秦九韶算法求这个多项式当 时的值为    
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
6. 已知a，，“”是“”的
A. 充要条件 B. 既不充分又不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
7. 如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，
则 
A. B.
C. D.
8. 已知，则
A. B. C. D.
9. 过双曲线C：的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A，若C的右焦点到点A，O距离相等且长度为2，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
10. 在等差数列中，，，则数列的前9项的和等于
A. 297 B. 144 C. 99 D. 66
11. 函数的零点个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
12. 设，是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率为 
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）
13. 曲线在点处的切线方程为________．
14. 已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，若，点P到
y轴的距离等于3，则点F的坐标为________．
15. 已知为实数，若关于x的不等式的解集为，
则______．
16. 已知点O为圆锥PO底面的圆心，圆锥PO的轴截面是边长
为2的等边，则圆锥PO的外接球的表面积为________.

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.（本小题共10分）某校2020届高三数学教师为分析本校2019年高考文科数学成
绩，从该校文科生中随机抽取400名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段，，后得到如图所示的频率分布直方图．
（1） 若每组数据以该组中点值作为代表，估计这400个学生数学成绩的众数和平均数；
（2） 用分层抽样的方法，从这400名学生中抽取20人，再从所抽取的20人中成绩在内的学生中抽取2人，求这2人至少有一人成绩在内的概率．

18.（本小题共12分）在中，角A，B，C的对边分别是且满足
，
（1）求角B的大小；
（2）若的面积为，且，求的值；

19.（本小题共12分）设等比数列满足，．
求的通项公式；
记为数列的前n项和．若，求m．
20.（本小题共12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，E是PB的中点．
求三棱锥的体积；
求异面直线EC和AD所成的角的正切值．

21.（本小题共12分）已知椭圆的离心率为，右顶点到右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l 与c 有两个交点A，B，线段AB 中点为M，证明：直线OM 的斜率与直线l的斜率乘积为定值．

22.（本小题共12分）已知函数．
求函数的单调区间；
当时，恒成立，求m的取值范围．

2021年丽江市一中市统测模拟考试（一）
文科数学 详细答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
17. 已知集合，，则
A. B. C. D.
解：集合1，3，，，
则．
故选B．
18. 命题“，”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是“，”，
故选C．
19. 已知命题p：直线与直线垂直，q：原点到直线的距离为，则
A. 为假 B. 为真
C. 为真 D. 为真
【解答】
解：命题p为真命题，直线斜率为1，直线斜率为，，故直线与直线垂直；
命题q为真命题，原点到直线的距离为；
故选：B．

20. 的导函数的图象如下图所示，则函数的图象最有可能是图中的   
A. B.
C. D.
【解答】
解：时，，
在和内是减函数，排除B、C、D．
故选A．
21. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法已知一个5次多项式为，用秦九韶算法求这个多项式当 时的值为    
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
步骤，把多项式进行化简再依次计算，，，即可得到答案．
【解答】
解：多项式变形为，
，
，
，
故选C．

22. 已知a，，“”是“”的
A. 充要条件 B. 既不充分又不必要条件
C.充分不必要条件 D. 必要不充分条件
【解析】解：但a，b若不是正数，则lga，lgb没有意义，
若，则根据对数函数在定义域内单调递增可知，
是的必要不充分条件，
故选D．
23. 如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则 
A. B.
C. D.
【解答】
解：根据题意得，
又，，
所以
．
故选D．

24. 已知，则
A. B. C. D.
【解答】
解：，
 ，
．
故选A．

25. 过双曲线C：的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A，若C的右焦点到点A，O距离相等且长度为2，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【解答】
解：由题意，可得，故，
不妨设渐近线方程为，则，
故，
由，
由，解得，，
即有双曲线的方程为，
故选A．

26. 在等差数列中，，，则数列的前9项的和等于
A. 297 B. 144 C. 99 D. 66
【解析】解：在等差数列中，，，
，，
解得：，，
．
则数列的前9项的和．
故选：C．
11.函数的零点个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】解：由，得，
作出函数与的图形如图，

由图可知，函数的零点个数是2．
故选：C．

12.设，是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率为 
A. B. C. D.
【解答】
解：设直线交x轴于点M，
是底角为的等腰三角形，
为直线上一点，，
即，．
故选B．

二、 填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.曲线在点处的切线方程为________．
【答案】
【解答】
解：因为，
所以，
因此曲线在点处的切线的斜率．
由点斜式可得切线方程为，
即．

14.已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，若，点P到y轴的距离等于3，则点F的坐标为________．
【答案】
【解答】
解：由题意可得，
所以，
所以F点坐标为．
故答案为．

15.已知为实数，若关于x的不等式的解集为，则______．
【答案】
【解答】
 解：不等式的解集是，
方程的两根为，，
则，，即，，
，
故答案为．

16.已知点O为圆锥PO底面的圆心，圆锥PO的轴截面为边长为2的等边，则圆锥PO的外接球的表面积为________．
【答案】
【解答】
解：设外接球球心为，连接，

设外接球的半径为R，依题意可得，，
在中，有，
即，解得，
故外接球的表面积为．
故答案为．
三、 解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.（本小题共10分）某校2020届高三数学教师为分析本校2019年高考文科数学成绩，从该校文科生中随机抽取400名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段，，后得到如图所示的频率分布直方图．

若每组数据以该组的中点值作为代表，估计这400个学生数学成绩的众数和平均数；
用分层抽样的方法，从这400名学生中抽取20人，再从所抽取的20人中成绩在内的学生中抽取2人，求这2人至少有一人成绩在内的概率．
【答案】解：众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，即众数的估计值为 
平均数估计值为；
由频率分布直方图得，成绩在内的人数为人，
内的人数为人，
内的人数为人，
内的人数为人，
内的人数为人，
内的人数为人，
按照分层抽样方法，抽取20人，则成绩在的1人，的2人，的4人，的6人，的5人，的2人，
记成绩在内的5人分别为，成绩在的2人分别为，
则从成绩在内的学生中任意取2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，
其中成绩在中至少有1人的基本事件有，，，，，，，，，，，共11种，
所以2人中至少有一人成绩在内的概率
【解析】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布图、列举法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．
直接利用频率分布直方图可估计这个学生数学成绩的众数和平均数；
根据分层抽样的方法可知抽取20人中，在的有5人，在的有2人，记成绩在内的5人分别为，成绩在的2人分别为，利用列举法可求出这人至少有一人成绩在内的概率．

18.（本小题共12分）在中，角A，B，C的对边分别是且满足，
   求角B的大小；
   若的面积为，且，求的值；
【答案】解：，
由正弦定理，得，
即，
在中，，，
，
又，
；
的面积为，
，
，
，，
，即，
，
．
【解析】本题考查正弦定理、两角和与差的三角函数公式、余弦定理、三角形面积公式．
根据正弦定理得出，展开利用和角的正弦公式，得出cosB，即可求出结果；
由面积公式，得出ac，再利用余弦定理，即可求出结果．

19. （本小题共12分）设等比数列满足，．
求的通项公式；
记为数列的前n项和．若，求m．
【答案】解：设公比为q，则由，
可得，，
所以．
由有，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以，，
解得，或舍去，
所以．
【解析】设其公比为q，则由已知可得，解得，，可求其通项公式．
由可得，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，可求，由已知可得，进而解得m的值．
本题主要考查了等比数列的通项公式的求法，等差数列的求和，考查了转化思想和方程思想的应用，属于基础题．

20. （本小题共12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，E是PB的中点．
求三棱锥的体积；
求异面直线EC和AD所成的角的正切值．

【答案】解：平面ABCD，底面ABCD是矩形，
高，，，
．
故．
，或其补角为异面直线EC和AD所成的角，
又平面ABCD，
，又，
平面PAB，，
于是在中，，，
，
异面直线EC和AD所成的角是．
【解析】利用三棱锥的体积计算公式即可得出；
由于，可得或其补角为异面直线EC和AD所成的角，由平面ABCD，可得，再利用直角三角形的边角关系即可得出．
本题考查了三棱锥的体积计算公式、异面直线所成的角，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．

21. （本小题共12分）已知椭圆的离心率为，点在C上．Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l 与c 有两个交点A，B，线段AB 中点为M，证明：直线OM 的斜率与直线l的斜率乘积为定值．
【答案】Ⅰ解：椭圆C：的离心率，
点在C上，可得，，
解得，，
所求椭圆C方程为．
Ⅱ证明：设直线l：，，
设，
把直线代入 可得， 
故，， 
于是在OM的斜率为：，
即， 
直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【解析】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．
Ⅰ利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．
Ⅱ设直线l：，，，，，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

22. （本小题共12分）已知函数．
求函数的单调区间；
当时，恒成立，求m的取值范围．
【答案】解：函数的定义域为，
，
，
令，解得或；
令，解得，
的单调递减区间为，，
单调递增区间为．
当时，恒成立，
对恒成立，
令，
则
，
当时，，
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
．