四川省阆中中学2020届高三数学适应性考试试题(二)文(含解析).doc

四川省阆中中学2020届高三数学适应性考试试题（二）文（含解析）

四川省阆中中学2020届高三数学适应性考试试题（二）文（含解析）

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四川省阆中中学2020届高三数学适应性考试试题（二）文（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的）.
1. 已知集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合，按交集的定义，即可求解.
【详解】由题意知，故.
故选：B．
【点睛】本题考查集合间的运算，注意对数函数的定义域，属于基础题.
2. 若，，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简再根据复数相等的条件列式求解.
【详解】∵，∴，，
所以的虚部，
故选：B．
【点睛】本题考查了复数的运算，两复数相等的条件，属于容易题.
3. 命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出原命题的逆命题，再求出逆否命题即可.
【详解】原命题的逆命题为：若，则，
原命题的逆否命题为：若，则．
故选：C
【点睛】本题主要考查原命题的逆否命题，熟练掌握四种命题的关系为解题的关键，属于简单题.
4. 国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20～30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．

如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是（ ）
A. ②③ B. ①③ C. ② D. ①②
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折线统计图即可判断．
【详解】①建国以来有一段时间年龄中位数低于20，为年轻型人口，所以①错误；
②从2010年至2020年年龄中位数在30岁以上，为“老龄型”人口，正确，
③放开二孩政策之后我国年龄中位数在30岁以上，仍为“老龄型”人口，正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了折线统计图，考查了合情推理的问题，属于基础题．
5. 记，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据同角三角函的基本关系求出与，再由诱导公式计算可得.
【详解】解：

故选：B
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题.
6. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（ ）
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
由可得，，结合即可得结果.
【详解】因为，所以，
又因为，
所以,又因为是的中点，
所以,
故选C.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.

7. 已知双曲线：的左焦点为，点的坐标为，若直线的倾斜角为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由直线的倾斜角为可求出直线的斜率，结合两点间直线的斜率公式可得，由椭圆中，可得，从而可求出离心率的值.
【详解】解：依题意得，所以，即，即，
所以.
故选:C.
【点睛】本题考查了直线的斜率公式，考查了椭圆的焦点坐标，考查了椭圆离心率的求解.本题的关键是由直线的倾斜角求出 的关系.一般求圆锥曲线的离心率时，由题意列出关于 三个参数的式子，从而进行求解.
8. 一个算法的程序框图如图所示，若执行该程序输出的结果是，则判断框内可填入的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先执行循环结构，当时，应该终止循环，根据此时的值结合四个选项进行选择即可.
【详解】进入循环，，，；否，，，；否，，，；否，，，；否，，，；否，，，，此时应满足判断条件，所以判断框内可填入的条件是.
故选D.
【点睛】本题考查了已知循环结构的输出结果实例判断语句的问题，考查了数学运算能力.
9. 已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于(　　)
A. 10 B. 9 C. 8 D. 5
【答案】D
【解析】
【详解】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,
即cos2A=,
又因△ABC为锐角三角形,
所以cosA=.
△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,
即b2-b-13=0,
即b=5或b=-(舍去),故选D.

10. 已知函数.若且，，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：因为函数，且由，（假设a<b，）因此a+b=2,但是等号取不到，因此选C
11. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意可得,，
，
，．故A正确．
考点：三角函数单调性．

12. 已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】如图所示，设正四棱锥高为，底面边长为，
则，即，
所以，
令，则，
令，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以取得极小值，也是最小值，有最大值．
故选：C.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子刚好成对的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
列举出所有的情况，找出符合题意的情况，由古典概型的概率计算公式，即可得出答案.
【详解】设三双鞋子分别为、、，
则取出2只鞋子的情况有：
，，，，，
，，，，
，，，
，，
，共种.
其中，成对的情况有：
，，，共种，
由古典概型的公式可得，所求概率为.
故答案为：
【点睛】本题考查了通过列举法求古典概型的概率，属于基础题.
14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______.

【答案】
【解析】
分析】
先根据三视图得出该几何体是一个圆柱体中间挖去一个正四棱柱而成，然后将圆柱的体积减去正四棱柱的体积即可.
【详解】由三视图可知，直观图为一个圆柱体中间挖去一个正四棱柱，且圆柱的底面半径为，高为，圆柱的体积为，正四棱柱的底面边长为，高为，正四棱柱的体积为，因此，该几何体的体积为，故答案为.
【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，利用三视图确定几何体的组合方式是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.
15. 设偶函数满足，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
，为增函数，且，则转化为由偶函数的性质和单调性，计算即可得出结果．
【详解】解：因为偶函数满足，
由指数函数性质可知，，为增函数，
令函数
结合函数的单调性和奇偶性可知，

或或，
所以不等式解集为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性在解不等式中的应用，属中档题．
16. 已知过抛物线焦点的直线交其于两点，为坐标原点．若，则的面积为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|＝3，可得点A到准线l：x＝﹣1的距离为3，从而cosθ，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．
【详解】设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π），
∵|AF|＝3，
∴点A到准线l：x＝﹣1的距离为3，
∴2+3cosθ＝3，即cosθ，则sinθ．
∵BF＝2+ BF cos（π﹣θ）
∴BF
∴△AOB的面积为S．
故答案为．
【点睛】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 已知递减等差数列，满足，.
（1）求等差数列的通项公式；
（2）设是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意得到，再计算通项公式即可.
（2）根据题意得到，再利用分组求和计算即可.
【详解】（1）因为，
所以，解得或
又因为是递减等差数列， 所以， 则.
所以.
（2）由题意，所以.

.
【点睛】本题第一问考查等差数列的性质，第二问考查等比数列的通项公式，同时考查了分组求和，属于中档题.
18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为平行四边形，E为侧棱PD的中点，O为AC与BD的交点．

（1）求证：平面PBC；
（2）若平面平面ABCD，，，，求证：．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)根据中位线的性质证明即可.
(2) 在中利用正弦定理可得,再根据面面垂直的性质证明平面,进而可得.
【详解】证明（1）因为四边形为平行四边形,为与的交点,
所以为的中点.
又因为为侧棱的中点,
所以.
又因为平面,平面,
所以平面.
（2）在中,因为,,,
由正弦定理,
可得,
所以,即.
又因为四边形为平行四边形,
所以,所以.
又因为平面平面,
平面平面,平面,
所以平面.
又因为平面,所以.
【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及根据线面垂直与面面垂直的性质证明线线垂直等,属于中档题.
19. 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n

14

15

16

17

18

19

20

频数

10

20

16

16

15

13

10

(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.
【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率，是简单题.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）①这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；②当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率
试题解析：（1）当日需求量n≥17时，利润y＝85．
当日需求量n<17时，利润y＝10n－85．
所以y关于n的函数解析式为（n∈N）．
（2）①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，
16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，
所以这100天的日利润的平均数为×（55×10＋65×20＋75×16＋85×54）＝76．4．
②利润不低于75元时日需求量不少于16枝，
故当天的利润不少于75元的概率为p＝0．16＋0．16＋0．15＋0．13＋0．1＝0．7．
考点：概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数
20. 已知椭圆过点，且离心率.

（1）求椭圆的方程；
（2）设直交椭圆于两点，判断点与以线段为直径圆的位置关系，并说明理由.
【答案】(1) (2) 点G在以AB为直径的圆外
【解析】
【详解】解法一：（Ⅰ）由已知得
解得
所以椭圆E的方程为．
（Ⅱ）设点AB中点为．
由
所以从而.
所以.

,
故
所以，故G在以AB为直径的圆外．
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）设点，则
由所以
从而

所以不共线，所以为锐角.
故点G在以AB为直径的圆外．
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．

21. 已知函数且在上的最大值为，
（1）求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明
【答案】（1）（2）2个零点.
【解析】
【分析】
（1）由题意，可借助导数研究函数上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；（2）借助导数研究函数f（x）在（0，π）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数．
【详解】(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),对于任意的x∈(0, )，
有sinx+xcosx>0,当a=0时,f(x)=− ，不合题意；
当a<0时,x∈(0,),f′(x)<0,从而f(x)在(0, )单调递减，
又函数f(x)=axsinx− (a∈R)在[0, ]上图象是连续不断的，
故函数在[0, ]上的最大值为f(0)，不合题意；
当a>0时,x∈(0, ),f′(x)>0,从而f(x)在(0, )单调递增，
又函数f(x)=axsinx− (a∈R)在[0, ]上图象是连续不断的，
故函数在[0, ]上上的最大值为f()=a−=，解得a=1，
综上所述,得；
(2)函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。证明如下：
由(I)知,f(x)=xsinx−,从而有f(0)=− <0,f()=π−32>0，
又函数在[0, ]上图象是连续不断的,所以函数f(x)在(0, )内至少存在一个零点，
又由(I)知f(x)在(0, )单调递增,故函数f(x)在(0, )内仅有一个零点。
当x∈[,π]时,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx，
由g()=1>0,g(π)=−π<0,且g(x)在[,π]上的图象是连续不断的，
故存在m∈,π),使得g(m)=0.
由g′(x)=2cosx−xsinx,知x∈(,π)时,有g′(x)<0，
从而g(x)在[,π]上单调递减。
当x∈,m),g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0，
从而f(x)在(,m)内单调递增
故当x∈(,m)时,f(x)>f(π2)=π−32>0，
从而(x)在(,m)内无零点；
当x∈(m,π)时,有g(x)<g(m)=0,即f′(x)<0，
从而f(x)在(,m)内单调递减。
又f(m)>0,f(π)<0且f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的，
从而f(x)在[m,π]内有且仅有一个零点。
综上所述,函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。

22.
在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
【答案】（1）
（2）为参数，
【解析】
分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得．
（2）联立方程，由根与系数的关系求解
详解：（1）的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是．
（2）的参数方程为为参数， ．
设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是 为参数， ．
点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题．
23. 已知正实数，满足.
（1）求的最小值；
（2）求证：.
【答案】（1）1（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）利用”1”代换，转化为用基本不等式求得最小值；
（2）利用基本不等式的变形形式，有，再由（1）的结论可得证.
【详解】解：（1）法一：由得：，
当且仅当“”，即时等号成立.
∴的最小值为1.
法二：∵，，，
∴，
即时等号成立，∴的最小值为1.
法三：由柯西不等式得：，
又，进而得：，故的最小值为1.
当且仅当“”时等号成立.
注：其它解法相应给分.
（2）法一：由，
得：，
由（1）知：，
进而得：，
当且仅当“”时等号成立.
法二：由得：，，
由，
当且仅当“”时等号成立.
法三：由柯西不等式得：
.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，用基本不等式求最值，要注意其条件：一正二定三相等.