上海市杨浦区复旦附中2019-2020学年高一数学下学期期中试题.doc
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1、上海市杨浦区复旦附中2019-2020学年高一数学下学期期中试题上海市杨浦区复旦附中2019-2020学年高一数学下学期期中试题年级:姓名:- 19 -上海市杨浦区复旦附中2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)一.填空题1.一个面积为1的扇形,所对弧长也为1,则该扇形的圆心角是_弧度【答案】【解析】【分析】设扇形的所在圆的半径为,圆心角为,应用扇形的弧长公式和面积公式,列出方程组,即可求解.【详解】设扇形的所在圆的半径为,圆心角为,因为扇形的面积为1,弧长也为1,可得,即,解得.故答案为:【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用,其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和面
2、积公式,列出方程组是解答的关键,着重考查了运算与求解能力.2.计算_【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式,即可得到答案;【详解】原式,故答案为:.【点睛】本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用,考查转化与化归思想,考查运算求解能力.3.函数,的反函数记为,则_【答案】【解析】【分析】点在原函数的图象上,根据题意两函数图象关于直线对称知点在反函数的图象上,得解.【详解】因为当时,所以点在原函数的图象上,因为是函数,的反函数,所以点在反函数的图象上,则.故答案为:【点睛】本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质,属于基础题.4.在中,若,则_【答案】【解析
3、】【分析】直接利用正弦定理,结合三角形解的个数判定,即可得到答案;【详解】,故答案为:.【点睛】本题考查正弦定理三角形解的个数,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.5.已知等比数列中,则_【答案】16【解析】【分析】将等比数列的通项公式代入,中,可得,再求的值。【详解】,故答案为:.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量运算,考查运算求解能力,求解时注意广义通项公式的应用.6.已知等差数列,若,则_【答案】【解析】【分析】根据等差中项可得,从而得到,利用诱导公式,即可得答案;【详解】,故答案为:.【点睛】本题考查等差中项诱导公式的应用,考查逻辑推理能力、运算求解
4、能力.7.已知数列中,则=_【答案】【解析】分析】对已有的递推关系取倒数,则可构建新数列,它是等差数列,求出其通项后可求的通项.【详解】因为,所以,所以,故是以为首项,为公差的的等差数列,所以,所以,填.【点睛】给定数列的递推关系,我们常需要对其做变形构建新数列(新数列的通项容易求得),常见的递推关系和变形方法如下:(1),取倒数变形为;(2),变形为,也可以变形为;8.把函数的图像向右平移()个单位,使得点成为图像的一个对称中心,则的最小值是_【答案】【解析】【分析】根据平移变换可得平移后的解析式为,将点的坐标代入该解析式可得,从而可得的最小值为.【详解】把函数的图像向右平移()个单位,可得
5、,依题意可得点在函数的图象上,所以,即,所以,即,因为,所以时,取得最小值.故答案为:【点睛】本题考查了函数图象的平移变换,考查了函图象数的对称中心,属于基础题.9.函数()的最小值为_【答案】【解析】【分析】设,得到,且,得出函数,再利用换元法,令,得出函数,求得函数的最小值,即可求解.【详解】设,则,可得,又由,所以函数,令,则,且,所以,因为,则,所以的最小值为,即函数的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了三角函数的基本关系式,三角函数的图象与性质综合应用,以及函数最值的求解,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.10.正整数列满足,且对于有,若,则的所有可能取值为_【答案】4、5
6、或32【解析】【分析】由正整数列满足,且对于有,结合,逐步逆推即可得解.【详解】解:因为正整数列满足,且对于有,由,则或(舍),则,则,或,或,即的所有可能取值为4、5或32,故答案为:4、5或32.【点睛】本题考查了数列的递推关系,重点考查了运算能力,属基础题.11.定义在上的奇函数满足对任意成立,则值域为_【答案】【解析】【分析】先由三角恒等变换可得对任意成立,即定义在上的奇函数满足当时,然后结合重要不等式及函数的奇偶性求值域即可.【详解】解:由,则对任意成立,令,则,即定义在上的奇函数满足当时,又当时,即,又函数为定义在上的奇函数,则,且当时,综上可得值域为,即值域为,故答案为:.【点睛
7、】本题考查了三角函数的万能公式,重点考查了函数奇偶性的应用,属基础题.12.是一个边长为1的正三角形,是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份后去掉中间一份的正三角形后所形成的图形,依次类推是对中所含有的所有正三角形都去掉中间一份(如图),记为的面积,则_【答案】【解析】【分析】由图结合归纳推理可得数列是以为首项,为公比的等比数列,然后结合等比数列前项和公式求解即可.【详解】解:由图可知,后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的三倍,即第个图形中剩下的三角形个数为,又后一个图形中剩下的三角形的边长是前一个的倍,所以第个图形中剩下的每一个三角形的边长为,其面积为,即,即数列是以为首项,为公比的等比数
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