四川省阆中中学2020届高三数学适应性考试试题文.doc

四川省阆中中学2020届高三数学适应性考试试题文

四川省阆中中学2020届高三数学适应性考试试题文

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- 20 -

四川省阆中中学2020届高三数学适应性考试试题（一）文（含解析）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的）.
1.等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
.故本题答案选．
2.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
【答案】B
【解析】
函数的图象向左平移个单位长度,有,故选B.
3.设集合A={1，2}，则满足的集合B的个数是
A. 1 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，，所以,,,,故选C.
考点：并集及其运算；集合的包含关系判断及应用
点评：此题考查了并集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
4.设向量，则（ ）
A. B. 与同向 C. 与反向 D. 是单位向量
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算计算可得；
【详解】解：因为
所以，
因为，所以A错误；
因为
所以，所以D错误；因为，所以B错误，C正确.
故选：C
【点睛】本题考查平面向量的平行与垂直的判定以及单位向量的概念，考查推理论证能力，属于基础题.
5.“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】因为，所以．
又因，所以，
因此“”是“”的充分不必要条件．故选A．
考点：充分性、必要性问题．
6. 已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是
A. (1－，2) B. (0，2) C. (－1，2) D. (0，1+)
【答案】A
【解析】
试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由题知C（，2），作出直线：，平移直线，由图知，直线过C时，=1－，过B（0,2）时，=3-1=2，故z的取值范围为（1－，2），故选C.

考点：简单线性规划解法，数形结合思想

7. 若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A. logac＜logbc B. logca＜logcb C. ac＜bc D. ca＞cb
【答案】B
【解析】
试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

8.等差数列的公差不为零，其前项和为，若，则的值为（ ）.
A. 15 B. 20 C. 25 D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可得, ，代入中，可得选项.
【详解】因为等差数列的公差不为零，其前项和为，
又,
所以,
故选：B.
【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式与等差数列性质的综合应用,是高考重点考查的内容，属于基础题.
9.设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
等腰直角三角形，，即得，解得．
10.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是

A.
B.
C. 三棱锥的体积为定值
D.
【答案】D
【解析】
可证，故A正确；由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误．选D．
11.已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A. 的图像关于点中心对称 B. 的图像关于直线对称
C. 的最大值为 D. 既是奇函数，又是周期函数
【答案】C
【解析】
试题分析：对于选项，只需考虑即可，而，故正确；
对于选项，
只需考虑是否成立即可，
而，故正确；
对于选项，
，
故是奇函数，有，故周期是，故正确；
对于选项，
，
令，则，求导，令解得，故在上单增，在与上单减，又当时；又当时，故C错误.
考点：1.三角函数的对称性、周期性、奇偶性；2.函数的最值求解.

12.已知函数若关于方程恰有3个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求解二次方程，即可求得的结果，根据的图像，数形结合，即可容易求得参数的范围，属中档题.
【详解】由，
得或，作出的图象，如图所示，

由图可知，方程有1个实根，
故方程有2个实根，故取值范围为.
故选：B.
【点睛】本题考查方程和函数之间的相互转化，涉及指数函数的图像，属综合中档题.
二、填空题
13.木星的表面积约是地球表面积的120倍，则它的体积约是地球体积的_________倍.
【答案】
【解析】
【分析】
设木星的半径为，地球的半径为，由题意结合球的表面积公式可得，再利用球的体积公式即可得解.
【详解】设木星的半径为，地球的半径为，
由题意可得，化简可得，
所以木星与火星的体积比为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了球的表面积和体积公式的应用，考查了运算求解能力，关键是对于球的体积和表面积公式的识记，属于基础题.
14.设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则=_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意转化条件得数列的连续四项在集合中，结合等比数列的性质即可得解.
【详解】，且数列有连续四项在集合中，
，数列的连续四项在集合中，
又是公比为的等比数列，，
数列的连续四项为，，，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了等比数列的应用，考查了运算求解能力，关键是对题目条件的转化，属于基础题.
15.偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=_____．
【答案】3
【解析】
试题分析：根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．
解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，
所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），
即f（x+4）=f（x），
则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，
法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，
所以f（1）=f（3）=3，
因为f（x）是偶函数，
所以f（﹣1）=f（1）=3，
故答案为3．
考点：函数奇偶性的性质．
16.P为双曲线＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值为________．
【答案】9
【解析】
设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时PM－PN＝(PF1＋2)－(PF2－1)＝6＋3＝9
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.某央企在一个社区随机采访男性和女性用户各50名，统计他（她）们一天（）使用手机的时间，其中每天使用手机超过6小时（含6小时）的用户称为“手机迷”，否则称其为“非手机迷”，调查结果如下：
男性用户的频数分布表
男性用户日用时间分组（）

频数
20
12
8
6
4

女性用户的频数分布表
女性用户日用时间分组（）

频数
25
10
6
8
1

（1）分别估计男性用户，女性用户“手机迷”的频率；
（2）求男性用户每天使用手机所花时间的中位数；
（3）求女性用户每天使用手机所花时间的平均数与标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
【答案】（1））男性；女性；（2）；（3），
【解析】
【分析】
（1）由频数分布表找出手机超过6小时的人数，即可计算求解；
（2）设男性用户每天使用手机所花时间的中位数为，利用中位数两边所占频率各为0.5求解即可；
（3）根据平均值、方差公式计算即可.
【详解】（1）男性用户“手机迷”的频率为；
女性用户“手机迷”的频率为.
（2）设男性用户每天使用手机所花时间的中位数为，则.
解得
（3）设女性用户每天使用手机所花时间平均数为，标准差为
，

【点睛】本题主要考查了频数分布表，频率、均值、方差、中位数的求法，考查了数据处理能力，属于中档题.
18.在中，角所对的边分别为.已知.
（1）证明：；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）证明见解析；（2）28.
【解析】
【分析】
（1）由结合正弦定理可得，进一步可得，得到答案；
（2）由正弦定理结合条件有，可求出，再结合余弦定理可求出边或，经检验时不满足条件，得出答案.
【详解】（1）证明：因为，
所以，即，
所以，
即，则.
所以或（舍去），所以；
（2）由（1）得，
由正弦定理有,即
所以
由余弦定理得，
所以，即，
所以，解得或.
当时，的周长为；
当时，因为，所以，
所以，所以，此时与矛盾，
故不符合题意.
综上，的周长为28.
【点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.
19.如图，为空间四点．在中，．等
边三角形以为轴运动．
（Ⅰ）当平面平面时，求；
（Ⅱ）当转动时，是否总有？证明你的结论．
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）见解析
【解析】
【详解】（Ⅰ）取的中点，连结，

因为是等边三角形，所以．
当平面平面时，
因为平面平面，
所以平面，
可知
由已知可得，
在中，．
（Ⅱ）当以为轴转动时，总有．
证明：
（ⅰ）当在平面内时，因为，
所以都在线段的垂直平分线上，即．
（ⅱ）当不在平面内时，由（Ⅰ）知．
又因，所以．
又为相交直线，
所以平面，
由平面，得．
综上所述，总有．
20.
在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图所示）．

（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则（1）…1分
∵OA⊥OB ∴,即，(2)…………3分
又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得…4分
∴
所以重心为G的轨迹方程为……………………………………6分
（II）
由（I）得……11分
当且仅当即时，等号成立．………………………12分
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1； …………………13分

【解析】
试题分析：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则（1）
∵OA⊥OB ∴,即，(2)
又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得
∴
所以重心为G的轨迹方程为
（2）
由（I）得
当且仅当即时，等号成立．
所以△AOB的面积存在最小值，最小值是1．
考点：本题主要考查了轨迹方程的求法、重心定理的应用及基本不等式的应用．
点评：本题综合性强既考查了学生的计算能力，又兼顾了知识的综合应用．（1）中给的是A、B的条件，要求重心G的轨迹方程，先化简A、B的关系式，再利用重心定理找到G点坐标与AB坐标的关系，化简出G的轨迹方程；（2）在求最值时．常用求导和基本不等式来求，本题中具备为定值这一条件，所以选择用基本不等式求解，注意等号成立的条件的应用．
21.设函数.
（1）求单调区间；
（2）若对于任意，都有，求的取值范围.
【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，由导函数的正负得到原函数的单调区间；
（2）由第一问确定出函数在给定区间上的单调性，之后将任意的，恒成立转化为 ，即，
再构造新函数，求导得到其单调性，结合其性质，求得最后的结果.
【详解】（1）因为，所以，
所以当时，；
当时，．
所以的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得最小值，且．
所以对于任意的，的充要条件为
，即 ①
设函数，则．
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
又，，，
所以当时，，即①式成立，
综上所述，的取值范围是．
【点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，应用导数研究恒成立问题对应的参数的取值范围，在解题的过程中，需要正确理解题意，对问题正确转化，构造相应的新函数来解决问题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）求曲线与交点的极坐标.
【答案】（1）；（2），，，
【解析】
【分析】
（1）由曲线的参数方程通过将两个式子两边分别平方再相减可消去参数，得到曲线的普通方程，再由公式化为极坐标方程即可.对于曲线利用公式直接化为直角坐标方程即可.
（2）把曲线的极坐标方程和曲线的极坐标联立即可求得交点的极坐标.
【详解】（1）由题意，将与-两式平方相减可得.因为所以，
即曲线的极坐标方程为.
将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为.
（2）由题意得，故，
所以或或或，即或或或.
所以两曲线交点的极坐标为，，，.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查两曲线交点的极坐标的求法.．极坐标与直角坐标之间由关系式相互转化．
23.已知函数，.
（1）若，解不等式；
（2）若不等式至少有一个负数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当时，利用零点分段法去绝对值，将不等式变为分段不等式来求得解集；
（2）作出函数的图象和函数的图象,通过数形结合与分类讨论的数学思想方法求得的取值范围.
【详解】（1）若，则不等式+化为2−．
当x≥1时，2−≥3，即−，
因为不等式对应的一元二次方程，故不等式无解；
当时，，即，解得．
综上，不等式+≥3的解集为．
（2）作出的图象如图所示，当时，的图象如折线①所示，

由，得，
若相切，则，得，
数形结合知，当时，不等式无负数解，则−．
当时，满足>至少有一个负数解．
当时，的图象如折线②所示，
此时当时恰好无负数解，数形结合知，
当时，不等式无负数解，则．
综上所述，若不等式>至少有一个负数解，
则实数的取值范围是(−，2)．
【点睛】本题考查含参绝对值不等式的求解，以及考查学生数形结合的能力，属中档题.