重庆市第一中学2020届高三数学下学期期中试题-文.doc

重庆市第一中学2020届高三数学下学期期中试题 文

重庆市第一中学2020届高三数学下学期期中试题 文

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- 23 -

重庆市第一中学2020届高三数学下学期期中试题 文（含解析）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.设集合P＝{x|x+2≥x2}，Q＝{x∈N||x|≤3}，则P∩Q＝（ ）
A. [﹣1，2] B. [0，2] C. {0，1，2} D. {﹣1，0，1，2}
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式x+2≥x2求出集合P，再求出集合Q，再利用集合的交集运算即可算出结果.
【详解】解不等式x+2≥x2，得，∴集合P＝{x|x+2≥x2}＝，
又∵集合Q＝{x∈N||x|≤3}＝{0，1，2，3}，
∴P∩Q＝{0，1，2}，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，是容易题.
2.已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标运算计算出，再由模的坐标表示求模．
【详解】∵，∴，，∴．
故选：C．
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题．
3.复数，若复数， 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出复数，再根据复数的代数形式的乘法运算法则计算可得；
【详解】解：由题意可知，所以，
故选：A．
【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，以及复数代数形式的乘法运算，属于基础题.
4.一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（ ）
A. 甲同学三个科目都达到优秀 B. 乙同学只有一个科目达到优秀
C. 丙同学只有一个科目达到优秀 D. 三位同学都达到优秀的科目是数学
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意推断出乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，甲至少有一科优秀，从而得出答案.
【详解】甲说有一个科目每个人都达到优秀，说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科，乙说英语没有达到优秀，说明他至多有两科达到优秀，而丙优秀的科目不如乙多，说明只能是乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，故B错误，C正确；
至于甲有几个科目优秀，以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学，都无法确定
故选：C
【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.
5.2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为（ ）
A. 0.7 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.3
【答案】C
【解析】
分析】
现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，名护士分别记为、，名医生分别记为、、，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可得所求事件的概率.
【详解】重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，
名护士记、，名医生分别记为、、，
所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，
其中事件“恰有1名医生和1名护士被选中”所包含的基本事件有： 、、、、、，共种，
因此，所求事件的概率为.
故选：C.
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
6.一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ）
A. 这组新数据的平均数为 B. 这组新数据的平均数为
C. 这组新数据的方差为 D. 这组新数据的标准差为
【答案】D
【解析】
【分析】
计算得到新数据的平均数为，方差为，标准差为，结合选项得到答案.
【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为，方差为，标准差为.
故选：
【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.
7.已知表示的平面区域为，若，为真命题，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题可先通过线性规划得出平面区域，在解出的取值范围，最后得出的取值范围．
【详解】绘制不等式组表示的可行域如图所示，

令，结合目标函数的几何意义可得在点处取得最大值，
联立直线方程可得，解得，即，则.
结合恒成立的条件可知，即实数的取值范围是，本题选择A选项．
【点睛】求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.解本题时，由线性规划知识确定的最值，然后结合恒成立的条件确定实数的取值范围即可．
8.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ）
A. 18 B. 18 C. 12 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】
如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.可得πr2+πrl＝36π，2πr＝l•，联立解得：r，l，h. 即可得出该圆锥的轴截面的面积S•2r•h＝rh.
【详解】如图所示，

设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.
则πr2+πrl＝36π，化为：r2+rl＝36，2πr＝l•，可得l＝3r.
解得：r＝3，l＝9，h6.
该圆锥的轴截面的面积S•2r•h＝rh＝3×618.
故选：B.
【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
9.若函数f（x）＝alnx（a∈R）与函数g（x）在公共点处有共同的切线，则实数a的值为（ ）
A. 4 B. C. D. e
【答案】C
【解析】
【分析】
根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a的值和切点坐标，问题可解.
【详解】由已知得，
设切点横坐标为t，∴，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.
10.已知是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是线段的中点，是坐标原点，若周长为（为双曲线的半焦距），，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
从周长为，是线段的中点入手，结合双曲线的定义，将已知条件转为焦点三角形中与关系，求出，用余弦定理求出关系，即可求解.
【详解】连接，因为是线段的中点，
由三角形中位线定理知，
由双曲线定义知，
因为周长为，
所以，解得，在中，
由余弦定理得，
即，整理得，，
所以，所以双曲线的渐近线方程为.
故选:C.
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用，属于中档题.
11.已知函数的图象经过点，在区间上为单调函数，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合，当，且时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：由题意，求得的值，写出函数的解析式，求函数的对称轴，得到的值，再求解的值即可.
详解：由函数的图象过点，
所以，解得，所以，即，
由的图象向左平移个单位后得，
由两函数的图象完全重合，知，所以，
又，所以，所以，所以，
则其图象的对称轴为，
当，其对称轴为，
所以，
所以，
故选B.
点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到函数的解析式，以及根据三角函数的对称性，求得的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
12.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A. 20 B. 18 C. 16 D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】
先解，求得的值，再根据函数的解析式，利用二次函数，函数的图象的平移伸缩变换及偶函数的图像性质作图，利用数形结合方法即可得到答案.
【详解】或
根据函数解析式以及偶函数性质作图象，
当时， ,是抛物线的一段，
当,是由
的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y轴右侧的图象，再根据偶函数的图象性质得到上的函数的图象，
考察的图象与直线和的交点个数，分别有6个和10个，
∴函数g(x)的零点个数为,

故选：C
【点睛】本题考查函数零点以及函数综合性质，涉及分段函数，函数的图象的平移，伸缩变换，函数的奇偶性，考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力，属中档题.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知等比数列的前项和为，且，，则______.
【答案】7
【解析】
【分析】
结合等比数列的通项公式，由已知条件，可得到两个等式，这两个等式相除可以求出等比数列的公比，进而可以求出首项，最后根据等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，则，，
两式相除可得，解将，，.
故答案为：7
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前项和公式的应用，考查了数学运算能力.
14.已知抛物线y2＝12x的焦点为F，过点P（2，1）的直线l与该抛物线交于A，B两点，且点P恰好为线段AB的中点，则|AF|+|BF|＝_____.
【答案】10
【解析】
【分析】
因为P（1，2）是A（x1，y1），B（x2，y2）中点，则由中点坐标公式得x1+x2＝4，再利用抛物线焦半径公式得|AF|＝x1+3，|BF|＝x2+3，进而求出|AF|+|BF|.
【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵P（2，1）是AB中点，
∴2，即x1+x2＝4.
∵F（3，0）是抛物线y2＝12x的焦点，
∴|AF|＝x1+3，|BF|＝x2+3，
则|AF|+|BF|＝x1+x2+3+3＝10，
故答案为：10.
【点睛】本题考查中点坐标公式，抛物线焦半径公式|AF|＝x，及其运算能力，属于基础题.
15.设Sn为数列{an}的前n项和，若an＞0，a1＝1，且2Sn＝an（an+t）（t∈R，n∈N*），则S100＝_____.
【答案】5050
【解析】
【分析】
先由题设条件求出t，再由2Sn＝an（an+1）得2Sn﹣1＝an﹣1（an﹣1+1），进而得出Sn，代入求S100.
【详解】∵an＞0，a1＝1，且2Sn＝an（an+t）（t∈R，n∈N*），
∴当n＝1，有2S1＝a1（a1+t），即2＝1+t，
解得：t＝1
∴2Sn＝an（an+1）①，
又当n≥2时，有2Sn﹣1＝an﹣1（an﹣1+1）②，
∴①﹣②可得：2（Sn﹣Sn﹣1）＝an（an+1）﹣an﹣1（an﹣1+1），
整理得：an+an﹣1＝an2﹣an﹣12，
∵an＞0，
∴an﹣an﹣1＝1.
所以数列{an}是以a1＝1为首项，公差d＝1的等差数列，
∴其前n项和Sn，
∴S1005050.
故答案为：5050.
【点睛】本题主要考查由数列的前n项和与第n项的关系式求其通项公式及等差数列前n项和公式，属于中档题.
16.在三棱锥中，，，，若PA与底面ABC所成的角为，则点P到底面ABC的距离是______；三棱锥P-ABC的外接球的表面积_____.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
首先补全三棱锥为长方体，即可求出点P到底面ABC的距离，同时长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积.
【详解】将三棱锥置于长方体中，其中平面，
由与底面ABC所成的角为，可得，
即为点P到底面ABC的距离，
由，得，如图，

PB就是长方体（三条棱长分别为1，1，）外接球的直径，
也是三棱锥外接球的直径，即，
所以球的表面积为.
故答案为：；.
【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17.如图，是等边三角形， 是边上的动点（含端点），记,.

（1）求的最大值；
（2）若，求的面积.
【答案】(1)当α＝，即D为BC中点时，原式取最大值;(2).
【解析】
【分析】
（1）由题意可得β=α+，根据三角函数和差公式及辅助角公式化简即可求出其最大值．
（2）根据三角函数差角公式求得sinα，再由正弦定理，求得AB的长度；进而求得三角形面积．
【详解】（1）由△ABC是等边三角形，得β＝α＋，
0≤α≤，故2cos－cos=2cos－cos＝sin，
故当α＝，即D为BC中点时，原式取最大值
（2）由cos β＝ ，得sin β＝，
故sin α＝sin＝sin βcos－cos βsin＝，
由正弦定理，
故AB＝ BD＝×1＝ ，故S△ABD＝AB·BD·sin B＝
【点睛】本题考查了三角函数和差公式、辅助角公式、正弦定理的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题．
18.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，D是B1C1的中点，A1A＝A1B1＝2.

（1）求证：AB1∥平面A1CD；
（2）若异面直线AB1和BC所成角为60°，求四棱锥A1﹣CDB1B的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）2
【解析】
【分析】
（1）连AC1交A1C于点E，连DE.证明DE∥AB1，然后证明AB1∥平面A1CD；
（2）∠C1DE或其补角为异面直线AB1和BC所成角，可得 A1D⊥平面CDB1B，求出四棱锥的底面积与高，即可求解体积.
【详解】（1）证明：如图，连AC1交A1C于点E，连DE.

因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是矩形，故点E是AC1中点，
又D是B1C1的中点，故DE∥AB1，
又AB1⊄平面A1CD，DE⊂平面A1CD，故AB1∥平面A1CD.
（2）由（1）知DE∥AB1，又C1D∥BC，故∠C1DE或其补角为异面直线AB1和BC所成角.
设AC＝2m，则，
故△C1DE为等腰三角形，故∠C1DE＝60°，故△C1DE为等边三角形，则有，得到m＝1.
故△A1B1C1为等腰直角三角形，故A1D⊥C1B1，
又B1B⊥平面A1B1C1，A1D⊂平面A1B1C1，故A1D⊥B1B，
又B1B∩C1B1＝B1，故A1D⊥平面CDB1B，
又梯形CDB1B的面积，
则四棱锥A1﹣CDB1B的体积.
【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，逻辑推理能力，属于中档题.
19.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；

（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对两种型号的新型材料对应的产品各件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：
使用寿命/材料类型
1个月
2个月
3个月
4个月
总计
A
20
35
35
10
100
B
10
30
40
20
100

如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？
参考数据：
参考公式：回归直线方程，其中
【答案】(1) , 百万元；(2) 型新材料.
【解析】
【分析】
(1)根据所给的数据，做出变量的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程；将代入所求线性回归方程，求出对应的的值即可得结果； (2)求出型新材料对应产品的使用寿命的平均数与型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果.
【详解】（1）由折线图可知统计数据共有组，
即，，，，，，
计算可得，

所以 ，
，
所以月度利润与月份代码之间的线性回归方程为.
当时，.
故预计甲公司2019年3月份的利润为百万元.
（2）型新材料对应产品的使用寿命的平均数为，型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为， 应该采购型新材料.
【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
20.已知椭圆的长轴长为4，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率为，且与椭圆相交于，两点（异于点），过作的角平分线交椭圆于另一点.证明：直线与坐标轴平行.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的性质，求解即可；
（2）因为平分，欲证与坐标轴平行，即证明直线的方程为或，只需证，斜率都存在，且满足即可.将直线的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理求解即可.
【详解】（1）解：，将代入椭圆方程，得，
解得，故椭圆的方程为.
（2）证明：∵平分
欲证与坐标轴平行，即证明直线方程为或
只需证，斜率都存在，且满足即可.
当或斜率不存在时，即点或点为，
经检验，此时直线与椭圆相切，不满足题意，故，斜率都存在.
设直线：，，，
联立，
，∴，
由韦达定理得，，

得证.
【点睛】本题主要考查了求椭圆方程以及韦达定理的应用，属于中档题.
21.已知函数（R）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）求函数的单调区间，实质上就是解不等式得增区间，解不等式得减区间；（2）函数的最大值一般与函数的单调性联系在一起，本题中，其单调性要对进行分类，时，函数在上单调递增，在上单调递减，不合题意，故有，按极值点与0的大小分类研究单调性有最大值．
试题解析：（1）当时，，
则，
令，得或；令，得，
∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）由题意，
（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实
数，使得当时，函数的最大值为．
（2）当时，令，有，，
①当时，函数在上单调递增，显然符合题意．
②当即时，函数在和上单调递增，
在上单调递减，在处取得极大值，且，
要使对任意实数，当时，函数的最大值为，
只需，解得，又，
所以此时实数的取值范围是．
③当即时，函数在和上单调递增，
在上单调递减，要存在实数，使得当时，
函数的最大值为，需，
代入化简得，①
令，因为恒成立，
故恒有，所以时，①式恒成立，
综上，实数的取值范围是．
考点：函数的单调性与最值．
【名题点晴】本题实质考查导数的应用，主要围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，这类问题一般是设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、转化与化归思想等数学思想方法．要注意分类讨论时分类标准的确定，函数的最值与函数极值的区别与联系．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.
（1）写出的极坐标方程；
（2）设点的极坐标为，射线分别交，于，两点（异于极点），当时，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用，消去的参数将的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.
（2）将射线分别于的极坐标方程联立，求得两点对应的，由此求得的表达式，求得的表达式，根据列方程，由此求得的值.
【详解】（1）∵（为参数）
∴曲线的普通方程为，即
∵，，∴
∴曲线的极坐标方程为
（2）依题意设，，
∴由得.由得.
∵，∴.
∴.
∵是圆的直径，∴.
∴在直角中，
∵在直角中，
∴，即
∴，即.

【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知，，.
（1）求证：；
（2）若，求证：.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意，可得，可得，解不等式可得证明；
（2）由，所以，要证，只需证，利用基本不等式可得证明；
【详解】证明：（1）由条件，有，
所以，即，
所以.
（2）因为，所以，
要证，
只需证（*），
只需证
因为，所以，即（*）式成立，
故原不等式成立.
【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，熟练掌握基本不等式的性质进行证明是解题的关键.