江西省靖安中学2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题-理.doc

江西省靖安中学2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题 理

江西省靖安中学2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题 理

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- 19 -

江西省靖安中学2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题 理（含解析）
分值：150分 时间：120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.设，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.
详解：
，
则，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2.已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出，得切线的斜率为，即可求解.
【详解】函数的导数为，
可得在处的切线的斜率为，
即，为倾斜角，可得.
故选：A.
【点睛】本题考查切线的几何意义，属于基础题.
3.若，则a的值是（ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
先由微积分基本定理求解等式左边的积分，然后用求得的结果等于3+ln2，则a可求．
【详解】，解得.
故选D
【点睛】本题考查了定积分的求法，解答的关键是找出被积函数的原函数，属基本题．
4.已知是虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由复数除法的运算法则和虚数单位定义，即可求解.
【详解】由题意可得.
故选：A.
【点睛】本题考查复数代数运算，属于基础题.
5.在R上定义运算:=ad-bc,若不等式≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为(　　)
A. - B. - C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据定义化简不等式，并参变分离得x2-x+1≥a2-a，根据恒成立转化为x2-x+1最小值不小于a2-a，最后根据二次函数性质求最小值，得关于a不等式，解不等式得结果.
【详解】由定义知,不等式≥1等价于x2-x-(a2-a-2)≥1,所以x2-x+1≥a2-a对任意实数x恒成立.因为x2-x+1=+≥,所以a2-a≤,解得-≤a≤,则实数a的最大值为. 选D.
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
6.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有(　　)
A. B. 个 C. 个 D. 个
【答案】A
【解析】
试题分析：第一步先排两个英文字母，可以重复，所以方法数有种；第二步排4个数字，数字要互不相同，方法数有种，按照分步计数原理，放法数一共有种.
考点：1、排列组合；2、分步计数原理．
7.已知直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设切线的切点为，由，得到的方程，求出，代入切线方程，进而求出切点坐标，代入曲线方程，即可求解.
【详解】曲线的导数为，
由题意直线是曲线的一条切线，
设其切点为，，
解得（舍负），切点在直线上，所以切点坐标为，
所以，即.
故选：D.
【点睛】本题考查导数的几何意义，注意切点与切线和函数之间的关系，属于基础题.
8.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（　　）
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 64种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分2步进行分析：
①，将4人分成3组，有种分法；
②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，
将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有种情况，
此时有种情况，
则有种不同的安排方法；
故选C．
【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
9. 用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数．
A. 6 B. 9 C. 10 D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，
共有个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列．
共有种结果，前三位是123．第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，
∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字，
考点：计数原理的应用．
10.已知，为的导函数，则的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的的范围，确定导函数在上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．
【详解】由，
∴，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．
又，当＜x＜时，＞，∴＜0，
故函数y＝在区间 上单调递减，故排除C．
故选A．
【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．
11.已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出，根据已知在存在变号零点，即可求解.
【详解】∵，在内不是单调函数，
故在存在变号零点，即在存在零点，
∴
故选：A.
【点睛】本题考查函数导数与函数单调性关系，考查计算求解能力，属于基础题.
12.定义在上的函数，是其导数，且满足，，则不等式 （其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．
【详解】令，则，可知函数在上单调递增，故当时，，即，即．
∴不等式的解集为
故选A.
【点睛】本题考查利用导数研究不等式问题，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“”和“”的联系构造函数.
二、填空题 （本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数的极大值是______.
【答案】-1
【解析】
【分析】
确定函数的定义域，求出，进而得出单调区间，即可得到极大值.
【详解】的定义域为，
∵，∴，
令，解得，
当时，；当时，，
递增区间，递减区间是，
故在处取得极大值，极大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的极值，考查计算求解能力，属于基础题.
14.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形，，，中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种

【答案】72
【解析】
【分析】
根据相邻的矩形涂色不同，一共有4种颜色，先涂A有种，再涂B有种，C与A，B相邻，则C从剩下的2种颜色中选， D只与C相邻，可选剩下的1种和A，B用的颜色，最后利用分步计数原理求解.
【详解】根据题意，先涂A有种，
再涂B有种，
C与A，B相邻，则C有种，
D只与C相邻，则D有种，
所以不同的涂法有种，
故答案为：72
【点睛】本题主要考查计数原理中的涂色问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
15.由曲线，直线，与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由曲线，直线，与轴所围成的平面图形,利用定积分，即可求解.
【详解】由题意，曲线，直线，与轴所围成的平面图形,
绕轴旋转一周所得旋转体的体积为：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了利用定积分求解旋转体的体积，其中解答中得出定积分式是解答的关键，属于基础题.
16.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点，设函数（为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，，若存在，且为函数一个不动点，则实数的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先构造函数，研究其单调性与奇偶性，再化简不等式，解得取值范围，最后根据不动点定义，利用导数求出的范围，即得最小值.
【详解】由，令，
则为奇函数，当时，，
所以在上单调递减，
所以在上单调递减，
因为存在，
所以，
所以，即.
因为为函数一个不动点，
所以在时有解，
令，
因为当时，，
所以函数在时单调递减，且时，，
所以只需，得.
点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属难题.
三、解答题
17.已知函数是的导函数， 且.
(I)求的值;
(II)求函数在区间上的最值.
【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】
(I)求出的导函数，把代入即可求解.
(II)利用导数求出函数的单调区间即可求出最值.
【详解】解: (I) ，

,

(II) 由(I)可得:，
令，解得，列出表格如下:

极大值

极小值

又
所以函数在区间上的最大值为，最小值为
【点睛】本题主要考查导函数求函数的最值、极值，属于基础题.
18.计算：（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）（2）330（3）
【解析】
【分析】
（1）由，可得代入可求得答案.
（2）由,可得，从而得出答案.
（3）利用排列数的公式有，化简得到方程，可求出答案.
【详解】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式，
化简得，解得，或（舍），故方程的解是.
【点睛】本题考查排列组合数的个数的应用，公式的应用，属于基础题.
19.设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
【答案】（1）当时，增区间为，减区间为，当时，增区间为，减区间为； （2）
【解析】
【分析】
（1）求得函数的导数，分类讨论求得和的解集，即可得到函数的单调区间；
（2）把函数在区间内单调递增，转化为时，恒成立，
令，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，则，
令，即，即，
当时，解得，即函数在单调递增；
当时，解得，即函数在单调增；
令，即，即，
当时，解得，即函数在单调递减；
当时，解得，即函数在单调递增；
综上所述，
当时，函数的增区间为，减区间为，
当时，函数的增区间为，减区间为.
（2）由函数在区间内单调递增，即当时，恒成立，
即当时，恒成立，
令，即当时，恒成立，
由一次函数的性质，可得，解得，又，
而当或，函数均不是常函数，
故若函数在区间内单调递增，则的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，以及利用函数的单调性求解参数的取值范围问题，其中解答中熟记导数与原函数的关系，合理转化，结合一次函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
20.在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）
（1）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
（2）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）
（3）现在有7个座位连成一排，仅安排4个男生就坐，怡好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？
【答案】（1）3720；（2）840；（3）480.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，由加法原理计算可得答案；
（2）根据题意，首先把7名同学全排列，再分析甲乙丙三人内部的排列共有种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，由倍分法分析可得答案；
（3）根据题意，分2种情况：①，两个相邻空座位在两边，12或67上，第三个空座4种选择；②，两个相邻空座位在中间，可能是23，34，45，56中的一个，第三个空位有3种选择，由分类和分步计数原理计算可得答案．
【详解】（1）根据题意，分2种情况讨论：
①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有种情况，
②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有种站法，
则此时有种站法，
则一共有种站法；
（2）根据题意，首先把7名同学全排列，共有种结果，
甲乙丙三人内部的排列共有种结果，
要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有种.
（3）根据题意，恰好有两个空座位相邻分2种情况：①两个相邻空座位在两边，12或67上，第三个空座有4种选择；②两个相邻空座位在中间，可能是23，34，45，56中的一个，第三个空位有3种选择，4个男生全排列有种坐法，共种选派方法．
【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，注意优先分析受到限制的元素，属于中档题．
21.已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．

（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．
【答案】（Ⅰ）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题目所给的条件得到解出参数值即可；（2）分别设出直线AM和BM求出点B，D的坐标，并表示出AC，BD的长度，代入面积公式化简即可.
【详解】（Ⅰ）由已知可得：解得：；
所以椭圆C的方程为：．
（Ⅱ）因为椭圆C的方程为：，所以，．
设，则，即．
则直线BM的方程为：，令，得；
同理：直线AM的方程为：，令，得．
所以
．
即四边形ABCD的面积为定值2．
【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.
22.已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）的单调递减区间是，单调递增区间是.（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）函数求导，定义域为，由，可得或进而讨论导函数的正负得函数单调性即可；
（Ⅱ）若恒成立，只需即可，讨论函数单调性求最值即可.
试题解析：
（Ⅰ）函数的定义域为，
.
由，可得或，
当时，在上恒成立，
所以的单调递增区间是，没有单调递减区间；
当时，的变化情况如下表：

所以的单调递减区间是，单调递增区间是.
当时，的变化情况如下表：

所以单调递减区间是，单调递增区间是.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，符合题意.
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以恒成立等价于，即，
所以，所以.
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以恒成立等价于，即.
所以，所以.
综上所述，实数的取值范围是.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .