2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题06 染色问题含解析.pdf

2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题6染色问题例1.如图所示的几何体由三棱锥尸-45。与三棱柱Z3C-4gG组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面4AG不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）C.12 种B.9种D.36种例2.如图，用四种不同的颜色给图中的力，B,C,D,E,F,G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A.192 种B.336种C.600 种D.624 种例3.现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）A.720 种B.1440 种C.2880 种 D.4320 种例4.将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）.1C.64 D.25例5.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域力、B、C、D、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A.120 种 B.720 种 C.840 种 D.960 种例6.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内,且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A.40320 种 B.5040 种 C.20160 种 D.2520 种例7.如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A.240B.360C.420D.960例8.如图所示，将33x33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相 邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（）2171633A.33 B.56 C.64 D.78例9.如图给三棱柱力BC-的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有.例10.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共例11.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供 选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为例12.从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂 两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是.3OOOOCXD例13.如图一个正方形花圃被分成5份.若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有 种例14.现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色,不同的涂色方法有 种.例15.现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有 种（用数字作答）.例16.四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共 同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4 种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为例17.如图，将标号为1,2,3,4,5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域（有公共边）的颜色不同，则不同的染色方法有 种4例18.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有 种.（用数字作答）例19.给图中月，B,C,D,E,产六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有一种不同的染色方案.例20.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用）,要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种.（用数字作答）例21.给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有一种，用5种颜色染色的方案共有种.5例22.如图，用四种不同的颜色给三棱柱Z8C的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色.若每 个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有 种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有 种.专题6染色问题例1.如图所示的几何体由三棱锥尸-48。与三棱柱48C-4与G组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面44G不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）C.12 种B.9种D.36种【解析】先涂三棱锥P-力8。的三个侧面，有C；C；C；=6种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有C；C：C；=2种情况，共有6x2=12种不同的涂法.故选：C.例2.如图，用四种不同的颜色给图中的4 B,C,D,E,F,G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）6A.192 种 B.336 种 C.600 种 D.624 种【解析】由题意，点已F,G分别有4,3,2种涂法，(1)当月与尸相同时，月有1种涂色方法，此时5有2种涂色方法，若。与尸相同，则。有1种涂色方法，此时。有3种涂色方法；若。与尸不同，则。有2种涂色方法.故此时共有4x3x2xlx2x(lx3+lx2)=240种涂色方法.(2)当/与G相同时，/有1种涂色方法，若。与尸相同，则。有1种涂色方法，此时5有2种涂色方法，。有2种涂色方法；若。与尸不同，则。有2种涂色方法，此时5有2种涂色方法，。有1种涂色方法.故此时.共有4x3x2x1x0 x2x2+2x2x1)=192种涂色方法.(3)当/既不同于户又不同于G时，/有1种涂色方法.若6与尸相同，则。与力相同时，。有2种涂色方法，。与力不同时，。和。均只有1种涂色方法；若与尸不同，则5有1种涂色方法，(/)若。与尸相同，则。有1种涂色方法，此时。有2种涂色方法；()若。与尸不同，则必与月相同，。有1种涂色方法，此时。有2种涂色方法.故此时共有4x3x 2x1x1 x(lx2+lxl)+lx(lx 2+1x2)=168种涂色方法.综上，共有240+192+168=600种涂色方法.故选：C.例3.现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有()7A.720 种 B.1440 种 C.2880 种 D.4320 种【解析】根据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法;第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方 法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法;第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方 法；所以不同的涂色方法：6x5x4x3x4x3=4320种.故选：D.例4.将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）.A.420 B.180 C.64 D.25【解析】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行区域/有5种涂法，8有4种涂法，A，。不同色，。有3种，。有2种涂法，有5x4x3x2=120种，A，。同色，。有1种涂法，。有3种涂法，有5x4x3=60种，共有180种不同的涂色方案.故选：B.例5.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域力、B、。、D、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）8A.120 种B.720 种C.840 种D.960 种【解析】法一：/有5种颜色可选，8有4种颜色可选，。有3种颜色可选，若。同色，E有4种颜色可选；若同色，有4种颜色可选；若。与力、3都不同色，则。有2种颜色可选，此时有4种颜色可选，故共有5x4x3x(4+4+2x4)=960 种.法二：当使用5种颜色时，有=120种涂色方法；当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是ZC,BC,AE,BE,CE,共有=600种涂色方 法；当使用3种颜色时，只能是力。同色且同色，同色且8C同色，力同色，同色，共有 44；=240种涂色方法，共有120+600+240=960种涂色方法.故选：D.例6.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有().A.40320 种 B.5040 种 C.20160 种 D.2520 种【解析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有种方法,9再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有种方法，由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，所以不同的涂色方法，共有匕区=2520种不同的涂法.2故选：D.例7.如图所示，将四棱锥S/5CP的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A.240 B.360 C.420 D.960【解析】由题设，四棱锥s/sa7的顶点S、4 3所染的颜色互不相同，它们共有5x4x3=60种染色方法.设5种颜色为1,2,3,4,5,当S、3染好时;不妨设其颜色分别为1、2、3,若。染2,则。可染3或4或5,有3种染法；若。染4,则。可染3或5,有2种染法，若。染5,则。可染3或4,有2种染法.可见，当S、力、5已染好时，C,。还有7种染法，故不同的染色方法有60 x7=420（种）.故选：C例8.如图所示，将33x33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相 邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（）11111116 1733A.33 B.56C.64 D.78【解析】1016 1733记分隔边的条数为L,首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，111111此时共有56条分隔边，即=56,其次证明：L56,将将方格的行从上至下依次记为4,4,43,列从左至右依次记为可，层，B33,行4中方格出现的颜 色数记为”4），列4-中方格出现的颜色个数记为（与），三种颜色分别记为G，C2，q,对于一种颜色J,设cj为含有J色方格的行数与列数之和，定义当4行含有J色方格时，5（4，cj=l,否则 3（4勺）=。类似的定义可昂j）,33 33 3、3所以（4）+（耳）=（3（4凸）+bCj）=匕），1=1 i=l i=l 7 7=11 7由于染C/色的格有一x332=363个，设含有C/色方格的行有。个，列有6个，则J色的方格一定再这个。行和6列的交叉方格中，从而 ab 363，所以=a+b 2 14ab 2436338n （c,39（4=1,2,3），由于在行4中有“（4）种颜色的方格，于是至少有“（4）-1条分隔边，类似的，在列瓦中有“与）种颜色的方格，于是至少有（与）-1条分隔边，33 33 33则 之 （4）T+（用）T）=G（4）+n（瓦）66 z=l 1=1/=13=Z（cj-66,/=i下面分两种情形讨论，有一行或一列所有方格同色,11不妨设有一行均为色，则方格的33列均含有q的方格，又0色的方格有363个，故至少有11行有q色方格，于是亿）之11+33=44由得 7?（?,）+7?（c2）+/?（c3）-66 44+39+39-66=56,没有一行也没有一列的所有方格同色，则对任意1/33均有“（4 2,（耳）22,从而，由式知：33之2（4）+（q）一66之33466=6656,Z=1综上，分隔边条数的最小值为56.故选：B.例9.如图给三棱柱尸的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有.【解析】首先先给顶点4民。染色，有m=24种方法，再给顶点。染色，若它和点8染同一种颜色，点和点。染相同颜色，点/就有2种方法，若点石和点C染不同颜色，则点石有2种方法，点方也有1种方法,则。,乙方的染色方法一共有2+2xl=4种方法，若点。和点8染不同颜色，且与点。颜色不同，则点。有1种方法，点与点。颜色不同，则点石有1种方法，则点方有1种方法，此时有1种方法；若最后 与。相同，则/有2种方法，则共有2种方法；点。与点。颜色相同，则点。有1种方法，则点有2 12种方法，则点尸有2种方法，共有2x2=4种方法，所以点。和点3染不同，颜色共有1+2+4=7种方法,所以点D,E,F的染色方法一共有4+7=11种，所以共有24x 11=264种方法.故答案为：264例10.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有_种不同着色方法【解析】先排I，有5 种方法;然后排H,IV,最后排ni：当n,IV相同时，方法有4x4种，故方法数有5x4x4=80种.当n,IV不同时，方法有4x3x3种，故方法数有5x4x3x3=180种.综上所述，不同的着色方法数有80+180=260种.故答案为：260例11.如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为.【解析】分三种情况:(1)用四种颜色涂色，有=24种涂法；(2)用三种颜色涂色，有24；=48种涂法;(3)用两种颜色涂色，有用=12种涂法；所以共有涂色方法24+48+12=84.13故答案为：84 例12.从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂 两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是.OOOOOO【解析】从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色有4种选法.因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类:一类是，前三个圆用3种颜色，有4；=6种方法，后3个圆也有3种颜色，有C；C；=4种方法，此时不同方法有6x4=24方法；二类是，前3个圆2种颜色，后3个圆2种颜色，共有C；C；=6方法.综上可知，所有的涂法共有4x（24+6）=120种方法.故答案为：120例13.如图一个正方形花圃被分成5份.若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有 种【解析】先对部分种植，有4种不同的种植方法；再对/部分种植，又3种不同的种植方法；对。部分种植进行分类：若与4相同，。有2种不同的种植方法，3有2种不同的种植方法，共有4x3x2x2=48（种）,若与4不同，。有2种不同的种植方法，。有1种不同的种植方法，3有1种不同的种植方法，共有4x3x2x1x1=24（种），综上所述，共有72种种植方法.故答案为：72.14例14.现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色,不同的涂色方法有 种.【解析】依题意，I、II、皿区域有共同边颜色互不相同，按I、II、HI、IV顺序着色，则区域I有5种着色方法，区域II有4种着色方法，区域III有3种着色方法，IV只与II、III相邻，因此区域IV有3种着色方法，根据分步乘法计数原理，不同的着色方法种数为5x4x3x3=180.故答案为：180例15.现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有 种（用数字作答）.【解析】当涂红色两个相邻的小正方形在两端时是有H=4,当涂红色两个相邻的小正方形在不在两端时是有4；=2,则不同的涂法种数共有4+2=6种.故答案为：6.例16.四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共 同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4 种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为15【解析】设五个区域分别为4民。,。,依题意由公共边的两个区域颜色不同，用四种颜色进行涂色则有两个区域颜色相同，可以是/与C，A与E，8与同色，有涂色方法3H=72；或用三种颜色涂色，则有2组颜色同色，为力与。同色，8与同色，有涂色方法用=24,根据分类加法原理，共有涂色方法72+24=96.故答案为：96.例17.如图，将标号为1,2,3,4,5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域（有公共边）的颜色不同，则不同的染色方法有 种-【解析】16对于1,有三种颜色可以安排；若2和3颜色相同，有两种安排方法，4有两种安排，5有一种安排，止匕时共有3x2x2x1=12；若2和3颜色不同，则2有两种，3有一种.当5和2相同时，4有两种；当5和2不同，则4有一种，此时共有 3x2x（2+l）=18,综上可知，共有12+18=30种染色方法.故答案为:30.例18.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有 种.（用数字作答）【解析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有24：=48种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有4：=24种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有2/=48种栽种方法；所以共有48+24+48=120种栽种方法.故答案为：120例19.给图中力，B,C,D,E,厂六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色若有4种颜色可供选择，则共有一种不同的染色方案.【解析】17解：要完成给图中/、B、C、D、E、厂六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种 颜色染色，即力方同色，80同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有穹=4种取法，三种颜色染三个区域有 团=6种染法，共4x6=24种染法；第二类是用四种颜色染色，即力方，BD，中有一组不同色，则有3种方案（/不同色或80不同色或 CE不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有/：=12种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共 有3x12x2=72种染法.由分类加法原理得总的染色种数为24+72=96种.故答案为：96.20.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用）,要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种.（用数字作答）例21.给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有一种，用5种颜色染色的方案共有种.【解析】（1）根据题意，若用4种颜色染色时，先对力、3区域染色有种，再对。染色:当。同3时，有种；当。同/时，有种；当。不同力、3时，有c；（G+C）种；18综合共有 CC-C-C+C+C-C+C（C；+G）=252 种;(2)根据题意，若用5种颜色染色时，先对/、8区域染色有C：C；种，再对。染色:当。同8时，有C；G种;当。同4时，有C；+C；G种;当。不同力、3时，有G(c：+c；c；)种;综合，共有c；c；c；c；+c；+G(C+GG)=104。种.故答案为:252；1040.例22.如图，用四种不同的颜色给三棱柱48C-43C的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色.若每 个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有 种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有 种.【解析】(1)由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有，：，：=576；(2)若，A,A,。用四种颜色，则有团=24；若 B，4，A，。用三种颜色，则有，；x2x2+N：x2x2=192；若B,A,4,。用两种颜色，则有Z：x2x2=48.所以共有24+192+48=264种.19故答案为：576；264.20