基于改进Level-Set方法的非稳定渗流自由面数值模拟.pdf
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1、第 42 卷第 11 期 水 力 发 电 学 报 Vol.42,No.11 2023 年 11 月 Journal of Hydroelectric Engineering Nov.2023 收稿日期:收稿日期:2023-05-31 接受日期:接受日期:2023-07-08 作者简介:作者简介:刘远财(1983),男,高级工程师.E-mail: 通信作者:通信作者:赵兰浩(1980),男,教授.E-mail: 基于改进 Level-Set 方法的非稳定渗流自由面数值模拟 刘远财1,崔朋飞1,张海容2,赵兰浩3 (1.浙江浙能北海水力发电有限公司,杭州 323907;2.江苏开放大学 建筑工程学
2、院,南京 210036;3.河海大学 水利水电学院,南京 210098)摘摘 要:要:含自由面非稳定渗流问题广泛存在于水利工程及岩土工程中,渗流自由面通常随时间动态变化,属于动边界问题,是非稳定渗流研究的重点和难点。本文在有限元框架内提出基于改进守恒 Level-Set 方法的非稳定渗流自由面数值模拟方法。采用改进守恒 Level Set 方法在固定网格上隐式地捕捉非稳定渗流自由面,巧妙避开了其他固定网格方法在处理自由面时的困难,计算方便,且具有良好的质量守恒性和准确性。首先给出了多孔介质非稳定渗流问题的控制方程及其数值离散,之后给出了渗流自由面追踪的方法及物理特性参数的插值方法,最后通过均质
3、土坝、非均质矩形坝、河床下渗问题等经典算例,验证了本文方法的准确性和有效性。关键词:关键词:渗流计算;非稳定渗流;渗流自由面;物理参数插值;改进 Level-Set 方法 中图分类号:中图分类号:TV139.14 文献标识码:文献标识码:A DOI:10.11660/slfdxb.20231107 论文引用格式:论文引用格式:刘远财,崔朋飞,张海容,等.基于改进 Level-Set 方法的非稳定渗流自由面数值模拟J.水力发电学报,2023,42(11):68-77.LIU Yuancai,CUI Pengfei,ZHANG Hairong,et al.Numerical simulations
4、 of unsteady seepage free surface based on improved conservation Level-Set method J.Journal of Hydroelectric Engineering,2023,42(11):68-77.(in Chinese)Numerical simulations of unsteady seepage free surface based on improved conservation Level-Set method LIU Yuancai1,CUI Pengfei1,ZHANG Hairong2,ZHAO
5、Lanhao3(1.Zhejiang Zheneng Beihai Hydroelectric Power Co.LTD,Hangzhou 323907,China;2.School of Construction Engineering,Jiangsu Open University,Nanjing 210036,China;3.College of Water Conservancy and Hydropower Engineering,Hohai University,Nanjing 210098,China)Abstract:The problem of unsteady seepag
6、e with a free surface is widely recognized in hydraulic engineering and geotechnical engineering.The free surface,usually changing dynamically with time,poses a dynamic boundary problem,and is a key and difficult issue in unsteady seepage research.A free surface numerical simulation method of unstea
7、dy seepage based on the finite element method and the improved conservation Level Set method is presented in this paper.We use the Level Set method to capture unsteady seepage free surfaces implicitly on a fixed grid,subtly avoiding the difficulty of other fixed grid methods in handling free surface
8、s,and have achieved convenient calculations with a good conservation of mass and good accuracy.This paper first discusses the governing equations and numerical discretization of unsteady seepage in porous media,then describes a method for free surface tracking and an algorithm for 刘远财,等:基于改进 Level-S
9、et 方法的非稳定渗流自由面数值模拟 69 interpolating physical characteristic parameters.Finally,the accuracy and effectiveness of this new method are verified via several classical examples,such as homogeneous earth dams,heterogeneous rectangular dams,and riverbed seepage problems.Keywords:seepage calculation;unstea
10、dy seepage flow;seepage free surface;physical parameter interpolation;ICLS 0 引言引言 非稳定渗流分析问题是各种水利工程及岩土工程渗流分析中的难题和关键技术之一1-4,特别是对于渗流自由面即浸润面的求解问题。区别于稳定渗流,非稳定渗流的求解过程中,边界条件十分复杂,自由面是随时间发展的,其位置是未知的,表现出强烈的非线性。含自由面非稳定渗流问题是在忽略土体变形的基础上研究多孔介质中水气两相运移路径及渗流特性5,自由面位置的确定是分析含自由面非稳定渗流问题的关键之一。目前,研究含自由面渗流问题的分析方法主要有 3 种:变
11、网格法、无网格法和固定网格法。变网格法6-7是先假定初始面的位置,然后通过迭代更新自由面位置,但是由于每次迭代都需要重调网格,不仅计算成本较高,而且很容易导致网格畸形,因此变网格法在应用中具有很大局限性。无网格法8-10是正在发展的一类可求解渗流自由面的方法,它具有处理方便、布置灵活等优点,但也存在求解效率低、边界条件施加复杂等问题,有待进一步研究。固定网格法11-13是由Neuman 提出的目前应用最广泛的一类方法,根据分析内容的不同,可分为虚位单元法、单元渗透矩阵调整法、剩余流量法、初流量法等。此类方法对复杂区域的适应性较好,可以较好地分析含自由面非稳定渗流问题。但由于自由面位置是待定的,
12、需要进一步迭代求解确定,计算精度会受到一定影响。另外,该方法计算工作量大,容易出现迭代计算不收敛现象。此后,郑宏等14将 Darcy 定律从饱和区扩展到整个区域,建立了渗流问题求解的变分不等式法,该方法在理论上解决了渗流自由面溢出点奇异性的问题。在此基础上,陈益峰等15对 Signorini型变分不等式法进行改进,建立了抛物型变分不等式法。Xu 等16基于 Signorini 型变分不等式法提出变带宽迭代法进行模拟计算,收敛速度及结果的准确性都有了较大的提高。叶祖洋等17用等效管网模型将多孔介质自由面的二维问题简化为一维问题,并引入 Heaviside 函数进行计算,可以准确模拟渗流自由面的变
13、化情况。但是上述固定网格方法均为单相渗流自由面分析方法,忽略渗流过程中的气相作用,不适用于水气两相渗流分析。含有水气两相的渗流自由面可以通过界面追踪捕捉的方法来隐式地描述。渗流自由面不是一个严格定义的几何表面,而是不同相或不同区域之间的界面,具有过渡性18。目前,Volume of Fluid(VOF)19和 Level Set(LS)20是最常用于界面追踪技术中的两种方法。VOF 方法是一种通过目标流体体积与网格体积的比值来追踪界面的计算方法21,具有质量守恒性好等优点,可用于水气两相流界面的求解22。但是该方法在追踪界面时需要重构界面,计算复杂且计算量较大。同时,由于体积函数的不连续性,很
14、难得到准确的界面法线方向和曲率。相比之下,LS 方法在界面追踪方面更加有效,且具有整体性好、不需要重构界面等优点。LS 方法自 1988 年 Osher 和 Sethian23提出以来已广泛应用于流体力学、图像处理及计算机视觉领域,但在含自由面非稳定渗流问题方面的研究相对较少。另一方面,由于 LS 方法在计算中会产生质量损失,从而会影响计算的准确性。一种改进的方法是 Olsson24提出的守恒 Level Set(CLS)方法,该方法能够保证界面的守恒性,但是通过该方法计算的法向对任何微小误差或扰动非常敏感,所以很难得到准确的界面法向。为了避免上述方法的缺点,赵兰浩25提出了基于改进守恒 Le
15、vel Set 方法(ICLS),与其他前沿的自由面追踪方法相比,改进守恒 Level Set 方法能够提供精确的界面特征并保持质量守恒。本文将该方法应用于含自由面稳定和非稳定渗流问题的分析中,通过几个数值算例验证所用方法的有效性,为该方法在含自由面稳定和非稳定渗流问题中的应用提供理论依据。1 数学模型数学模型 1.1 非稳定渗流控制方程非稳定渗流控制方程 单相非稳定渗流只涉及水体流动,若忽略固体70 水力发电学报 的影响,由达西定律可以得到多孔介质水体的流动为:wp ukk b(1)式中:u 为流体渗流速度;wp为孔隙流体压力;为流体密度;b 为体力加速度;k 为动力渗透系 数矩阵;表示梯度
16、算子,T xyz。流体在多孔介质中的流动还满足连续性方程:Twwwswwswwwws()SppnCSKtttCpnSSpKntum (2)式中:n 为固体孔隙率;wS为水体饱和度;wK为水体体积模量;t为时间;sC为湿度,且wswSCnp;T1,1,1,0,0,0m,且Ts19K m Dm;D 为固体的弹性矩阵;sK为固体的体积模量;为固体应变 张量。不考虑固体骨架与水体的相互作用,并将方程(2)代入方程(1)可得渗流控制方程:ww*10ppQtkk b(3)式中:ws*w1SnCQK,*Q为压缩系数。方程(3)只存在唯一的未知量wp。但是,由 于单相渗流控制方程不包括气体相,无法描述气体的运
17、动特性及水气之间的相互影响。本文采用方法可以模拟水气两相流体的渗流过程,如图 1 所示,渗流自由面是饱和区和干区之间的界面,具有过渡性。考虑孔隙气体流动,假 定静力渗透系数为常数,即0k b,则多孔 介质中的水、气两相的渗流控制方程可表示如下:www*w1()0pkpQt(4)aaa*a1()0pkpQt(5)式中:下标 w、a 分别为水体和空气;w*ww1SnQKsC和as*aa1SnCQK,且wK=2.18109 Pa,aK=1.01105 Pa。若将水体和气体的下标隐去,则方程(4)和(5)可同写为:*10pk pQt(6)图图 1 渗流自由面问题示意图渗流自由面问题示意图 Fig.1
18、Schematic of the seepage free surface problem 1.2 渗流控制方程离散渗流控制方程离散 根据伽辽金加权余量法,对渗流控制方程(6)进行空间离散得:T*1d0pk pQt N(7)式中:N为形函数。采用标准伽辽金格式对式(7)进行积分得:T*TT1dddpQtk pkp NNNnNN(8)令T*1dQSNN,代表压缩矩阵;fdTk p Nn,代 表 荷 载 向 量;H刘远财,等:基于改进 Level-Set 方法的非稳定渗流自由面数值模拟 71 Tdk NN,代表渗流传导矩阵。则式(8)的空间离散格式可写为:ppSHf (9)式中:ppt。采用广义
19、Newmark 格式对式(9)进行时间离散:11111nnnnnppSHf(10)下面通过预估-校正方法得到式(10)中的1np:(1)预测步:1pnnnpptp (11)式中:上标p代表预测步。(2)校正步:11pnnnppt p (12)1nnnppp (13)式中:满足01,若0,则式(12)为显式解;若0.5,则方程(13)无条件稳定;本文采用方法取为固定值 0.75。将式(11)、(12)和(13)代入式(10),得时间离散格式:111111nnnnnnnntppp SHfSH(14)1.3 渗流自由面追踪及界面参数插值渗流自由面追踪及界面参数插值 由于渗流自由面是不同相之间的过渡区
20、域,饱和程度变化迅速,因此界面捕获方法可以作为表征渗流自由面的有效手段。本文采用 ICLS 方法捕获了精确的自由曲面,该方法采用 Heaviside 函数H隐式标记界面。ICLS 方法的流程如图 2 所示,具体步骤总结如下:(1)计算得到渗流速度场u后,将函数和H分别按照式(15)和式(19)进行求解。(2)为了避免,求解过程中对界面产生扰动,需要使用式(16)重新初始化符号距离函数。(3)由式(21)求解界面法向量n。(4)得到界面法向量后,通过式(20)重新初始化 Heaviside 函数H,直到虚拟时间步长结束。(5)在每个时间步长结束时,在某一阈值水平内的点的带符号距离函数可由式(22
21、)更新,并代入下一个时间步长;(6)最后使用函数H,即式(17),识别自由曲面在该时间步的位置。因此,当0.5H 时,表示两个不同区域之间的渗流自由面;0H 和1H 分别表示饱和区和干燥区。图图 2 渗流自由面求解流程渗流自由面求解流程 Fig.2 Flowchart of solving seepage free surface 1.3.1 自由面追踪自由面追踪 采用 Level Set 方法隐式的追踪渗流自由面,需要定义距离指示函数(,)x t,该函数在满足不可压缩流场中的对流输运方程为:0tu(15)为了追踪到准确的渗流自由面,需要满足 1,由于流场的变化会使失去符号距离函 数的性质,需
22、要对LS函数进行重新初始化。因此,Sussman26提出了一种重新初始化的方法:nnSS(16)式中:为虚拟时间;nS为平滑符号函数。由于流场复杂性以及数值离散误差等因素,在对进行重新初始化的过程中,可能会发生自由面移动的情况,从而导致LS方法的计算结果不守恒。Olsson 等24在 LS 方法的基础上提出了 CLS 方法,72 水力发电学报 采用 Heaviside 函数作为标记函数:1 00.5 00 0H(17)H可表示为双曲切线函数:1()1tanh22H(18)式中:为界面宽度的一半。函数H满足不可压缩流体的对流输运方程:()0HHtu(19)由于数值计算和速度变化引起的人为扩散会导
23、致函数H变形失真,为了维持界面形状和宽度,有必要对H进行重新初始化:(1)()HHHH nn n(20)式中:n 为重新初始化过程前的界面法向量。ICLS方法的界面法向量可由LS和CLS方法联合得到:HH,n(21)式中:为给定的距离,可以是0.1 0.2倍的网格大小。在ICLS方法中,为了保证界面位置的准确性,远离界面点的值由式(15)计算得到,而界面附近点的值由式(18)反算得到:12 tanh(21)H(22)为了保持守恒性,在得到准确的法向之后,按照式(20)进行重新初始化。因此,ICLS方法是基于LS方法和CLS方法的混合数值方法,能够保证界面法向的有效性和质量守恒性。1.3.2 界
24、面参数插值界面参数插值 由于多孔介质中非稳定渗流的饱和区和干燥区的范围会随着渗流自由面动态变化,会在自由面附近出现水气过渡区,如图1所示。自由面两侧的材料物理性质发生改变会导致数值计算不稳定的问题。传统渗流分析是通过水土特征曲线考虑材料物理参数变化的,但是水土特性曲线需要通过物理试验获得,费时且成本高。而本文采用的方法通过对LS函数插值得到确定的自由面和各区域的物理参数,并不需要水土特征曲线:11212 ,MM x tMMMHM,(23)式中:,M x t为某种材料物理参数。需要插值确定的材料物理参数有密度、渗透系数、体积模量及饱和度。2 数值算例数值算例 本文将通过典型的算例来验证所采用方法
25、的准确性和有效性,将计算结果与其他文献中的数值计算结果进行对比来评估本文所采用方法的精度和可靠性,数值算例包括均质梯形土坝、非均质矩形坝、河床下渗。2.1 均质土坝均质土坝 与文献27的均质梯形土坝的渗流自由面的计算结果做对比,验证本文方法的准确性。如图3所示,土坝坝顶高程20 m,坝顶宽度为7 m,坝基 面高程为0 m,上游坝坡坡度为11:2.5m,下游坝坡坡度为21:2.0m,上游水位高程为18 m,下 游无水。计算时,坝底设为不透水边界,其余边界为压力边界,顶部为压力参考边界,压力设为零,渗透系数取k=2.5610-6 m/s。生成了三种不同分辨率的网格来验证网格独立性,如图4所示,其中
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