传热学教案5.doc

第五章 对 流 换 热
1.重点内容：
  （1）对流换热及其影响因素；
  （2）牛顿冷却公式；
  （3）用分析方法求解对流换热问题的实质；
  （4）边界层概念及其应用；
  （5）相似原理；
  （6）无相变换热的表面传热系数及换热量的计算。
2.掌握内容：对流换热及其影响因素；用分析方法求解对流换热问题的实质。
3.了解内容：边界层积分方程的近似解法。
在绪论中已经指出，对流换热是发生在流体和与之接触的固体壁面之间的热量传递过程，是发生在流体中的热量传递过程的特例。对流换热以牛顿冷却公式为其基本计算式，即：
（5-1a）
或对于面积为的接触面：
（5-1b）
其中为换热面积上的平均温差。约定及总是取正值，因此及也总是取正值。ol
牛顿冷却公式只是表面传热系数的一个定义式，没有揭示出表面传热系数与影响它的有关物理量之间的内在联系。研究对流换热的任务就是要揭示这种内在的联系，确定计算表面传热系数的具体表达式。
由于流体系统中流体的运动，热量将主要以热传导和热对流的方式进行，这必然使热量传递过程比单纯的导热过程要复杂得多。 本章将在对换热过程进行一般性讨论的基础上，将质量守恒、动量守恒和能量守恒的基本定律应用于流体系统，导出支配流体速度场和温度场的场方程－对流换热微分方程组。 由于该方程组的复杂性，除少数简单的对流换热问题可以通过分析求解微分方程而得出相应的速度分布和温度分布之外，大多数对流换热问题的分析求解是十分困难的。因此，在对流换热的研究中常常采用实验研究的方法来解决复杂的对流换热问题。在这一章，将通过方程的无量纲化和实验研究方法的介绍而得到常用的准则及准则关系式。讨论的重点放在工程上常用的管内流动、平行流过平板以及绕流圆管的受迫对流换热，大空间和受限空间的自然对流换热。
5-1 对流换热概述
一.对流换热过程的影响因素
影响对流换热的因素不外是影响流动的因素及影响流体中热量传递的因素。具体为：
1.流体流动的起因
由于流动起因的不同，对流换热可以区别为强制对流换热与自然对流换热两大类。
（1）强制对流换热：有泵、风机或其他外部动力源的驱动。
（2）自然对流换热：通常是由流体内部的密度差所引起。
两种流动的成因不同，流体中的速度场也有差别，所以换热规律不一样。
2.流体有无相变
在流体没有相变时对流换热中的热量交换是由于流体显热的变化而实现，而在有相变的换热过程中(如沸腾或凝结)，流体相变热(潜热)的释放或吸收常常起主要作用，因而换热规律与无相变时不同。
3.流体的流动状态
流体力学的研究已经查明，粘性流体存在着两种不同的流态——层流及湍流。层流时流体微团沿着主流方向作有规则的分层流动，而湍流时流体各部分之间发生剧烈的混合，因而在其他条件相同时湍流换热的强度自然要较层流强烈。
4.换热表面的几何因素
这里的几何因素指的是换热表面的形状、大小、换热表面与流体运动方向的相对位置以及换热表面的状态(光滑或粗糙)。例如，图5-1（a）所示的管内强制对流流动与流体横掠圆管的强制对流流动是截然不同的。前一种是管内流动，属于所谓内部流动的范围；后—种是外掠物体流动，属于所谓外部流动的范围。这两种不同流动条件下的换热规律必然是不相同的。在自然对流领域里，不仅几何形状，几何布置对流动亦有决定性影响，例如图5-1（b）所示的水平壁，热面朝上散热的流动与热面朝下散热的流动就截然不同，它们的换热规律也是不一样的。
5.流体的物理性质
流体的热物理性质对于对流换热有很大的影响。以无相变的强制对流换热为例，流体的密度、动力粘度、导热系数以及比定压热容等都会影响流体中速度的分布及热量的传递，因而影响对流换热。内冷发电机的冷却介质从空气改成水可以提高发电机的出力，就是利用了水的热物理性质有利于强化对流换热这一事实。
由上述讨论可见，影响对流换热的因素很多，由于流动动力的不同、流动状态的区别、流体有否相变及换热表面几何形状的差别构成了多种类型的对流换热现象，因而表征对流换热强弱的表面传热系数是取决于多种因素的复杂函数；以单相强制对流换热为例，在把高速流动排除在外时，表面传热系数可表示为：
(5－2)
式中是换热表而的一个特征长度。
二.对流换热过程的分类
    由于对流换热是发生在流体和固体界面上的热交换过程，流体的流动和固体壁面的几何形状以及相互接触的方式都会不同程度影响对流热交换的效果，由此也构成了许许多多复杂的对流换热过程。因此，为了研究问题的条理性和系统性，以及更便于把握对流换热过程的实质，按不同的方式将对流换热过程进行分类。然后再分门别类地进行分析处理。
    在传热学中对流换热过程的习惯性分类方式是:
  按流体运动的起因，可分为自然对流换热和受迫对流换热；
  按流体与固体壁面的接触方式，可分为内部流动换热和外部流动换热；
  按流体的运动状态，可分为层流流动换热和紊流流动换热；
  按流体在换热中是否发生相变或存在多相的情况，可分为单相流体对流换热 和多相流体对流换热。
    紊流流动极为普遍，从自然现象看，收获季节的麦浪滚滚，旗帜在微风中轻轻飘扬，都是由空气的紊流引起的。紊流的运动服从某种统计规律，而不是杂乱无章。香烟的烟在静止的空气中上升，可以看到从层流到紊流的转化。紊流会消耗能量（同摩擦力消耗能量一样），没有紊流的世界是不可想象的。如果没有紊流，把酱油倒进汤里，花半小时酱油才能和汤混合，用汤匙一搅，依靠紊流几秒钟它们就混合在一起了。如果没有紊流的掺混，烟囱浓烟中的有害物质将长期积聚，危害人类环境。
    对于实际的对流换热过程的，按照上述的分类，总是可以将其归入相应的类型之中。例如，在外力推动下流体的管内流动换热是属于受迫内部流动换热，可以为层流亦可为紊流，也可以有相变发生，使之从单相流动变为多相流动；再如，竖直的热平板在空气中的冷却过程是属于外部自然对流换热（或称大空间自然对流换热），可以为层流亦可为紊流，在空气中冷却不可能有相变，应为单相流体换热；但是如果是在饱和水中则会发生沸腾换热，这就是带有相变的多相换热过程。
    在本章中，将按照上述分类对一些典型的对流换热过程进行分析。具体步骤为，先讨论单相流体受迫对流换热，其中分层流和紊流、管内流动和掠过平板或管子的外部流动，之后讨论大空间自然对流换热。
三.对流换热的研究方法
研究对流换热的方法，即获得表面传热系数的表达式的方法，大致有以下四种：(1)分析法；（2)实验法；(3)比拟法；(4)数值法。
1.分析法：主要是指对描写某一类对流换热问题的偏微分方程及相应的定解条件进行数学求解，从而获得速度场和温度场的分析解的方法。由于数学上的困难，虽然目前只能得到个别简单的对流换热问题的分析解，但分析解能深刻揭示各个物理量对表面传热系数的依变关系，而且是评价其他方法所得结果的标准与依据，因而本书将作适当介绍。
2.实验法：通过实验获得的表面传热系数的计算式仍是目前工程设计的主要依据，因此是初学者必须掌握的内容。为了减少实验次数，提高实验测定结果的通用性，传热学的实验测定应当在相似原理指导下进行。可以说，在相似原理指导下的实验研究是目前获得表面传热系数关系式的主要途径，也是本章的讨论重点。
3.比拟法：是指通过研究功量传递及热量传递的共性或类似特性，以建立起表面传热系数与阻力系数间的相互关系的方法。应用比拟法，可通过比较容易用实验测定的阻力系数来获得相应的表面传热系数的计算公式。在传热学发展的早期，这一方法曾广泛用来获得湍流换热的计算公式。随着实验测试技术及计算机技术的迅速发展，近年来这—方法已较少应用。但是，这一方法所依据的动量传递与热量传递在机理上的类似性，对理解与分析对流换热过程很有帮助，因而本章仍将作一定介绍。
4.数值法：对流换热的数值求解方法在近20年内得到了迅速发展，井将会日益显示出其重要的作用。与导热问题的数值求解方法相比，对流换热的数值求解增加了两个难点，即对流项的离散及动量方程中的压力梯度项的数值处理。这两个难点的解决要涉及到很多专门的数值方法，因而本章将不作介绍，有兴趣的读者可参考有关文献。但是对流换热中的一种常见情况——平直等截面管道中层流充分发展的对流换热，因其控制方程为导热型的方程，已可用读者现有的知识求解，所以将在本章的练习中有所涉及。
四.对流换热微分方程式
在分析解法及数值解法中，求解所得到的直接结果是流体中的温度分布。那么，如何从流体中的温度分布来进—步得到表面传热系数呢?下面我们来揭示表面传热系数与流体温度场之间的关系。
图5-3 壁面附近速度分布示意图
当粘性流体在壁面上流动时，由于粘性的作用，在靠近壁面的地方流速逐渐减小，而在贴壁处流体将被滞止而处于无滑移状态。换句话说，在贴壁处流体没有相对于壁面的流动，流体力学中称为贴壁处的无滑移边界条件。图5－3示意性地表示了这种近壁面处流速的变化。贴壁处这—极薄的流体层相对于壁面是不流动的，壁面与流体间的热量传递必须穿过这个流体层，而穿过不流动的流体层的热量传递方式只能是导热。因此，对流换热量就等于贴壁流体层的导热量。将傅里叶定律应用于贴壁流体层，可得：
（5-3）
式中：为贴壁处壁面法线方向上的流体温度变化率；为流体的导热系数；为换热面积。从过程的热平衡可知，这些通过壁面流体层传导的热流量最终是以对流换热的方式传递到流体中去的，将牛顿冷却公式（5-1a）与上式联立，即得以下关系式：
（5-4）
式（5-4）称为换热微分方程式，它给出了计算对流换热壁面上热流密度的公式，也确定了对流换热系数与流体温度场之间的关系。它清晰地告诉我们，要 求解一个对流换热问题，获得该问题的对流换热系数或交换的热流量，就必须首先获得流场的温度分布，即温度场，然后确定壁面上的温度梯度，最后计算出在参考温差下的对流换热系数。所以换热系数与流场的温度分布有关，因此，它与流速、流态、流动起因、换热面的几何因素、流体物性均有关。所以换热系数不是物性参数。对流换热问题犹如导热问题一样，寻找流体系统的温度场的支配方程，并力图求解方程而获得温度场是处理对流换热问题的主要工作。由于流体系统中流体的运动影响着流场的温度分布，因而流体系统的速度分布（速度场）也是要同时确定的，这也就是说，速度场的场方程也必须找出，并加以求解。不幸的是，对于较为复杂的对流换热问题，在建立了流场场方程之后，分析求解几乎是不可能的。此时，实验求解和数值求解是常常被采用的。尽管如此，实验关系式的形式及准则的确定还是建立在场方程的基础上的，数值求解的代数方程组也是从场方程或守恒定律推导得出的。
5-2 对流换热问题的数学描写
对流换热问题完整的数学描写包括对流换热微分方程组及定解条件，前者包括质量守恒、动量守恒及能量守恒这三大守恒定律的数学表达式。

为了简化分析，对于影响常见对流换热问题的主要因素，推导时作下列简化假设：(1)流动是二维的；(2)流体为不可压缩的牛顿型流体；(3)流体物性为常数、无内热源；(4)粘性耗散产生的耗散热可以忽略不计。除高速的气体流动及一部分化工用流体的对流换热外，对工程中常见的对流换热问题大都可以作上述假定。二维的假设仅是为了书写的简洁，从二维推广到三维是很方便的。
一.连续性方程
由质量守恒定律导出，对于不可压缩流体，从各方向流入、流出微元体的质流量的差值的总和应等于零。因为是二维问题，可以撇开方向，而只考虑图4-5所示的两个方向上的质流量的差值。如右图所示。
方向流入的质量流量：
方向流出的质量流量：
方向流入的质量流量：
方向流出的质量流量：
根据质量守恒，各方向质流量差值的总和等于零。于是得：

考虑到常物性，上式化为：
这就是二维常物性不可压缩流体的连续性方程。
二.动量微分方程
由动量定理导出，对于如下图所示流动流体的微元体，动量守恒可表示如下：作用于微元体表面和内部的所有外力的总和，等于微元体中流体动量的变化率。也即：质量×加速度＝作用力。
1.微元体的质量×加速度
微元体的质量×加速度为：
方向：
方向：
2.微元体所受的外力

微元体所受的外力，可分为体积力和表面力两类，令、分别表示单位体积的体积力在、方向的分量，则、方向的体积力为：
方向：
方向：
表面力有垂直于表面的法向应力，以及速度变化时由粘性引起的切向应力，如右图所示，微元体在和方向的表面力为：

微元体的表面力用、、等表示时有以下形式：

3.动量微分方程
和方向上动量定理的表达式可表示为：

三.能量微分方程

是描述流动流体的温度与有关物理量的联系。在解得速度场后，它是求取流体温度场的基本微分方程，是根据能量守恒定律得出的。
以右图所示微元体为研究对象，对于二维问题，根据热力学第一定律，有：由导热进入微元体的热量＋由对流进入微元体的热量＝微元体中流体的焓增。
由导热微分方程的推导可知，由对流进入微元体的热量的分析可参看右图，在时间内，由处的截面进入微元体的热量为：

由处的截面流出微元体的热量为：

则方向流入微元体的净热量为：

同理，方向流入微元体的净热量为：

所以由对流进入微元体的热量为：

在时间内，微元体中流体温度改变了，其焓增为：

将、及代入能量守恒方程得：

上式即为对流换热能量方程，可以指出，流体不流动时，，上式退化为无内热源的导热微分方程。能量方程中包括对流项，这对于理解对流换热是对流与导热两种基本热量传递方式的联合作用是有意义的。流动着的流体，除了有导热的本领之外，还依靠流体的宏观位移来传递热量。
四.对流换热微分方程组
1. 对流换热微分方程组
至此，可以把描写对流换热的完整微分方程组作一汇总。对于不可压缩、常物性、无内热源的二维问题，这一微分方程组为：
质量守恒方程：
（5-7）
动量守恒方程：
（5-8）
（5-9）
能量守恒方程：
（5-10）
其中、是体积力在、方向的分量。动量守恒方程式（5-8）、（5-9）又称纳维－斯托克斯方程，质量守恒方程式（5-7）又称连续性方程，它们是描写粘性流体流动过程的控制方程，对于不可压缩粘性流体的层流及湍流流动都适用。用于湍流时，式中的速度、压力等均为脉动物理量的瞬时值。
2.对流换热的定解条件
作为对流换热问题完整的数学描写还应该对定解条件作出规定，包括初始时刻的条件及边界上与速度、压力及温度等有关的条件。以能量守恒方程为例，可以规定边界上流体的温度分布(第一类边界条件)，或给定边界上加热或冷却流体的热流密度(第二类边界条件)。由于获得表面传热系数是求解对流换热问题的最终目的，因此一般地说求解对流换热问题时没有第三类边界条件。但是，如果流体通过一层薄壁与另—种流体发生热交换，则另一种流体的表面传热系数可以出现在所求解问题的边界条件中。对流换热问题的定解条件的数学表达比较复，这里不再深入讨论。但对于对流换热问题的—种简化情形—外掠平板的边界层流动，将给出其定解条件的表达式作为示例。
3.对流换热微分方程组的求解
式(5－7)～(5－10)共4个方程，其中包含了4个未知数。虽然方程组是封闭的，原则上可以求解，然而由于纳维—斯托克斯方程的复杂性和非线性的特点，要针对实际问题在整个流场内数学上求解上述方程组却是非常困难的。这种局面直到1904年德国科学家普朗特)提出著名的边界层概念，并用它对纳维—斯托克期方程进行了实质性的简化后才有突破，使数学分析解得到很大发展。后来，波尔豪森又把边界层概念推广应用于对流换热问题，提出了热边界层的概念，使对流换热问题的分析求解也得到了很大发展。下—节首先复习边界层的概念，并把它应用于能量微分方程，从而导出边界层问题的对流换热微分方程组。
5-3 对流换热的边界层微分方程组
一、边界层的概念
边界层的概念是1914年普朗特提出的。
1. 速度边界层
（1）定义
流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流体粘性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁面处的零速度逐步变化到来流速度，如图5－5所示。流体流速变化的剧烈程度，即该方向上的速度梯度，与流体的粘性力和速度的大小密切相关。普朗特通过观察发现，对于低粘度的流体，如水和空气等，在以较大的流速流过固体壁面时，在壁面上流体速度发生显著变化的流体层是非常薄的。因而把在垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体薄层定义为速度边界层，而把边界层外流体速度变化比较小的流体流场视为势流流动区域。这样，引入边界层的概念之后，流体流过固体壁面的流场就人为地分成两个不同的区域，其一是边界层流动区，这里流体的粘性力与流体的惯性力共同作用，引起流体速度发生显著变化；其二是势流区，这里流体粘性力的作用非常微弱，可视为无粘性的理想流体流动，也就是势流流动。
（2）边界层厚度
边界层是壁面上方流速发生显著变化的薄层，但其边缘所在的位置是模糊图5-5 边界层示意图
的。在实际分析边界层问题时通常约定，当速度变化达到主流速度99％的空间位置为速度边界层的外边缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度，记为。随着流体流动沿方向（主流方向）向前推进，边界层的厚度会逐步增大。流动边界层薄到什么程度呢？以温度为20℃的空气沿平板的流动为例，在不同来流速度下，沿平板长度的变化示于图5-6。由图可见，相对于平板长度，是一个比小一个数量级以上的小量。而在这样小的薄层内，流体的速度要从0变化到接近于主流流速，所以流体在垂直于主流方向上的速度变化是十分剧烈的。
图5-6 空气沿平板流动时边界层增厚的情况
从此式我们不难发现，要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度（即 ），也就是所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够的大（ ）。因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。
（3）流体外掠平板边界层的形成和发展
在5-1节中已指出，流体的流动可区别为层流和湍流两类。流动边界层在壁面上的发展过程也显示出，在边界层内也会出现层流和湍流两类状态不同的流动。图5-7示出了流体掠过平板时边界层的发展过程。流体以的流速沿平板流动。在平板的起始段，很薄。随着的增加，由于壁面粘滞力的影响逐渐向流体内部传递，边界层逐渐增厚，但在某一距离以前会一直保持层流的性质。此时流体作有秩序的分层流动，各层互不干扰。这时的边界层称层流边界层。沿流动方向随着边界层厚度的增加，边界层内部粘滞力和惯性力的对比向着惯性力相对强大的方向变化，促使边界层内的流动变得不稳定起来。自距前缘处起，流动朝着湍流过渡，最终过渡为旺盛湍流。此时流体质点在沿方向流动的同时，又作着紊乱的不规则脉动，故称湍流边界层。边界层开始从层流向湍流过渡的距离由临界雷诺数确定。对掠过平板的流动，根据来流湍流度的不同而在到之间。来流扰动强烈、壁面粗糙时，雷诺数甚至在低于下限值时即发生转变。在一般情况下．可取。
已经查明，湍流边界层的主体核心虽处于湍流流动状态，但紧靠壁面处粘滞力仍占主导地位，致使贴附于壁面的—极薄层内仍保持层流的性质。这个极薄层称为湍流边界层的层流底层(又称粘性底层)。在湍流核心与层流底层之间存在着起过渡性质的缓冲层(图5－7只着重勾划出层流底层)。
图5－7给出了边界层内的速度分布曲线，它们与流动状态相对应。层流边界层的速度分布为抛物线状。在湍流边界层中，层流底层的速度梯度较大，近于直线，而在湍流核心，质点的脉动强化了动量传递，速度变化较为平缓。
（4）边界层理论的四个基本要点
综合以上讨论，可以总结出边界层理论的四个基本要点：
①当粘性流体沿固体表面流动时，流场可划分为主流区和边界层区。边界层区域内，流速在垂直于壁面的方向上发生剧烈的变化，而在主流区流体的速度梯度几乎等于零。
②边界层厚度与壁面尺寸相比是个很小的量，远不只小一个数量级。
③主流区的流动可视为理想流体的流动，用描述理想流体的运动微分方程求解。而在边界层内应考虑粘性的影响，要用粘性流体的边界层微分方程描述，其特点是主流方向流速的二阶导数项略而不计。
④在边界层内流动状态分层流与湍流，而湍流边界层内紧靠壁面处仍有极薄层保持层流状态，称层流底层。
这里应指出，边界层类型的流动仅当流体不脱离固体表面时才存在。对于图5－5(b)所示的在圆柱后半周出现的脱体流动(流体离开固体表面而形成旋涡)，边界层的概念不再适用，应当采用完全的纳维—斯托克斯方程来描述。
2. 热（温度）边界层。
（1）定义
图5-8 四度边界层与温度边界层
当流体流过平板而平板的温度与来流流体的温度不相等时，对于上述的低粘性流体，如果流体的热扩散系数也很小，在壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层。
（2）热边界层厚度
仿照速度边界层的约定规则，当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的0.99倍时，此位置就是边界层的外边缘，而该点到壁面之间的距离则是热边界层厚度,记为 。如果整个平板都保持温度，那么，时，，且随着值的增大逐步增厚。在同一位置上热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小与流体的普朗特数有关，也就是与流体的热扩散特性和动量扩散特性的相对大小有关。
除液态金属及高粘性的流体外，热边界层的厚度在数量级上是个与运动边界层厚度相当的小量。于是对流换热问题的温度场也可区分为两个区域：热边界层区与主流区。在主流区，流体中的温度变化率可视为零，这样就可把要研究的热量传递的区域集中到热边界层之内。图5－8示意性地面出了固体表面附近速度边界层及温度边界层的大致情况。
二、边界层微分方程组
利用上述的边界层的概念，可以应用数量级分析的方法对流体流过平板的对流换热微分方程组进行相应的简化。
1.数量级分析法
所谓数量级分析，是指通过比较方程式中各项数量级的相对大小，把数量级较大的项保留下来，而舍去数量级较小的项，实现方程式的合理简化。数量级分析法在工程问题分析中具有广泛的实用意义。至于怎样确定各项的数量级，可视分析问题的性质而不同。这里采用各量在作用区间的积分平均绝对值的确定方法。例如，在速度边界层内，从壁面到处，主流方向流速的积分平均绝对值显然远远大于垂直主流方向的流速的积分平均绝对值。因而，如果把边界层内的数量级定为1，则的数量级必定是个小量，用符号表示。采用这样的方法可以对能量守恒方程中有关量的数量级作出如表5－1的分析。至于导数的数量级则可将因变量及自变量的数量级代入导数的表达式而得出。例如的数量级为，而的数量级则为。于是边界层中二维稳态且忽略重力情况下方程组的各项数量级可分析如下：
连续性方程：
数量级：

动量守恒方程：
方向：
数量级：

方向：
数量级：

能量守恒方程：
数量级：

2.边界层换热微分方程组
从以上对连续性方程、动量守恒方程及能量守恒方程的数量级分析可见，连续性方程中各项数量级相同，均保留；动量守恒方程中方向的数量级较方向小得多，因此方向的动量守恒方程在方程组中可去除，而方向的动量守恒方程中可舍去；能量守恒方程中可舍去，因此可得二维、稳态、无内热源的边界层换热微分方程组为：
连续性方程： （5-14）
动量守恒方程： （5-15）
能量守恒方程： （5-16）
注意：式（5-15）中的是已知量，它可由边界层外理想流体的伯努利方程确定。这样，3个方程包括3个未知数、及，方程组是封闭的。
3.边界条件
对上述微分方程组配上定解条件即可求解。对于主流场是均速、均温，并给定恒壁温，即时的问题，定解条件可表示为：
时
时
4.流体外掠平板方程组的解
对于平板，，而，则，分析求解上述方程组可得局部表面传热系数的表达式如下：
（5-17）
三、速度边界层厚度与热边界层厚的关系
现在，来分析热边层厚度与流动边界层厚度之间的关系。为此，考虑一个掠过平板的强制对流换热问题。在这类强制对流中，重力场可忽略不计，且压力梯度为零，于是式（5－15）简化为：
（5－18）
将此式与边界层能量微分方程式（5－16）相比较，发现它们在形式上是完全类似的。只要，且与具有相同的边界条件，例如时，（并不影响讨论），及时，，则式（5－16）与式（5－18）有相同形式的无量纲形式的解，即与的分布完全相同。换句话说，当时，如果热边界层的厚度的定义与流动边界层厚度的定义相同（例如均取来流值的99％的位置作为边界层的外边界），则有。可见比值可以表征热边界层与流动边界层的相对厚度。称为普朗特数，记为，它反映了流体中动量扩散与热扩散能力的对比。除液态金属的数为0.01的数量级外，常用流体的数在0.6～4000之间，例如各种气体的数大致在0.6～0.7之间。流体的运动粘度反映了流体中由于分子运动而扩散动量的能力。这一能力越大，粘性的影响传递得越远，因面流动边界层越厚。可以对热扩散率作出类似的讨论。因而与的比值，即数，反映了流动边界层与热边界层厚度的相对大小。在液态金属中，流动边界层厚度远小于热边界层厚度；对空气，两者大致相等，如上图所示；而对高数的油类（在102～103的量级)，则速度边界层的厚度远大于热边界层的厚度。
最后，把式（5-17）改写为：

式中：是数；是以当地坐标为特征长度的数，记为。它们都是无量纲量，因此也必为无量纲量，称为努塞尔（Nusselt）数，记为,下标表示以当地几何尺度为特征长度。于是，外掠等温平板的无内热源的层流对流换热问题的分析解为:
(5-19)
这种以特征数形式表示的对流换热计算式称为特征数方程，习惯上称准则方程或关联式。获得不同换热条件下的特征数方程是研究对流换热的根本任务。下一节将简要介绍通过求解边界层积分方程组及应用比拟理论获得这种特征数方程的方法。
5-4 边界层积分方程组及其求解
边界层微分方程组虽然已经对完全的对流换热微分方程组作了简化，但在分析求解过程中仍然有不少数学上处理的复杂性。1921年，冯·卡门在边界层微分方程的基础上提出了求解流动问题的边界层动量积分方程。1936年克鲁齐林求解了边界层能量积分方程，并形成了一套用边界层积分方程求解对流换热问题的方法。由于在这种解法中需要对边界层中的速度分布及温度分布作出假设，因此所得到的解称为近似解，但其数学处理的方法要比边界层微分方程的求解容易得多，因而具有一定的工程实用价值。下面，首先概括用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想，然后以流体外掠等温平板的边界层对流换热为例，导出层流边界层积分方程并结出求解的结果。
用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想可归纳如下：
(1)不要求守恒定律对边界层中每一个微元体都成立，而只是对包括固体边界及边界层外边界在内的有限大小的控制客积建立起动量守恒及能量守恒的表达式，即边界层积分方程。
(2)对边界层中的速度分布及温度分布的函数形式作出假设，在这些函数形式中应包含有未知的、及一些待定常数。常用的函数形式为多项式。
(3)利用边界上的条件（即及或处的条件)确定待定常数，然后将所假设的分布代人积分方程，解出及的计算公式。
(4)据已求得的速度分布及温度分布计算固体边界上的速度变化率及温度变化率，然后按定义推出阻力系数及数的表达式。
关于边界层积分方程的推导，可以通过对有限大小的控制容积建立动量或热量的平衡，也可以通过对边界层微分方程积分来进行。教材中用积分方法来导出边界层能量积分方程，在此用对有限大小控制容积建立动量或热量平衡的方法。
一、 边界层动量积分方程

    边界层动量积分方程是把动量定律应用于一个控制容积导出的。取常物性、不可压缩流体的二维稳态强制对流为对象作分析。在流体中划出一个如上图所示的控制容积，它包括一段边界层，而方向为单位长度。控制容积左侧面为ab，右侧面为cd，顶面为bd，底面为壁面的ac部分，即取ac为。在方向取微元。由于在边界层内方向上的流速很小，因此推导中只考虑方向上的动量变化，不引入流速。上图给出了速度的分布曲线。 在距壁面处流速为，在处。
先计算单位时间内出入控制容积的动量之差。为此计算以下各项：
（1）穿过控制面ab进入微元的质量流量为：，进入微元的动量为，将进入微元的动量在区间进行积分，则得穿过控制面ab进入控制容积的动量为：

而同时穿过cd面流出的动量为ab进入动量的基础上加上微元增量，为：

净流出的动量为：
（a）
（2）没有流体穿过固体表面ac。但有流体质点穿过bd面。根据质量守恒，穿过bd面流入控制容积的质量流量等于流出cd面与流入ab面的质量流量之差。 流入ab面的质量流量为，流出cd面的质量流量。于是穿过bd面流入控制容积的质量流量为：

相应带入控制体的动量（略去沿变化引入的高阶导数项）为：
（b）
根据动量定律，在方向上的动量变化必须等于方向上作用在控制体表面上外力的代数和。作用在控制体表面上方向上的外力，有作用于ac面上的切应力以及ab和cd两面压力之差：

于是动量定律可表达为：
（c）
由于存在以下关系：
（d）
于是式（c）可改写成为：

重新组合可得：
（e）
由伯努利方程知：

代入(e)式，得

根据边界层理论，在边界层外的主流区。改写上式积分上限得:
（1）
    这就是冯卡门在1921年导出的边界层动量积分方程。由积分方程求出的分析解称为近似解，以区别于微分方程的精确解。
二、边界层能量积分方程
把能量守恒定律应用于控制容积可推导出边界层能量积分方程。在方向上取微元，方向上大于流动边界层即热边界层厚度，而方向上为单位长度的一个控制容积，如右图所示。
在常物性、流速不致引起耗散热的条件下，考察控制容积的能量守恒。在边界层数量级分析中已经得出结论：，故推导中仅考虑方向上的导热。下面计算穿过控制容积各个面的热量。
单位时间内穿过ab面进入控制容积的热量为：
（f）
单位时间内穿过cd面带出控制容积的热量为：
(g)
单位时间内穿过bd面进入控制容积的质量流量为

由它带入控制容积的热量为：
（h）
穿过ac面，因贴壁流体层导热带出控制容积的热量为
(i)
在稳态条件下，根据能量守恒进入与带出控制容积的热量相等，于是可得：

整理后得：

因为在热边界层以外，上式积分上限可改为，得
（2）
    这就是边界层能量积分方程。它与边界层动量积分方程一起组成对流换热边界层积分方程组。1936年，克鲁齐林用积分方程组求解对流换热，得到了满意的结果。
三、边界层积分方程组求解示例
    作为边界层积分方程组求解的示例，仍以稳态、常物性流体强制掠过平板层流时的换热作为讨论对象。壁面具有定壁温的边界条件。在常物性条件下，动量积分方程不受温度场的影响，可先单独求解，解出层流边界层厚度及摩擦系数，然后求解能量积分方程，解出热边界层厚度及换热系数。
1.求解流动边界层厚度及摩擦系数
在本问题中，为常数，动量积分方程式（1）左边的第二项为0。再引入，式（1）可改写成为：
（3）
    为求解上式，还需补充边界层速度分布函数。选用以下有4个任意常数的多项式作为速度分布的表达式：

式中4个待定常数由边界条件及边界层特性的推论确定，即：
时且
时且
由此求得4个待定常数为：

于是速度分布表达式为：
（4）
从上式求得并代入切应力的定义式得：
（5）
将式（4）（5）代入（3），积分得
(j)
分离变量，并注意到时，可得：

积分，得：
（6）
其无量纲表达式为：
（7）
其中, 其特性尺度为离平板前缘的距离。
将式（6）代入式（5）可得在处的壁面局部切应力：
（8）
在工程计算中常使用局部切应力与流体动压头之比，称为摩擦系数，亦称范宁摩擦系数，其表达式为：
（9）
    求解动量微分方程可以获得、的精确解：， 。可见，与微分方程的精确解相比，由积分方程得到的、只在常数值上略有差别。
2.求解热边界层厚度及换热系数
先求解热边界层厚度。为从式（2）求解热边界层厚度，除已由式（4）确定外，还需要补充热边界层内的温度分布函数。对此，亦选用带4个常数的多项式：

式中，4个待定常数由边界条件及热边界层特性的推论确定，即：
时且
时且
由此求得4个待定常数为：

若用以为基准点的过余温度来表达，则温度分布表达式为：
（10）
能量积分方程式（2）用过余温度表示为：
（11）
    进一步求解中，令热边界层厚度与流动边界层厚度之比，并假定。这个假定对的流体显然是适用的。
用速度分布式（3）及温度分布式（10）分别求得式（11）左方积分部分及右方的如下：

（k）
(l)
因为，包含的高次方项相对于包含的项可略去不计。把上列关系式代入（11）整理后得：

可改写成：

将式（5）的及式（j）的关系代入，整理后得：
（m）
令，上式可改写成:

此微分方程的通解为: