高三理科数学培养讲义：第2部分-专题4-第7讲-空间几何体的三视图、表面积和体积.doc

第7讲　空间几何体的三视图、表面积和体积
高考统计·定方向
热点题型
真题统计
命题规律
题型1：空间几何体的三视图与表面积或体积
2018全国卷ⅡT16；2017全国卷ⅠT7；
2017全国卷ⅡT4；2016全国卷ⅠT6；
2016全国卷ⅡT6；2016全国卷ⅢT9；
2015全国卷ⅠT6，T11；2015全国卷ⅡT6；
2014全国卷ⅠT12
分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：
1.以组合体的三视图为背景，考查空间几何体表面积、体积的计算，难度中档较低；
2.对于球与几何体的切接问题、最值问题，难度稍大，重在转化，考查学生的空间想象及等价转化能力.
题型2：球与几何体的切接问题
2017全国卷ⅢT8；2016全国卷ⅢT10；2015全国卷ⅡT9；
题型3：几何体的表面积和体积的最值问题
2018全国卷ⅢT10；2017全国卷ⅠT16

题型1　空间几何体的三视图与表面积或体积
■核心知识储备·
1．画几何体的三视图应遵循：“长对正、高平齐、宽相等”．
2．柱体、锥体、台体的侧面积公式
(1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；
(2)S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；
(3)S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上、下底面的周长，h′为斜高)．
3．柱体、锥体、台体的体积公式
(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
(2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
(3)V台＝(S＋＋S′)h(不要求记忆)．
4．球体的体积、表面积公式
V＝πR3；S＝4πR2(其中R为球的半径)．
■高考考法示例·
【例1】　(1)(2018·洛阳二模)某几何体的三视图如图2­4­1所示，则其表面积为(　　)

图2­4­1
A．　　　B．9π　　　C．　　　D．10π
(2)若正三棱锥A­BCD中，AB⊥AC，且BC＝1，则三棱锥A­BCD的高为(　　)
A． B． C． D．
(1)B　(2)A　[(1)由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1.
所以几何体的表面积为π×12＋2π×1×3＋4π×12×＋π×12＋π×12＝9π，故选B．
(2)设三棱锥A­BCD的高为h.依题意得AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝AD＝BC＝，△BCD的面积为×12＝.由VA­BCD＝VB­ACD得S△BCD·h＝S△ACD·AB，即××h＝×××，解得h＝，即三棱锥A­BCD的高h＝.]
[方法归纳]
1．在长方体或正方体中根据三视图还原几何体的直观图，能快速确定几何体中线面位置关系．
2．空间几何体的体积与表面积求法
(1)割补法：求不规则几何体的体积或表面积时，通过割补转化成规则几何体求解．
(2)等积变换：涉及三棱锥的体积，注意灵活选择底面和对应的高．
■对点即时训练·
1. (2018·太原模拟)如图2­4­2，已知在多面体ABC­DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为(　　)

图2­4­2
A．2 　　　　B．4 C．6 　　　　D．8
B　[过点C作CM∥AB，过点B作BM∥AC，且BM∩CM＝M，取DG的中点N，连接FM，FN，CN，CF，如图所示．易知ABMC­DEFN是长方体，且三棱锥F­BCM与三棱锥C­FGN的体积相等，故几何体的体积等于长方体的体积4.故选B．]
2．(2018·安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图2­4­3所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为(　　)

图2­4­3
A．4π＋16＋4 B．5π＋16＋4
C．4π＋16＋2 D．5π＋16＋2
D　[由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2＝16，两个底面面积之和为2××2×＝2，半圆柱的侧面积为π×4＝4π，两个底面面积之和为2××π×12＝π，所以几何体的表面积为5π＋16＋2，故选D．]
题型2　球与几何体的切接问题
■核心知识储备·
球的切、接问题的常用结论
(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即＝2R.
(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a＝2R.
(3)棱长为a的正方体的面对角线长等于与棱内切球的直径，即a＝2R.
(4)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2＝＋x2.
■高考考法示例·
【例2】　(1)已知在三棱锥S­ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1.则该三棱锥的外接球的体积为(　　)
A．π　　　 B．13π
C．π D．π
(2)《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)．在如图2­4­4所示的堑堵ABC­A1B1C1中，AA1＝AC＝5，AB＝3，BC＝4，则阳马C1­ABB1A1的外接球的表面积是(　　)

图2­4­4
A．25π B．50π C．100π D．200π
(1)D　(2)B　[(1)∵∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，

∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，其外接圆半径r＝＝，则三棱锥外接球即为以△ABC为底面，以SA为高的三棱柱的外接球，∴三棱锥外接球的半径R满足R＝＝，
故三棱锥外接球的体积V＝πR3＝π.故选D．
(2)以BC，BA，BB1为边，将图形补形为长方体(图略)，长方体外接球即阳马的外接球，长方体的对角线为球的直径，即(2R)2＝32＋42＋52＝50，故球的表面积为4πR2＝50π.选B．]
[方法归纳]　
1．多面体与球接、切问题求解策略
(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．如本例(1)及对点即时训练(1)．
(2)补形法：“补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．如本例(2)．
2．三棱锥P­ABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形
(1)点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A，B，C可作为下底面的三个顶点．
(2)P­ABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．
■对点即时训练·
1. (2018·保定模拟)如图2­4­5，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为8 cm，底面边长为12 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为(　　)

图2­4­5
A．36π cm2
B．64π cm2
C．80π cm2
D．100π cm2
B　[根据题意，球的截面圆是边长为12的正三角形的内切圆，易知内切圆的半径为2，∵球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，∴d＝8－6＝2(cm)，设球的半径为R cm，则R2＝(R－2)2＋(2)2，解得R＝4，则球的表面积为4πR2＝64π(cm2)．故选B．]
2．已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为________．
π　[由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示．

AE＝AB·sin 60°＝，
AO＝AE＝，
DO＝＝，
三棱锥的体积VD­ABC＝S△ABC·DO＝，
设内切球的半径为r，则
VD­ABC＝r(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD)＝，r＝，V内切球＝πr3＝π.]
题型3　几何体的表面积和体积的最值问题
与空间几何体有关的最值问题是近几年高考的热点之一，其中与球切、接有关的几何体的最值问题常常涉及体积、截面面积的最值，重在考察学生的空间想象能力；而几何体体积的最值问题常常与图形折叠、展开等知识相交汇，重在考察学生的空间想象及数学建模能力．
■高考考法示例·
►角度一　与球切、接有关的几何体的最值问题
【例3－1】　(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)
A．4π　　　B．　　　C．6π　　　D．
[思路点拨]　
B　[由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R.因为△ABC的内切圆半径为＝2，所以R≤2.又2R≤3，所以R≤，所以Vmax＝π＝π.
故选B．]
►角度二　与空间几何体体积有关的最值问题
【例3－2】　(1)(2018·郴州质量检测)三棱锥A­BCD的一条棱长为m，其余棱长均为2，当三棱锥A­BCD的体积最大时， 它的外接球的表面积为(　　)
A．　　 B．
C． D．
(2) (2017·全国卷Ⅰ)如图2­4­6，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．

图2­4­6
(1)B　(2) 4 cm3　[(1)由题意画出三棱锥的图形，

其中AB＝BC＝CD＝BD＝AC＝2，AD＝m.
取BC，AD的中点分别为E，F，可知AE⊥BC，DE⊥BC，
且AE∩DE＝E，∴BC⊥平面AED，
∴平面ABC⊥平面BCD时，三棱锥A­BCD的体积最大，
此时AD＝m＝AE＝×＝.
设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，由球体的对称性知，球心O在线段EF上，
∴OA＝OC＝R，又EF＝＝＝，设OF＝x，OE＝－x，∴R2＝＋x2＝＋1，
解得x＝.∴球的半径R满足R2＝，
∴三棱锥外接球的表面积为4πR2＝4π×＝，故选B．
(2)如图，连接OD，交BC于点G，

由题意，知OD⊥BC，OG＝BC．
设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5－x，
三棱锥的高h＝＝＝，
S△ABC＝×2x×3x＝3x2，则三棱锥的体积V＝S△ABC·h＝x2·＝·.
令f(x)＝25x4－10x5，x∈，则f′(x)＝100x3－50x4.
令f′(x)＝0得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝2时，f(x)取得最大值80，
则V≤×＝4.
∴三棱锥体积的最大值为4 cm3.]
[方法归纳]　解答立体几何最值问题的三种思考方向
(1)根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；
(2)将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；
(3)建立函数，通过求函数的最值来求解.

■对点即时训练·
1．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D­ABC体积的最大值为(　　)
A．12 B．18
C．24 D．54
B　[设等边三角形ABC的边长为x，则x2sin 60°＝9，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝，解得r＝2，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值Vmax＝S△ABC×6＝×9×6＝18.]
2．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E为棱A1B1中点，P、Q分别为棱AD，DC上的动点，则四面体PEA1Q体积的最大值为________．
　[∵正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E为棱A1B1中点，P、Q分别为棱AD，DC上的动点，Q到直线A1E的距离为定值2，

∴S＝×1×2＝，
∴d＝AD1＝×2＝，
∴四面体PEA1Q体积的最大值为××＝.]

[高考真题]
1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图2­4­7.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)

图2­4­7
A．2　　B．2 C．3 D．2
B　[由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为＝＝2.故选B．
]
图(1)　　　　　　　图(2)
2.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图2­4­8所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)

图2­4­8
A．10　　　B．12 C．14 D．16
B　[观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2××(2＋4)×2＝12.
故选B．]
3．(2016·全国卷Ⅰ)如图2­4­9，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)

图2­4­9
A．17π B．18π C．20π D．28π
A　[由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图．设球的半径为R，则πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面积为×4πR2＋πR2＝17π.故选A．]
[最新模拟]
4．(2018·吉安一中等八所重点中学联考)如图2­4­10，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为(　　)

图2­4­10
A．4 B．3 C．2 D．2
D　[如图所示，由三视图可知该几何体为四棱锥A­BCDE.

其中，AC⊥平面BCDE，AC＝CD＝DE＝2，CB＝1.
∴AB＝＝，BE＝＝，AD＝＝2，
则AE＝＝2.
∴该几何体最长棱的长度为2，故选D．]
5．(2018·百校联盟TOP20高三联考)我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：有粟米250斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的谷堆，其底面周长为54尺，则圆锥形的高约为多少尺？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3)
若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为(　　)
A．5尺 B．9尺 C．10.6尺 D．21.2尺
D　[因为250斛＝250×1.62立方尺，设圆锥形的高为h尺，底面半径为r尺，则2πr＝54，∴r＝9，因此250×1.62
＝×3×92×h，h＝5，设球的半径为R，则R2＝92＋(5－R)2，可得R＝10.6(尺)，∴2R＝21.2(尺)，故选D．]
6．(2018·唐山市模拟)在四棱锥S­ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，SD＝AD＝2，三棱柱MNP­M1N1P1的顶点都位于四棱锥S­ABCD的棱上，已知M，N，P分别是棱AB，AD，AS的中点，则三棱柱MNP­M1N1P1的体积为________．
1　[由题得M1是BC中点，N1是DC中点，P1是SC中点，PN＝1，MN＝，且PN⊥MN，所以三棱柱MNP­M1N1P1的底面积为×1×＝.
由题得正方形的对角线长2，三棱柱MNP­M1N1P1的高为×2＝，
所以三棱柱MNP­M1N1P1的体积为×＝1.]

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