高三理科数学培养讲义:第2部分-专题4-第7讲-空间几何体的三视图、表面积和体积.doc
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1、第7讲空间几何体的三视图、表面积和体积高考统计定方向热点题型真题统计命题规律题型1:空间几何体的三视图与表面积或体积2018全国卷T16;2017全国卷T7;2017全国卷T4;2016全国卷T6;2016全国卷T6;2016全国卷T9;2015全国卷T6,T11;2015全国卷T6;2014全国卷T12分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律:1.以组合体的三视图为背景,考查空间几何体表面积、体积的计算,难度中档较低;2.对于球与几何体的切接问题、最值问题,难度稍大,重在转化,考查学生的空间想象及等价转化能力.题型2:球与几何体的切接问题2017全国卷T8;2016全国卷T10;2015全国卷
2、T9;题型3:几何体的表面积和体积的最值问题2018全国卷T10;2017全国卷T16题型1空间几何体的三视图与表面积或体积核心知识储备1画几何体的三视图应遵循:“长对正、高平齐、宽相等”2柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S柱侧ch(c为底面周长,h为高);(2)S锥侧ch(c为底面周长,h为斜高);(3)S台侧(cc)h(c,c分别为上、下底面的周长,h为斜高)3柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体Sh(S为底面面积,h为高);(2)V锥体Sh(S为底面面积,h为高);(3)V台(SS)h(不要求记忆)4球体的体积、表面积公式VR3;S4R2(其中R为球的半径)高考考法示例【例1】(1)
3、(2018洛阳二模)某几何体的三视图如图241所示,则其表面积为()图241AB9CD10(2)若正三棱锥ABCD中,ABAC,且BC1,则三棱锥ABCD的高为()A B C D(1)B(2)A(1)由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体圆柱的底面半径为1,高为3,球的半径为1.所以几何体的表面积为1221341212129,故选B(2)设三棱锥ABCD的高为h.依题意得AB,AC,AD两两垂直,且ABACADBC,BCD的面积为12.由VABCDVBACD得SBCDhSACDAB,即h,解得h,即三棱锥ABCD的高h.方法归纳1在长方体或正方体中根据三视图还原几何体的直观图,能快速确定几何体中
4、线面位置关系2空间几何体的体积与表面积求法(1)割补法:求不规则几何体的体积或表面积时,通过割补转化成规则几何体求解(2)等积变换:涉及三棱锥的体积,注意灵活选择底面和对应的高对点即时训练1. (2018太原模拟)如图242,已知在多面体ABCDEFG中,AB,AC,AD两两互相垂直,平面ABC平面DEFG,平面BEF平面ADGC,ABADDG2,ACEF1,则该多面体的体积为()图242A2 B4 C6 D8B过点C作CMAB,过点B作BMAC,且BMCMM,取DG的中点N,连接FM,FN,CN,CF,如图所示易知ABMCDEFN是长方体,且三棱锥FBCM与三棱锥CFGN的体积相等,故几何体
5、的体积等于长方体的体积4.故选B2(2018安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图243所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为()图243A4164 B5164C4162 D5162D由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个侧面面积之和为24216,两个底面面积之和为222,半圆柱的侧面积为44,两个底面面积之和为212,所以几何体的表面积为5162,故选D题型2球与几何体的切接问题核心知识储备球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a,b,c的长方体的体对角线长等于外接球的直径,即2R.(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径
6、,即a2R.(3)棱长为a的正方体的面对角线长等于与棱内切球的直径,即a2R.(4)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h,底面外接圆半径为x,则该几何体外接球半径R满足R2x2.高考考法示例【例2】(1)已知在三棱锥SABC中,SA平面ABC,且ACB30,AC2AB2,SA1.则该三棱锥的外接球的体积为()AB13C D(2)九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓,例如:将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开,得到一个阳马(底面是长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)在如图244所示的堑堵ABCA1B1C
7、1中,AA1AC5,AB3,BC4,则阳马C1ABB1A1的外接球的表面积是()图244A25 B50 C100 D200(1)D(2)B(1)ACB30,AC2AB2,ABC是以AC为斜边的直角三角形,其外接圆半径r,则三棱锥外接球即为以ABC为底面,以SA为高的三棱柱的外接球,三棱锥外接球的半径R满足R,故三棱锥外接球的体积VR3.故选D(2)以BC,BA,BB1为边,将图形补形为长方体(图略),长方体外接球即阳马的外接球,长方体的对角线为球的直径,即(2R)232425250,故球的表面积为4R250.选B方法归纳1多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法:过球心及多面体中的特殊点(一般
8、为接、切点)或线作截面,利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系如本例(1)及对点即时训练(1)(2)补形法:“补形”成为一个球内接长方体,则利用4R2a2b2c2求解如本例(2)2三棱锥PABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形(1)点P可作为长方体上底面的一个顶点,点A,B,C可作为下底面的三个顶点(2)PABC为正四面体,则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线对点即时训练1. (2018保定模拟)如图245,有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器,其中侧棱长为8 cm,底面边长为12 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时,测得水深为6 cm,如果不计
9、容器的厚度,则球的表面积为()图245A36 cm2B64 cm2C80 cm2D100 cm2B根据题意,球的截面圆是边长为12的正三角形的内切圆,易知内切圆的半径为2,球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,d862(cm),设球的半径为R cm,则R2(R2)2(2)2,解得R4,则球的表面积为4R264(cm2)故选B2已知一个三棱锥的所有棱长均为,则该三棱锥的内切球的体积为_由题意可知,该三棱锥为正四面体,如图所示AEABsin 60,AOAE, DO,三棱锥的体积VDABCSABCDO,设内切球的半径为r,则VDABCr(SABCSABDSBCDSACD),r,V内切球r3.题型3几
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