高三理科数学培养讲义:第2部分-专题3-第5讲-概率、离散型随机变量及其分布.doc
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1、第5讲概率、离散型随机变量及其分布高考统计定方向热点题型真题统计命题规律题型1:条件概率、相互独立事件的概率2017全国卷T13;2016全国卷T18;2015全国卷T4;2014全国卷T5分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律:1.客观题以单纯的条件概率、相互独立事件的概率及随机变量的均值方差计算为主,属于中等偏下.2.解答题常以统计图表为载体,主要考查学生应用概率、期望、方差等解决实际问题的能力,难度中等由于正态分布与频率分布直方图有极大的相似性,故最近五年比较受命题人青睐.题型2:随机变量的分布列、均值、方差2018全国卷T20;2018全国卷T8;2017全国卷T19;2016全国卷T
2、19;2016全国卷T18题型3:二项分布、正态分布2017全国l卷T19题型1条件概率、相互独立事件的概率核心知识储备1条件概率在A发生的条件下B发生的概率为P(B|A).2相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)高考考法示例【例1】(1)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制,甲在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为()ABCD(2)共享单车的普及给我们的生活带来了便利已知某共享单车的收费标准是:每车使用不超过1小时(包含1小时)是免费的,超过1小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算,
3、例如:骑行2.5小时收费2元)现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为,;两人用车时间都不会超过3小时求甲、乙两人所付的车费相同的概率;设甲、乙两人所付的车费之和为随机变量,求的分布列及数学期望E()(1)B由题意,甲获得冠军的概率为,其中比赛进行了3局的概率为,所求概率为,故选B(2)解所付费用相同即为0,1,2元设付0元为P1,付1元为P2,付2元为P3.甲、乙两人付的车费相同的概率为P1P2P3.设甲、乙两人所付费用之和为,可为0,1,2,3,4,P(0),P(1),P(2),P(3),P(4).随机变量的分布
4、列是:01234P数学期望E()1234.方法归纳1解决条件概率的关键是明确“既定条件”利用定义或借助古典概型概率公式2求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法(1)直接法:利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解(2)间接法:当复杂事件正面情况比较多,反面情况较少,则可利用其对立事件进行求解对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解对点即时训练1先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6六个点),落在水平桌面后,记朝上面上的点数分别为x,y,设事件A为“xy为偶数”,事件B为“x,y中有偶数且xy”,则概率P(B|A)()A BCDB正面朝上的点数(x,y)的不同结果共有C
5、C36(种),事件A:“xy为偶数”包含事件A1:“x,y都为偶数”与事件A2:“x,y都为奇数”两个互斥事件,其中P(A1),P(A2),所以P(A)P(A1)P(A2).事件B为“x,y中有偶数且xy”,所以事件AB为“x,y都为偶数且xy”,所以P(AB),由条件概率的计算公式,得P(B|A).2(2018广西三市联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查,随机抽查的200个机械元件情况如下:使用时间/天10202130314041505160个数1040805020若将频率视作概率,现从该批次机械元件中随机抽取3个,则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为()A
6、B C DD由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为,则所求概率为C.题型2随机变量的分布列、均值、方差核心知识储备1离散型随机变量的分布列的两个性质(1)pi0 (i1,2,n);(2)p1p2pn1.2变量的数学期望、方差(1)E()x1p1x2p2xnpn.(2)D()x1E()2p1x2E()2p2xnE()2pn,标准差为.3期望、方差的性质(1)E(ab)aE()b,D(ab)a2D();(2)若B(n,p),则E()np ,D()np(1p)(3)X服从两点分布,则E()p,D()p(1p)高考考法示例【例2】(2016全国卷)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰机
7、器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到如图231所示的柱状图:图231以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列;(2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n19与n20之中选其一,应选用哪个?解(1)每台机器
8、更换的易损零件数为8,9,10,11,记事件Ai为第一台机器3年内换掉i7个零件(i1,2,3,4),记事件Bi为第二台机器3年内换掉i7个零件(i1,2,3,4),由题知P(A1)P(A3)P(A4)P(B1)P(B3)P(B4)0.2,P(A2)P(B2)0.4.设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X,则X的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22,P(X16)P(A1)P(B1)0.20.20.04,P(X17)P(A1)P(B2)P(A2)P(B1)0.20.40.40.20.16,P(X18)P(A1)P(B3)P(A2)P(B2)P(A3)P(B1)0.20.20
9、.40.40.20.20.24.P(X19)P(A1)P(B4)P(A2)P(B3)P(A3)P(B2)P(A4)P(B1)0.20.20.40.20.20.40.20.20.24,P(X20)P(A2)P(B4)P(A3)P(B3)P(A4)P(B2)0.40.20.20.20.20.40.2,P(X21)P(A3)P(B4)P(A4)P(B3)0.20.20.20.20.08,P(X22)P(A4)P(B4)0.20.20.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)要求P(Xn)0.5,因为0.040.160.240.
10、5,0.040.160.240.240.5,则n的最小值为19.(3)购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,当n19时,费用的期望为192005000.21 0000.081 5000.044 040,当n20时,费用的期望为202005000.081 0000.044 080.所以应选用n19.【教师备选】根据以往的经验,某建筑工程施工期间的降水量N(单位:mm)对工期的影响如下表:降水量NN400400N600600N1 000N1 000工期延误天数X0136根据某气象站的资料,某调查小组抄录了该工程施工地某月前20天的降水量的数
11、据,绘制得到降水量的折线图,如图232所示图232(1)根据降水量的折线图,分别求该工程施工延误天数X0,1,3,6的频率;(2)以(1)中的频率作为概率,求工期延误天数X的分布列及数学期望与方差解(1)N400 mm的天数为10,X0的频率为0.5.400 mmN600 mm的天数为6,X1的频率为0.3.600 mmN1 000 mm的天数为2,X3的频率为0.1.N1 000 mm的天数为2,X6的频率为0.1.(2)X的分布列为X0136P0.50.30.10.1E(X)00.510.330.160.11.2.D(X)(01.2)20.5(11.2)20.3(31.2)20.1(61.
12、2)20.10.720.0120.3242.3043.36.方法归纳求解随机变量分布列问题的两个关键点1求离散型随机变量分布列的概率一“找”,找出随机变量的所有可能取值xi,并确定xi的意义二“求”,借助概率的有关知识求出随机变量取每一个值的概率P(xxi)三“列”,列表格并检验2求随机变量的期望与方差的关键是正确求出随机变量的分布列若随机变量服从二项分布,则可直接使用公式法求解对点即时训练(2018衡水摸底联考)某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次为1,2,8,其中X5为标准A,X3为标准B已知甲厂执行标准A生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B生产该产品,产品的零售
13、价为4元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示:X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)6,求a,b的值;(2)为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下: 353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数X2的数学期望;(3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由注:产品的“性价比”;“性价比”大的产品更具可购买性解(1)因为E(X1)6
14、,所以50.46a7b80.16,即6a7b3.2,又由X1的概率分布列得0.4ab0.11,ab0.5,由得(2)由已知得,样本的频率分布列如下:X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数X2的概率分布列如下:X2345678p0.30.20.20.10.10.1所以,E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8,即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,所以其性价比为1,因为乙厂产品的等级系数的期望等于
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