数学运算的非线性哲学解读—简论模拟代数的数系问题.doc
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1、个人收集整理 勿做商业用途数学运算的非线性哲学解读说明:这是我拟在我的第二本书非线性哲学简介中发表的一篇文章,供有兴趣的朋友参考,欢迎大家批评指正!谢谢!在我的非线性哲学漫谈一书中,有一篇“数系的非线性哲学解读,本文可以看做是该文的续篇。朋友:我们注意到你在“数系”的非线性哲学解读一文中,分析了数系中自正整数出现后出现的数,都是在逆运算中被创建的过程、原因、和相应的哲学分析.按我们的理解,那篇文章你着重分析的是各类数,这篇文章,你着重要分析是各类运算方法,是这样吗?商:是的。我在那篇文章中说了,数学是个严密的形式逻辑系统,但是作为一门实用的学科,数学无法避免面临辩证现实.所以我认为数学发展的根
2、本动力,就是数学在发展中不断面临的辨证现实,与数学严格遵循的形式逻辑之间的矛盾。因此我们可以这样说,严密的形式逻辑是数学的生命,数学发展的过程,就是不断用严密的形式逻辑,去处理蕴含辨证矛盾系统的过程,由于形式逻辑不可能解决辨证矛盾,因此数学采用的是严格定义某公式或定理适用的区域,将系统离散化,把辨证矛盾严密隔离在“不适用、不规则、奇点”等区域内而排除,使数学得以在严密遵循形式逻辑的前提下发展下去。因此,数学是典型的离散结构系统。但是辩证特征在数系中这些数上的反映,是无法用上述办法隔离和排除的,因为它们是数学的“基本粒子”,所以,辩证矛盾就不可避免的出现在这些“基本粒子”中,并在它们的集合数系中
3、凸显了!与数系一样,数学的运算方法也是严密遵循形式逻辑的,数学的运算方法,也是在解决数学面临的辩证现实和数学严密遵循的形式逻辑之间的矛盾中,逐步发展的。如前面所说,数系中的数,是数学的基本粒子,而数学的运算方法,是用严密的形式逻辑将这些基本粒子精确的组合成系统,并研究这些系统之间的相互关系或转换规律,以达到运用数学方法解决实际问题的目的。数与运算方法是同卵孪生兄弟,互相依存,精确对应,共同发展.从哲学角度来分析一下数学中运算方法的发展过程,有助于我们从更高的层面、更内在的本质、更完整的视角,来了解和把握数学这个思维工具,对于我们更好的理解和把握其他自然科学,有极其重要的意义。在我看来,数学从某
4、种程度上讲,就是其他学科(特别是自然科学)的哲学,关键在于我们如何去理解和学习数学。目前中国教育领域占统治地位的应试教育模式,最根本的问题,就是犯了方向性的错误-学生学习的目的,应该是正确理解和掌握各类思维工具的内在本质和相互关系,而不是死记硬背各种定律公式或具体习题的标准答案,下面我会用对数学运算方法的哲学分析,来具体说明这个问题。朋友:目前中国社会的各个层次都已经意识到中国教育的应试模式带来的严重问题,从上到下都在呼吁改变这个现状,但是,由于中国教育的体量太大,应试教育模式延续和发展的时间太长,无论从空间规模还是从时间规模来看,应试教育的问题可以用一个成语来描述积重难返。商:你说得不错。目
5、前我国从教材、教育模式和考核模式、教师队伍、学校体制、家长意识、学生学习习惯都已经适应了长期占统治地位的应试教育模式,要改变这种现状,确实不是一天两天就能解决问题的。从哲学角度看,内因是决定因素,扭转大家的观念、意识、思维模式,是最重要和最有效的切入点。非线性哲学漫谈一书出版后,教育界的朋友们反响非常大,我与他们讨论后,大家一致认为,目前去触动整个教育体系,难度太大,因为这会使我们马上面临牵涉整个教育系统的复杂问题.所以当务之急,是先编著一套面向教师和教育系统管理者的辅导教材,让他们先改变观念和思维模式,而不是先去编著一套全新的教材。朋友:我们也觉得这个思路是对的,事实上只要教育工作管理者和教
6、师的观念和思维模式回归到正确的道路上来,即使还在沿用原来的教材,教育的方式和效果也能得到很大的改变。商:是的。下面我就开始对数学的运算方式进行分析。人类在创建数的基本概念后,事实上运算方式就同步产生了,有两个事实能证明我的这个观点。第一个事实就是我们用于计数的“进制”。尽管人类在最初创建数的时候,数的“进制”并不统一,不同的国家或同一个国家在不同的历史时期,甚至同一个国家在同一个历史时期,采用的数的进制并不一样,但是有一点是共同的,那就是用有限的数字,来表达无限的数,所以数字系统都有“进制”的规定。以中国为例,在很长的历史时期,十进制和十六进制的数系,都流行过,而且这两种进制是并行流行的,只是
7、在不同的实用领域所分别采用而已。事实上“进制本身就是一种运算方式,用数学的观点来看,“进制”就是一种指数运算的特例,譬如十进制的逢十进一位,就是将处于低位的1乘以10以后,进入高位,同样是1这个数字,随着它出现在不同的位置,它的位置数,就是乘以10的个数。用非线性哲学的观点来看数的进制,它就是分形系统,我来具体说明一下:我们用0到9的十个数字,来表达一切数。同一个数字处在一个数的不同的位置,表示不同的数值,但是这个数字本身并不因为代表的数值不同而有所改变,也不因所在位置的不同而有所改变,所以数字具有自相似性和标度不变性的。譬如111这个数,每一位的数字是一样的,但是它们表征的数值是不一样的;在
8、123123这个数中,前三位的数字和排序和后面三位的数字和排序是一样的,但是它们的数值相差了1000倍,也就是10的三次方(因为它们相差了三位),如果我们在这里借用“维度”的概念,我们可以说它们相差了3维,因为在数学运算中,两数相乘具有一维扩展成两维的含义(十进制的一维就是10),譬如,10x10可以表达边长为10的正方形的面积,是两维的;10的三次方就是这个正方体的体积,是三维的只是我们在数值的计算中,忽略了维度的空间概念,所以,我们用一维的直线(实数轴),来“摊直”所有的维度,形成一种只有数值大小含义的“数学维度”,也就是把所有的维度都用一根直线上有严格次序的尺度来表达了,一个数每扩大10
9、倍,就是增加了一个维度,在数轴上的表示,就是代表该数的点与原点的距离,增加了一个相应的长度。有趣的是,数轴上表示数值的刻度是均匀的,线性分布的,但是表示维度的长度却是非线性的,不均匀分布的。譬如,10 是数学维1维,100是数学维2维,1000是数学维3维。如果我们在数轴上用距离原点1cm的点表示10,那么,表示2维100的点,与原点的距离不是2cm,而是10cm;而表示3维1000的点,与原点的距离不是3cm,而是100cm显然,在数轴上每扩展一维,随之而扩展的长度不是线性增加的,而是不均匀的,非线性的.从这个角度看,实数轴上有无数的数学维度,同一个数字在不同的数学维度中,代表的数值是不同的
10、,所以我们完全可以用数字的组合加上该数的数学维度表达式,来表示一切数,“科学计数法”就是这样的一种数值表达方法,也就是任何数都用不大于10 的小数再乘以10的指数的形式来表达,这种表达方式之所以被称为“科学计数法“,因为在科学研究中,经常可能出现位数很多的数,用科学计数法来书写这些数,我们很容易一眼就看出两个数的大小,以及它们相差多少数量级,而无需去数它们的位数。因此,在科学计数法中,小数后面所乘的那个10的指数,就是这个数在十进制计数法中的数学维度数.这种计数法实际上就在告诉我们,任何数其实都只是不大于10 的小数的各类分形系统,它们的差异只是在于它们的“数学维度差异(也就是后面乘以10的几
11、次方)而已。实际上我们还可以用0-1之间的小数乘以10的指数来表达一切数,所以从这个角度讲,数学运算所涉及的全部数,其实就是01之间的小数在不同数学维度中的各类分形系统。现在我们再来看看大家所熟悉的无限循环小数,这更是个极好的分形的例子,其中循环小数的循环节,显现了分形的自相似性和标度不变性。也就是不管你把这个循环小数写到多少位,这个循环节的数字和这些数字的排序都是不变的;不管这个循环节处在该数的什么位置,表征的数值是多小,循环节的精细结构不变,只是处在不同位置的循环节代表了不同的数值、显现了不同的“数学维度”。所以,我们计数用的进制,实际上就是一种数学的指数运算方式。第二个事实,就是数字被创
12、建的同时,人类就学会了数数,19的数字,其实就是我们给1的不同连加次数的和所取的“名字”,2就是1+1的和;3就是3个1连加的和;9就是9个1连加的和。所以数数就是最原始的加法运算,1-9的数字,其实是9个不同的和的名称,也就是1做不同次数连加后,得到的不同的和的名称.只有二进制,才是真正的只用到0和1两个数字的。朋友:被你这么一说,仔细想想,还真的就是这么回事啊!很奇怪,我们怎么就没有想到这一点呢?商:哈哈哈哈,这就是思维模式的差异啊!由于真实世界是辨证的,所以随着加法运算的出现,加法运算的逆运算减法很快应运而生了。如果减法只是严格对应加法的逆运算,是不会出现负数的.但是形式逻辑系统是线性系
13、统,线性系统是按直线式发展的,一旦一种运算方式产生,这种运算方式的应用,就不局限在产生这种运算方式的原始状况(后面讲到的除法也是如此),所以随着减法这个运算方式的出现,当被减数小于减数时,出现负数是必然的。从数学的角度看,出现负数与减法这个运算方式所遵循的形式逻辑不矛盾,只是这类减法运算的结果超过了正数的范围,于是数系就扩大了范围,承认了负数存在的合理性和必要性,数轴就随着负数的出现,出现了0左边的一端。这个例子进一步说明了数系与数学运算方式是同步发展的。朋友:你在上一本书中说过,减法和负数的出现,使得数系中的数开始出现辩证特征,因为加上一个负数,等于减去一个正数,而减去一个负数,等于加上一个
14、正数,也就是负负得正(否定之否定)。商:是的,你说的不错,减法虽然是作为加法的逆运算而出现的,但是减法这个运算方法被确认以后,没有规定减法只能用在加法的逆运算上,所以,当人们用一个小的数去减掉一个大的数的时候,就发现只有在数系中增加负数,减法运算才能在任何情况下都可以使用。从哲学角度看,这是因为加法和减法的关系是互为逆运算的关系,正与逆是辨证的统一,具有辩证逻辑的特征,所以减法产生负数和出现辩证特征是很正常的.我们再来看看乘法运算出现的意义。乘法是作为加法中的一种特殊情况的简便算法而出现的,也就是当几个加数都相同的情况下,可以用乘法运算代替加法运算。朋友:你说的不错,不过实际上这种简便运算只是
15、形式上的简便,九九乘法表是要靠每一个人去硬背的,如果背不出来,就只能一个一个的去加。商:你说的不错,但是我们只要把乘法表背熟以后,再利用乘法的运算法则,在做多位数相乘时,就简便了许多。否则要你做一道123X123的题目,不把你累死?朋友:哈哈哈,你说的也是啊!商:实际上乘法运算被发明的意义还不仅在于此,我在上一本书中已经提到:乘法运算本身就带有了辨证的特征,其一是“负负得正”“否定之否定”规律;其二是两个数字量(标量)相乘时,可以被分别定义为两个正交坐标轴上的矢量(长与宽),这就使得乘法运算在进行数值计算的同时,增加了维度,也蕴含了辨证矛盾;其三是“0的双重身份”,0在与其他数字一起出现时,是
16、个数值等于0 的数;但是0在单独出现时,逻辑含义就是绝对的“无,任何数乘以0都等于0,这种至高无上的绝对性,使得0 的乘法的逆运算结果失去了唯一性和精确性,变得没有意义(0除任何数都为0,任何数都不能除0).除此之外,乘法运算在逻辑上还有“与”的意思朋友:且慢!我们不太了解与逻辑运算有关的知识,你能不能先介绍一下?商:好的。逻辑运算又被称为布尔运算,是用英国数学家布尔的名字命名的一门学科.布尔是世界上第一个用数学方法研究逻辑问题的数学家,并成功地将这个办法发展成一门全新的数学学科。布尔用符号表示逻辑关系,就像用数字表示数值一样;用等式表示判断,把逻辑推理和判断的结果,变成符号的运算过程或等式的
17、变换。这种判断(运算)和变换的有效性不依赖人们对符号的解释,只依赖于符号的组合规律和运算法则,并形成了与其他数学相容的体系,这个体系就被称为布尔代数。20世纪30年代,逻辑代数首先在电路系统的设计上发挥了很大的作用,极大的简化和减轻了电路设计者的工作,提高了准确性,随着电子技术与计算机技术的告诉发展,尽管电路的设计逐渐发展成各种极其复杂的大系统,但是这些电路中对逻辑的判断和推理,却始终遵守布尔所揭示的规律。1935年,M.H.斯通首先发现布尔代数与集合中的环之间有明确的联系,任意一个布尔代数一定同构于某个集上的一个集域;任意一个布尔代数也一定同构于某个拓扑空间的闭开代数等,这使得布尔代数在理论
18、上和应用上都有了很大的发展,使得布尔代数在代数学(代数结构)、逻辑演算、集合论、拓扑空间理论、测度论、概率论、泛函分析等数学分支中均开始有了应用。与数学一样,布尔代数也是严格遵循形式逻辑的系统,也是离散结构系统。布尔代数研究的不是数值的运算,而是逻辑的运算。在布尔代数中,只有两个数字0与1,它们不代表数值,而是代表逻辑的值,逻辑只能取两个值,取0代表假,取1代表真。布尔代数中的基本逻辑关系只有三个-或、与、非。“非”的逻辑含义比较容易理解,就是“反相”、倒过来的意思,譬如,A=1,非A就等于0,同样,A=0,则非A等于1。“或”用数学符号“+”来表示;“与用数学符号“x来表示.“或”和“与”的
19、逻辑含义我用下面的图来说明:上图中,A、B、C是三个开关,D是一个灯泡,我们把开关接通设定为1,开关不通设定为0;把电路接通灯泡点亮的结果,设定为D等于1;把电路不通灯泡不亮,设定为D等于0.于是,根据上面这个图所示的电路,我们列出以下的等式:D=A+B+C也就是说,ABC中只要有一个开关接通(等于1),灯泡就被点亮(D=1);只有当ABC三个开关都没有被接通(都等于0),灯泡才不能被点亮(D=0).对上式进行布尔代数运算,也清晰的表达了这个判断,也就是ABC中只要有任何一个为1,那么三者相加的结果一定是1;只有ABC三者都为0,三者相加的结果才会等于0。朋友:等一下!如果ABC都为1,三者相
20、加不是等于3么?商:啊,抱歉,我忘了说明一下,在布尔代数中,1+1=1,1+0=1,0+0=0;1x1=1,1x0=0,0x0=0因为布尔代数研究的不是数值,而是逻辑关系。朋友:很奇怪啊,有点不适应!商:不要着急,我们慢慢来。下面再看电路的另一种连接方法:根据上图所示的电路,我们列出以下等式:D=AxBxC也就是说,只有当ABC三个开关都被接通,也就是ABC三者都为1的情况下,灯泡才会被点亮,D=1;只要有一个开关没有接通,ABC中就有一个等于0,三个量相乘的结果就等于0,也就是D等于0,灯泡就不会被点亮.只有ABC三者都为1,三者相乘的结果才会等于1。现在我们来小结一下:“或”的含义就是“或
21、者”的意思,几个互相处于“或”的逻辑关系的项中,只要有一个为“真”,结果就为“真”.“与”的含义就是“必须”的意思,几个互相处于“与的逻辑关系的项中,必须全部为“真,结果才会为“真”。朋友:第一次接触布尔代数,觉得有点别扭,但是已经基本理解了你说的意思。不过我们不太明白布尔代数有什么用呢?商:不要着急。我们先来看看这两种不同连接方式的电路各自适用在什么场合.你能说说吗?朋友:可以啊,前面的那个电路我们叫做并联电路,现在家里的家用电器用的都是这种连接方法;在一些公共通道,为了省电,现在都会用一种声控开关,在有人通过时再接通照明灯,如果这个公共通道有几个出入口,安装在这几个出入口的声控开关就是并联
22、的,任何一个出入口有人走动,灯就会被点亮。后面那个电路我们叫做串联电路,这种电路一般用在控制系统中,譬如,需要几个独立的具有控制权的人同时做出确认的决定,电路才有效启动的系统。比较容易理解的例子就是“火箭”的发射,因为火箭能否正常发射取决于很多准备工作能否正常完成,这些准备工作本身很可能都是独立的,分别由不同的部门负责操作和监视,只有当这些部门都对自己的准备工作确认(按下接通的开关),发射总负责的按钮按下去才有效,只要有一个部门觉得自己负责的部分有点问题,不敢确认,整个启动电路是无法接通的。所以并联电路具有“一票肯定就有效、所有的票否定才能否定”的意思;而串联电路具有“一票就能否决、所有的票都
23、肯定才能肯定的意思。商:你说的很好啊!我们不妨再进一步分析一下,在并联电路中,就电路的接通来讲,这些开关之间相对都是独立的,不管其他开关处在什么状态,任何一个开关的接通都能保证电路的接通.但是就电路的关断来讲,这些开关之间又是互相紧密联系的,只有所有开关都不通,才能保证电路不通。而串联电路恰恰相反,就电路的接通来讲,这些开关之间是紧密联系的,必须大家都接通,电路才能接通,有一个人否定,电路就不通.就电路的不通来讲,这些开关之间都是互相独立的,不管别的开关处在什么状态,任何一个开关不通,电路就不通了。所以在布尔代数中,相互之间处于“或”的逻辑关系的项,在确定系统为“真(相当于电路接通、系统的逻辑
24、值等于1)”的时候,这些项相互之间是独立的关系,任何一个项都有独立的、不受干扰的有效确定权;在确定系统为“假(相当于电路不通、系统的逻辑值等于0)的时候,这些项相互之间有紧密的联系,必须所有的项都取0,系统才会为“假.与此相反,在布尔代数中,相互之间处于“与的逻辑关系的项,在确定系统为“真(相当于电路接通、系统的逻辑值等于1)”的时候,这些项相互之间是紧密联系的关系,只有所有的项都取1,系统才为“真”;而在确定系统为“假(相当于电路不通、系统的逻辑值等于0)的时候,这些项相互之间是独立的,任何一个项取0,系统必为“假。朋友:你说的这些内容还真有点“搞脑筋”啊!但是,确实让我们看到了这两种逻辑关
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