数学实验“线性方程组的J-迭代-GS-迭代-SOR-迭代解法”实验报告(内含matlab程序代码).doc

数学实验“线性方程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代解法”实验报告(内含matlab程序代码)

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西京学院数学软件实验任务书
课程名称
数学软件实验
班级
数0901
学号
0912020107
姓名
李亚强
实验课题
线性方程组的J-迭代,GS-迭代，SOR—迭代方法。
实验目的

熟悉线性方程组的J-迭代，GS—迭代，SOR-迭代方法。
实验要求
运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成。
实验内容
线性方程组的J—迭代；
线性方程组的GS—迭代;
线性方程组的SOR-迭代。

成绩

教师

实验四实验报告
一、 实验名称：线性方程组的J—迭代，GS—迭代，SOR—迭代.
二、 实验目的：熟悉线性方程组的J-迭代，GS—迭代，SOR—迭代，SSOR—迭代方法，编程实现雅可比方法和高斯—赛德尔方法求解非线性方程组的根，提高matlab编程能力。
三、 实验要求：已知线性方程矩阵，利用迭代思想编程求解线性方程组的解。
四、 实验原理：
1、雅可比迭代法（J-迭代法）：
线性方程组,可以转变为：
迭代公式
其中，称为求解的雅可比迭代法的迭代矩阵。以下给出雅可比迭代的分量计算公式,令，由雅可比迭代公式有
，既有，于是，解的雅可比迭代法的计算公式为
2、 高斯-赛德尔迭代法（GS-迭代法)：
GS-迭代法可以看作是雅可比迭代法的一种改进，给出了迭代公式：
其余部分与雅克比迭代类似。
3、 逐次超松弛迭代法（SOR—迭代法）：
选取矩阵A的下三角矩阵分量并赋予参数w，将之作为分裂矩阵M,，其中，w〉0，为可选择的松弛因子，又（1）公式构造一个迭代法，其迭代矩阵为从而得到解的逐次超松弛迭代法.

其中：
由此，解的SOR-迭代法的计算公式为
（2)
观察（2）式，可得结论：
（1） 、当w=1时，SOR—迭代法为J—迭代法.
（2） 、当w〉1时,称为超松弛迭代法，当w<1时，称为低松弛迭代法。

五、 实验内容:
　　％1。J—迭代
function x1=jacobi(A,b,y)；
m=input('请输入迭代次数m：’）；
eps=input（’请输入精度eps：’)；
D=diag(diag（A)）;
L=triu（A)-A；
U=tril（A)-A;
M=D\(L+U）;
g=D\b;

a=1;
k=0;
while a>eps
x2=M*x1+g；
a=norm（x2-x1,inf);
x1=x2；
k=k+1；
end
％输出方程组的近似解、精确值及误差
disp（’近似解：'）；
disp（x1);
x2=x1—y;
a=norm（x2,inf);
fprintf(’误差：%.6f；迭代次数：%d\n',a，k)；

%2。GS—迭代
function x1=G_S(A，b,y）
n=100；
m=input（’请输入迭代次数m:'）；
eps=input（'请输入精度eps:')；
D=diag（diag(A）)；
L=triu（A)-A；
U=tril（A）-A;
%生成矩阵M,向量g
M=（D-L)\U；
g=（D-L）\b;
％迭代首项
x1=eye（n-1,1)；
x2=eye(n—1,1）；
for i=1：n-1
x1(i）=1;
x2（i）=0；
end

a=1；
k=0；
while a〉eps
x2=M*x1+g；
a=norm（x2—x1,inf)；
x1=x2；
k=k+1;
end
%输出方程组的近似解、精确值及误差
disp(’近似解：'）；
x2=x1-y；
a=norm(x2，inf）;
fprintf（’误差：％。4f；迭代次数:%d\n',a，k)；

％3。SOR—迭代
function a=p(A)
[n，n]=size（A）；
x=eig(A）；
a=0；
for i=1：n
b=abs(x（i)）;
if b〉a
a=x（i);
end
end
a=abs(a);
function x1=SOR（A,b,y) ％y为精确解
％超松弛迭代
D=diag(diag（A));
L=triu(A）-A；
U=tril（A）-A;
％求最佳松弛因子w
M=D\(L+U）；
w=p(M);
w=2/(1+sqrt（1—w^2)）；
if w〈0｜｜w〉2
disp（’迭代不收敛’）；
return;
end
％生成矩阵M，向量g
M=(D-w*L)\(（1—w）*D+w＊U)；
g=(D—w*L）\b*w；
％进行迭代
w=1;
k=0;
%x1=eye（n，1);
while w>1e-6
x2=M*x1+g;
w=norm(x2-x1，inf）;
x1=x2;
k=k+1;
end
％输出方程组的近似解、精确值及误差
disp(’近似解：'）;
disp（x1）；
x2=x1—y;
w=norm(x2,inf）；
disp（’误差：'）；
disp（w）；
disp（’迭代次数：');
disp（k);
六、 实验结果:
A=[5 2 0；6 4 1；1 2 5]；b=[10 18 —14］’；
X1= G_S (A，b，［0 0 0］'）

X1 =

—0。8750
7.1874
-5.5000

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