加法原理与乘法原理教师版.doc
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1、加法原理和乘法原理 2011寒假班 五年级上加法原理:完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m1种不同的方法,在第二类方法中有m2种不同的方法,在第N类方法中有mn种不同的方法,那么完成这件工作共有Nm1m2m3mn种不同方法。运用加法原理计数,关键在于合理分类,不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点,不同的问题,分类的标准往往不同,需要积累一定的解题经验。乘法原理:完成一件工作共需N个步骤:完成第一个步骤有m1种方法,完成第二个
2、步骤有m2种方法,完成第N个步骤有mn种方法,那么,完成这件工作共有m1m2mn种方法。运用乘法原理计数,关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤,各个步骤之间是相互联系的,任何一步的一种方法都不能完成此工作,必须连续完成这N步才能完成此工作;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此工作的方法也不同。这两个基本原理是排列和组合的基础,教学时要先通过生活中浅显的实例,如购物问题、行程问题、搭配问题等,帮助孩子理解两个原理,再让孩子学习运用原理解决问题。运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题,在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题,正
3、确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理,可以巧妙解决很多复杂的计数问题。小学阶段只学习两个原理的简单应用。【题目1】用1角、2角和5角的三种人民币(每种的张数没有限制)组成1元钱,有多少种方法?【解析】运用加法原理,把组成方法分成三大类:只取一种人民币组成1元,有3种方法:10张1角;5张2角;2张5角。取两种人民币组成1元,有5种方法:1张5角和5张1角;一张2角和8张1角;2张2角和6张1角;3张2角和4张1角;4张2角和2张1角。取三种人民币组成1元,有2种方法:1张5角、1张2角和3张1角的;1张5角、2张2角和1张1角的。所以共有组成方法:3+5+2=10(种)。【
4、题目2】各数位的数字之和是24的三位数共有多少个?【解析】一个数各个数位上的数字,最大只能是9,24可分拆为:24=9+9+7; 24=9+8+7;24=8+8+8。运用加法原理,把组成的三位数分为三大类:由9、9、8三个数字可组成3个三位数:998、989、899;由9、8、7三个数字可组成6个三位数:987、978、897、879、798、789;由8、8、8三个数字可组成1个三位数:888。所以组成三位数共有:3+6+1=10(个)。【随堂练习】:北京奥运会开幕的日子为2008年8月8日,拼成一个八位数为20080808.它的数字和为26,请问在2008年还有哪些日子拼成的八位数,其数字
5、之和为26?0529,0628,0727,0826,0925【题目3】有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7和8厘米的细木条若干,从中选取适当的3根木条作为三条边可以围成多少个不同的三角形?【解析】围三角形的依据:三根木条能围成三角形,必须满足任意两边之和大于第三边。要满足这个条件,需要且只需要两条较短边的和大于最长边就可以了。这道题的计数比较复杂,需要分层重复运用加法原理。根据三角形三边长度情况,我们先把围成的三角形分为两大类:第一大类:围成三角形的三根木条,至少有两根木条等长(包括三根等长的)。由题目条件,围成的等腰三角形腰长可以为1、2、3、4、5、6、7、8厘米,根据三角形腰长,第
6、一大类又可以分为8小类,三边长依次是:腰长为1的三角形1个:1、1、1。腰长为2的三角形3个:2、2、1;2、2、2;2、2、3。腰长为3的三角形5个:3、3、1;3、3、2;3、3、3;3、3、4;3、3、5。腰长为4的三角形7个:4、4、1;4、4、2;4、4、7。腰长为5的三角形8个:5、5、1;5、5、2;5、5、8。同理,腰长为6、7、8厘米的三角形都是8个。第一大类可围成的不同的三角形:1+3+5+7+84=48(个)。第二大类:围成三角形的三根木条,任意两根木条的长度都不同。根据最长边的长度,我们再把第二大类围成的三角形分为五小类(最长边不可能为是3厘米、2厘米、1厘米):最长边
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