数学选修2-3知识点与例题结合.doc

一．基本原理
1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
　注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。

四．处理排列组合应用题
1。①明确要完成的是一件什么事(审题）  ②有序还是无序   ③分步还是分类。
2．解排列、组合题的基本策略
（1）两种思路：
     ①直接法：
     ②间接法：对有限制条件的问题,先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。
           注意:分类不重复不遗漏.即:每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时,常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类,又要分步.其原则是先分类，后分步。
（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法.
3．排列应用题:
（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；
　(2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；
例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公
　　益广告，则共有          种不同的播放方式（结果用数值表示）.  
解:分二步:首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48．
例2。 6人排成一行，甲不排在最左端,乙不排在最右端，共有多少种排法?
解一：间接法：即
解二：（1）分类求解:按甲排与不排在最右端分类.

（3）相邻问题：捆邦法：
对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑"起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列.
（4）全不相邻问题,插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。
(5）顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插
解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总 的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。
解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；
例.有4个男生，3个女生,高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少
   种排法？
分析一:先在7个位置上任取4个位置排男生，有种排法。剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高"，
       只有1种排法，故共有·1=840种.
（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略
　　对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排  列，最后再进行“小团体"内部的排列。
(7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑，再分段处理。
(8)数字问题（组成无重复数字的整数）
①能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数.
　②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数;
　③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。
　④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数.
　⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。
　⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25,50，75.
　⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。
4.组合应用题：
(1）“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：
1。从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种。
解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有种.
（2）“含"与“不含” 用间接排除法或分类法：
2．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛
（1)如果4人中男生和女生各选2人，有    种选法；
(2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有   种选法；
(3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1人在内，有 种选法；
(4）如果4人中必须既有男生又有女生，有           种选法

5．分组问题：
均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘.即除法处理.
非均匀分组：分步取,得组合数相乘.即组合处理。
混合分组:分步取,得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。
6．分配问题:
定额分配：（指定到具体位置)即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。
7．隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题
五． 二项式定理

3.二项式定理的应用
求二项展开式中的任何一项，特别是常数项:变量的指数为0、有理项：指数为整数；
证明整除或求余数;
利用赋值法证明某些组合恒等式；
近似计算。
4。二项式系数的性质：

5．区分
(1）某一项的二项式系数与系数
项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。
展开式中的系数就是二项式系数。
（2）二项式系数最大项与系数最大项
①二项式系数最大项是中间项
②系数最大项求法：设第k+1项的系数最大，由不等式组求k。再求第k+1项值。
③系数的绝对值最大的项
二项展开式的系数绝对值最大项的求法,设第r+1项系数的绝对值最大，则此项系数的绝对值必不小于它左、右相邻两项系数的绝对值,即由求r
注意：二项展开式中系数最大的项及系数最小的项的求法:先求系数的绝对值最大项第r+1项,然后再求第r+1项的符号，若这一项的系数符号为正，则它为展开式中系数最大的项;若这一项的系数符号为负,则它为展开式中系数最小的项
（3)二项展开式中，二项式系数和与各项系数和

应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和即令式子中变量为1。

注意：(1）二项展开式的各项系数绝对值的和相当于的各项系数的和。即令原式中的x=—1即可。
　　  (2)审题时要注意区分所求的是项还是第几项?求的是系数还是二项式系数?

一、 知识结构
连续性随机变量
数学期望
方差
二项分布
正态分布
事件的独立性

条件概率
离散型随机变量的数字特征
随机变量
离散型随机变量
超几何分布

二、 知识点
1.随机试验的特点:
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个
③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
2.分类
随机变量
（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示.）
离散型随机变量
在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
连续型随机变量
对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出。

3。离散型随机变量的分布列
一般的，设离散型随机变量X可能取的值为
x1,x2, ，xi ， ，xn
X取每一个值 xi(i=1,2,　　）的概率
P(ξ=xi）＝Pi,则称表

为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

性质：
① pi≥0, i =1，2， … 　；
② p1 + p2 +…+pn= 1．
③ 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

4. 求离散型随机变量分布列的解题步骤
例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0。7，求他罚球一次的得分的分布列.
解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”设离散型随机变量
，依题可知,X可能的取值为：1，0
且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0。3交代题中所隐含的信息

因此所求分布列为：
答题即写出分布列

引出
二点分布
如果随机变量X的分布列为：
其中0<p<1,q=1—p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布
二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.

超几何分布
一般地， 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N）件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量,
则它取值为k时的概率为，其中,
且
则称随机变量X的分布列

为超几何分布列，且称随机变量X服从参数N、M、n的超几何分布

注意：
（1)超几何分布的模型是不放回抽样；
（2)超几何分布中的参数是N、M、n,其意义分别是总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量

解题步骤：
例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率
解：设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布,其中舍随机变量且交代其服从NMn的超几何分布

X可能的取值为0,1，2，3，4, 5.写出x可能的取值

由题目可知，至少摸到3个红球的概率为 ≈0。191运用公式解题

答：中奖概率为0.191.答题

条件概率
1. 定义：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。记作P(B｜A)，读作A发生的条件下B的概率
2. 事件的交（积）：由事件A和事件B同时发生所构成的事件D,称为事件A与事件B的交（或积）.记作D=A∩B或D=AB
3. 条件概率计算公式：

P(B｜A）相当于把A看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:

公式推导过程

解题步骤:
例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个,已知第一个取到次品,求第二个又取到次品的概率.
解：设 A = {第一个取到次品},
B = ｛第二个取到次品}，设事件

由题意计算出 P(AB)和P(A)或者P(B|A)和P(A)

所以，P(B|A) = P（AB) / P（A）= 2/9 根据条件概率共识计算

答：第二个又取到次品的概率为2/9。答题

相互独立事件
1. 定义：事件A(或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件
说明(1）判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A（或B)发生与否对B(或A）发生的概率是否影响,若两种状况下概率不变，则为相互独立.
（2）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件;相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响。
(3）如果A、B是相互独立事件,则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与B也都相互独立.

说明（1）使用时，注意使用的前提条件;
（2)此公式可作为判断事件是否相互独立的理论依据，即P（A·B）=P(A） · P(B)是A、B相互独立的充要条件。

2.相互独立事件同时发生的概率公式
两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。则有

如果事件A1，A2,…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，
等于每个事件发生的概率的积。即:
P（A1·A2·…·An）=P(A1）·P(A2）·…·P（An）

则称A，B相互独立
3.两事件是否互为独立事件的判断与证明

4. 解题步骤
例题、一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验,从袋中连取2个球，观察球的颜色情况，记“第一个取出的是白球"为事件A,“第二个取出的是白球”为事件B，试问A与B是不是相互独立事件？
答：不是，因为件A发生时(即第一个取到白球），事件B的概率P（B)=1/3，而当事件A不发 生时(即第一个取到的是黑球)，事件B发生的概率P（B）=2/3，也就是说，事件A发生与否影响到事件B发生的概率，所以A与B不是相互独立事件。
证明：由题可知，
P(B|A) =1/3，
P(B|A的补集)=2/3
因为 P(B|A）≠P（B｜A的补集)

所以 A与B不是相互独立事件

独立重复试验
1。定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
2.说明：
①这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的
②每次试验是在同样条件下进行;
③每次试验间又是相互独立的，互不影响.

前提

二项分布

1. 引入：一般地，如果在1次实验中某事件A发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

P()
Pn(k)是[(1-P）+P]n的通项公式，所以也把上式叫做二项分布公式.

2. 二项分布定义：
设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1—p，那么在n次独立重复试验中
（其中 k=0,1, ，n，q=1—p ）

于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

由于恰好是二项展开式
中的第 k+1 项，所以，称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ,其中n,p为参数，
并记:

3. 解题步骤
例题、某厂生产电子元件，其产品的次品率为5％．现从一批产品中任意地连续取出2件,写出其中次品数ξ的概率分布．

解:依题意，随机变量ξ～B(2，5％）．

∴P(ξ=0)= (95%）2=0.9025，
P（ξ=1）= （5%)（95%）=0.095,

P(ξ=2）= （5％）2=0。0025．
因此，次品数ξ的概率分布是

ξ

0

1

2

P

0.9025

0.095

0.0025

几何分布
1. 定义：
在独立重复试验中，某事件A第一次发生时所作的试验次数ξ也是一个取值为正整数的随机变量。 “ξ =k"表示在第k次独立重复试验时事件A第一次发生。如果把第k次实验时事件A发生记为Ak， p（ Ak)=p,事件A不发生记为 ，P( )=q（q=1—p)，那么
（k=0，1,2…,q=1—p.）

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 1 2 3 … k …
P p pq pq2 … pqk-1 …

称ξ服从几何分布，并记g(k，p)=p·qk—1

离散型随机变量的期望和方差
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望．是离散型随机变量
说明：（1）数学期望的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平
（2)一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1=p2=…=pn,则有p1=p2=…=pn = ，Eξ=(x1+x2+…+xn)´ ，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
=E(ξ-Eξ)2=Eξ2—（Eξ）2
（3）随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：前者是常数，不依赖样本抽取;后者是一个随机变量.
Dξ=（x1-Eξ)2·P1+ (x2-Eξ）2·P2 + … + （xn-Eξ)2·Pn + …
叫随机变量ξ的均方差，简称方差。
说明:
①、D ξ的算术平方根√Dξ—— 随机变量ξ的标准差，记作σξ；
②、标准差与随机变量的单位相同；
③、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度。
集中分布的期望与方差一览

期望
方差
两点分布
Eξ=p
Dξ=pq，q=1—p
超几何分布

D(X)=np（1-p）＊ （N—n）/(N—1）
不要求
二项分布
ξ ～ B(n,p）
Eξ=np
Dξ=qEξ=npq，q=1—p

几何分布
p（ξ=k)=g（k，p）
1/p

正态分布 连续型随机变量
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线．

频率
组距

概率密度曲线

总体在区间 内取值的概率

产品尺寸(mm)

概率密度曲线的形状特征

a
b
：中间高，两头低

正态分布
若概率密度曲线就是或近似地是函数
的图像，
其中解析式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差．
则其分布叫正态分布，记作

f（ x )的图象称为正态曲线

基本性质：

①曲线在x轴的上方,与x轴不相交．
②曲线关于直线x=对称，且在x=时位于最高点。
③当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．

④当一定时,曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖",表示总体的分布越分散；越小,曲线越“瘦高"，表示总体的分布越集中．
⑤当σ相同时，正态分布曲线的位置由期望值μ来决定。
⑥正态曲线下的总面积等于1.
3原则

从上表看到,正态总体在 以外取值的概率 只有4。6%，在 以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小，通常称这些情况发生为小概率事件。也就是说，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的。