数学从此不再难学.doc
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1、数学从此不再难学一、集合与函数内容子交并补集,还有幂指对函数。性质奇偶与增减,观察图象最明显。复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。指数与对数函数,两者互为反函数。底数非的正数,两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于,偶次方根须非负,零和负数无对数;正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集.两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,是对称轴;求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。二、三
2、角函数三角函数是函数,象限符号坐标注.函数图象单位圆,周期奇偶增减现。同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割;中心记上数字,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,顶点任意一函数,等于后面两根除。诱导公式就是好,负化正后大化小,变成税角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变,将其后者视锐角,符号原来函数判.两角和的余弦值,化为单角好求值,余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称.计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变.逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。万能公式不一般,化为
3、有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用;加余弦想余弦, 减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范;三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围;利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集;三、不等式解不等式的途径,利用函数的性质.对指无理不等式,化为有理不等式。高次向着低次代,步步转化要等价。数形之间互转化,帮助解答作用大。证不等式的方法,实数性质威力大。求差与比大小,作商和争高下。直接困难分析好,思路清晰综合法。非负常用基本式,正面难则反证法。还有重要不等式,以及数学归纳法.图形函数来帮助,画图建模构造法。四、数列等差等比两数列,通项公式项和。两
4、个有限求极限,四则运算顺序换。数列问题多变幻,方程化归整体算.数列求和比较难,错位相消巧转换,取长补短高斯法,裂项求和公式算。归纳思想非常好,编个程序好思考:一算二看三联想,猜测证明不可少.还有数学归纳法,证明步骤程序化:首先验证再假定,从 向着K加,推论过程须详尽,归纳原理来肯定。五、复数虚数单位一出,数集扩大到复数.一个复数一对数,横纵坐标实虚部。对应复平面上点,原点与它连成箭。箭杆与轴正向,所成便是辐角度。箭杆的长即是模,常将数形来结合.代数几何三角式,相互转化试一试。代数运算的实质,有多项式运算。的正整数次慕,四个数值周期现。一些重要的结论,熟记巧用得结果.虚实互化本领大,复数相等来转
5、化。利用方程思想解,注意整体代换术。几何运算图上看,加法平行四边形,减法三角法则判;乘法除法的运算,逆向顺向做旋转,伸缩全年模长短.三角形式的运算,须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式,乘方开方极方便。辐角运算很奇特,和差是由积商得。四条性质离不得,相等和模与共轭,两个不会为实数,比较大小要不得。复数实数很密切,须注意本质区别。六、排列、组合、二项式定理加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转化.排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考虑。不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合恒等式,定义证明建
6、模试.关于二项式定理,中国杨辉三角形。两条性质两公式,函数赋值变换式.七、立体几何点线面三位一体,柱锥台球为代表。距离都从点出发,角度皆为线线成。垂直平行是重点,证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。方程思想整体求,化归意识动割补.计算之前须证明,画好移出的图形.立体几何辅助线,常用垂线和平面.射影概念很重要,对于解题最关键。异面直线二面角,体积射影公式活。公理性质三垂线,解决问题一大片。八、平面解析几何有向线段直线圆,椭圆双曲抛物线,参数方程极坐标,数形结合称典范。笛卡尔的观点对,点和有序实数对,两者-一来对应,开创几何新途径.两种思想相辉映,化归思想打前阵;都说待定系数法,实为方
7、程组思想。三种类型集大成,画出曲线求方程,给了方程作曲线,曲线位置关系判。四件工具是法宝,坐标思想参数好;平面几何不能丢,旋转变换复数求.解析几何是几何,得意忘形学不活。图形直观数入微,数学本是数形学。数学 必修11。 集合(约4课时)(1)集合的含义与表示通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系。能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.(2)集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。在具体情境中,了解全集与空集的含义。(3)集合的基本运算理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交
8、集。理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。2. 函数概念与基本初等函数I(约32课时)(1)函数进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。了解简单的分段函数,并能简单应用.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解
9、奇偶性的含义。学会运用函数图象理解和研究函数的性质(参见例1)。(2)指数函数(细胞的分裂,考古中所用的C的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景。理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点。在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型(参见例2)。(3)对数函数理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的产生历史以及对简化运算的作用。通过具体实例,直观了解对数函数
10、模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.知道指数函数 与对数函数 互为反函数(a0,a1)。(4)幂函数通过实例,了解幂函数的概念;结合函数 的图象,了解它们的变化情况.(5)函数与方程结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系.根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法.(6)函数模型及其应用利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、指
11、数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例,了解函数模型的广泛应用。(7)实习作业根据某个主题,收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物(开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等)的有关资料或现实生活中的函数实例,采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章,在班级中进行交流。具体要求参见数学文化的要求。数学 必修21. 立体几何初步(约18课时)(1)空间几何体利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述
12、现实生活中简单物体的结构.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会使用材料(如纸板)制作模型,会用斜二侧法画出它们的直观图。通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.完成实习作业,如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。(2)点、线、面之间的位置关系借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据
13、的公理和定理.公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4:平行于同一条直线的两条直线平行。定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.操作确认,归纳出以下判定定理。平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。一条直
14、线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直.操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明。一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行。两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.2。 平面解析几何初步(约18课时)(1)直线与方程在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,
15、掌握过两点的直线斜率的计算公式。能根据斜率判定两条直线平行或垂直.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系。能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。(2)圆与方程回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程。能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系。能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。(3)在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。(4)空间直角坐标系通过具体情境,感受建立空间直角坐
16、标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置。通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式。数学 必修31。 算法初步(约12课时)(1)算法的含义、程序框图通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义。通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中(如三元一次方程组求解等问题),理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环。(2)基本算法语句:经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语
17、句、条件语句、循环语句,进一步体会算法的基本思想。(3)通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。2. 统计(约16课时)(1)随机抽样能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题.结合具体的实际问题情境,理解随机抽样的必要性和重要性.在参与解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析,了解分层抽样和系统抽样方法。能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。(2)用样本估计总体通过实例体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图(参见例1),体会它们各自的特点。通
18、过实例理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据标准差。能根据实际问题的需求合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释。在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据,认识统计的作用,体会统计思维与确定性思维的差异。形成对数据处理过程进行初步评价的意识。(3)变量的相关性通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点
19、图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系。经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(参见例2)。3. 概率(约8课时)(1)在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。(2)通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式。(3)通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。(4)了解随机数的意义,能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率,初步体会几何概型的意义(参见例3).(5)通过阅读材料,了解人类认
20、识随机现象的过程。数学 必修41. 三角函数(约16课时)(1)任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化。(2)三角函数借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( 的正弦、余弦、正切),能画出 的图象,了解三角函数的周期性。借助图象理解正弦函数、余弦函数在 ,正切函数在 上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等).理解同角三角函数的基本关系式:结合具体实例,了解 的实际意义;能借助计算器或计算机画出 的图象,观察参数A, 对函数图象变化的影响。会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重
21、要函数模型。2。 平面向量(约12课时)(1)平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。(2)向量的线性运算掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义。了解向量的线性运算性质及其几何意义。(3)平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义。掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(4)平面向量的数量积通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。体会平面向
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