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初中数学“函数的应用”的教学研究与案例评析【课程简介】研究一个实际问题时，首先从问题中抽象出特定的函数关系，然后利用函数的性质得出结论，最后再把结论放到实际问题中去，从而得到实际问题的研究结果 . 这种研究问题的方法就是函数思想 . 确定函数关系式是本节的重点，很多情况下是由几何图形建立函数关系式，也就是比较典型的数形结合问题，主要是利用相似性的性质、勾股定理、圆的有关性质、面积公式等建立量与量之间的函数关系 . 反比例函数与一次函数综合问题，主要是利用 k 值与图像的位置关系，综合确定系数符号或图像的位置；解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答 . 解决一些比较抽象、不易理解的实际应用题，可以建立与二次函数性关联的数学模型，结合函数的性质、函数图象等，使抽象的问题变得形象而具体 . 运用函数知识与函数思想解决实际问题时，要善于分析问题中变量之间的函数关系，建立函数模型，注意有实际意义确定自变量的取值范围 . 本专题主要 探究了对函数的应用知识的深层次理解、教学策略及学生学习中问题和困惑的解决 . 【学习要求】 （ 1 ）学习者首先要对教材有整体掌握和驾驭能力，对大纲和课标的要求要明确； （ 2 ）学习者要对本专题的知识与其它各个知识的联系，如与其他知识点的衔接，与以后甚至高中将要学习的新知的衔接都要了然心中； （ 3 ）学习者要对你所教的对象心中有数，面对不同层次的教学对象，能够灵活的去驾驭教材和处理教材 , 不能照搬照用 . 如何来学习，怎样来学习，学习后的方式方法如何来为自己服务这是关键，教学中如何利用建立数学模型及如何渗透有关的数学方法和思想是教者要深度思考的问题，教学的成功与否不仅仅与教者的知识水平有关，还与教者的教学艺术有关，所以我们每一名教师都应在把他人的方式方法如何转变成自己的方式方法上下功夫，如何将他人的东西融入到自己的知识链中上下功夫，只有这样才能事半功倍 .专题讲座初中数学“函数的应用”的教学研究孙晓佳（清华附中、高级教师）一、对初中函数应用知识的深层次理解 （一）函数应用的知识结构与框图 初中函数应用主要包括一次函数、反比例函数以及二次函数的应用这三部分内容， 具体如下： （ 1 ）一次函数的实际应用：利用物理（运动过程）中的一次函数应用来渗透函数应用的思想 （ 2 ）反比例函数的实际应用：揭示社会问题、经济问题中的反比例关系 （ 3 ）二次函数的实际应用：利用二次函数的性质，结合一元二次方程来解决实际问题利用函数知识解决应用问题的思路框图如下： （二）函数应用在数学中的地位与作用 现实中存在大量问题涉及具有简单函数关系的变量，这为函数的学习提供了大量的现实素材在实际的教学过程中，实际问题的情境也会多次出现，主要有以下作用： （ 1 ）引入或解释函数等概念几乎所有的概念都是通过实际问题来引入的，这样做的目的是借助直观的、具体的事物为理解抽象的内容服务 （ 2 ）作为函数的应用举例在解决实际问题的过程中运用函数这一工具，体现了数学建模的思想，反映了函数的广泛应用性 找出问题中相关变量之间的关系，并以数学形式表现这种关系，是函数中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确的理解问题情境是基础在函数的教学过程中，可以从多种角度思考，借助图象、表格、代数式等进行分析，寻找变量之间的关系，检验所建立的函数关系的合理性 （三）函数应用的教学内容的重点和难点 函数的应用主要包括以下几个方面的问题：行程问题，生产中的问题，利润最大问题，花费最小问题，抛物线的刻画问题，体育比赛中的函数问题等等 主要是 让学生理解利用函数知识解决实际问题时，首先要梳理问题所提供的原始信息，从中提取有效信息加以分析，对问题的原始形态进行抽象化、数学化，联想和概括构建相应的数学模型即函数关系，并利用数学知识方法加以解决 教学重点： 1 有意识地运用函数思想将实际问题转化为函数问题，并能合理解实际问题； 2 体会数学中的变量与不变量的辩证关系； 3 合理确定问题中的变量，建立合适的函数关系式 教学难点： 1 确定实际问题中变量的取值范围； 2 学会用分段函数来分析问题； 3 确定函数解析式的方法和步骤 二、函数应用的教学策略 （一）怎样进行函数 应用 教学 引入的设计 数学课的引入设计是至关重要的好的引入会激发学生的学习兴趣，快速将学生引入教学情境，使整节课顺利进行所以首先从引入的设计来看看我们在函数的教学中应该如何去做，下面以二次函数的起始课为例来进行说明 (1) 常规设计： 课本上引入二次函数是以实际问题（正方体的表面积）为切入点的包括二次函数的图象的教学，是以投篮时篮球运动的轨迹作为引入看上去这些实际生活中的例子都是非常鲜活的，应该能够起到刺激学生思维的过程 但是事实却不是如此 这是一个信息爆炸的时代，现代的学生每天都能够被大量的信息所影响他们更关心的是与自己的生活息息相关的内容，而不是陈旧的、已经沿袭很久的实例另外过于简单的实例（如投篮时篮球的轨迹）也许会带给他们一定刺激，但是能否刺激学生去思考这些例子背后的数学原理，能否对于二次函数的学习有所帮助就很难说了面对不再新鲜，甚至说有些过时的例子，学生很难打起精神来这就要求我们教师必须有所改变，我们应该与时俱进，了解学生在想什么，他们经常在做些什么？才能设计出更好的、更贴切他们的生活的实例，并能为我们的教学带来帮助 （ 2 ） 突破设计： 通过以上的分析可以想到，实际生活中的二次函数还有那些？运动轨迹是抛物线的还有哪些呢？实际上有一个很好的资源可以供我们来使用，那就是愤怒的小鸟 可以说是现在最火爆的游戏（如图） 相信当学生看到这幅图片时，一定会产生发自内心的共鸣当然根据这个游戏可以设计出很多数学问题，学生自然会很有兴趣的去思考这些数学问题的解决途径，也就自然的引出了二次函数的概念，甚至是抛物线的定义了下图是美国的一道考试题，在这方面，创新能力出众的美国教师已经走在了我们的前面，我们需要迎头赶上 （二）怎样进行 函数 应用 知识的渗透及教学 1 应用性问题的解决方法和规律是什么？ 初中数学教育的理念中对应用能力的培养已经发生了一定的变化，近几年教材中、各类考试中不仅增加了实际问题的内容，还丰富了实际问题的类型，而且拓展了实际问题的意境，改变了以往取材仅限于工程、行程、浓度问题等老面孔，纷纷取材于国情大政、环保生态、市场决策、经济核算、生产生活，既展示数学应用的广阔空间，又着意体现新素材的德育功能 应用题要解决的是实际问题，而实际问题是丰富多彩的因此，在解决实际问题的过程中，不但需要扎实的基础知识和技能，更需要有多方面的能力解答应用题一般程序是：先读懂文字，理解题意，再将其翻译成数学语言，建立数学模型 例 1 幸福村村办工厂今年前 5 个月生产某种产品的总量 C （件）关于时间 t （月）的函数图象如图所示，则该厂对这种产品来说（） A 1 月至 3 月每月生产总量逐月增加， 4 、 5 两月每月生产总量逐月减少 B 1 月至 3 月每月生产总量逐月增加， 4 、 5 两月每月生产总量与 3 月持平 C 1 月至 3 月每月生产总量逐月增加， 4 、 5 两月均停止生产 D 1 月至 3 月每月生产总量不变， 4 、 5 两月均停止生产 此题讲解中注意： 图象显示 1 3 月为正比例函数表示总产量逐月累计增加，而并不表示 “ 每月生产总量逐月增加 ” ； 4 、 5 两月的 “ 累计总产量 ” 均同 3 月，则表示这两个月的产量均为 0 应选 D 此题是函数图象信息型应用题 教师在讲解中注意引导学生明白 解决这类问题的关键是读懂函数图象，从函数图象中获得数据，培养的是运用数形结合思想解决实际问题的能力 此题在设置过程中意境抓住了问题中的易错易混点来设计选择项，若读图能力差或审题不细，极易掉进陷井，错选成答案 B 例 2 ： A 、 B 两人连续 6 年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两个方面的信息，如图（ 1 ）和（ 2 ） A 调查表明：每个甲鱼池平均年产量由第一年的 l 万只甲鱼上升到第 6 年的 2 万只； B 调查表明：甲鱼池个数由第一年的 30 个减少到第 6 年的 10 个 请你根据所提供的信息说明： （ 1 ）第 2 年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数； （ 2 ）到第 6 年这个县的甲鱼养殖业的规模比第 1 年是扩大了还是缩小了 ? 说明理由 ； （ 3 ）哪处的规模最大？说明理由 教师在讲解此题时，要引导学生认真读图中的信息： （ 1 ）读图（ 2 ）知，第 2 年甲鱼池的只数为 26 ；读图（ 1 ）知，第 2 年每个甲鱼池平均产量为 1.2 万只，全县出产甲鱼的总数为 1.226 31.1 （万只） （ 2 ）规模缩小因为第一年出产甲鱼 301 30 （万只），而第 6 年出产甲鱼 210 20 （万只） 即第 2 年规模最大，生产甲鱼 31.2 万只 这道应用题把图象信息、阅读理解、探索性问题巧妙地揉合在一起，要求 学 生在读懂文字、图形的基础上，把实际问题抽象转化，建立起符合题意的数学模型解决问题 这是学生解题的一个难点，所以教师如何启发学生整个认知过程，使之将实际问题转化为数学问题，引导学生发现 转化后的数学问题并不复杂： 根据函数图象求点的坐标； 运用待定系数法求函数解析式； 利用二次函数的性质求最大值 例 3 ： 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用了不同的收费方式其中所使用的 “ 便民卡 ” 与 “ 如意卡 ” 在每月（ 30 天）的通话时间 x （分钟）与通话费 y （元）的关系如图所示 （ 1 ）分别求出通话费 y 1 、 y 2 与通话时间 x 之间的函数关系式 （ 2 ）请帮用户计算一下，在一个月内使用哪种卡便宜 ? 教师讲解时，引导学生从阅读图中的信息入手，如 (1) 由图象知 y 1 、 y 2 与通话时间之间的函数关系是一次函数的关系设 y 1 = k 1 x+b 把 A （ 0 ， 29 ）， B （ 30 ， 35 ）两点的坐标代入，可得 （ 2 ）要知道在一个月内使用哪种卡便宜，只需要比较出 y 1 与 y 2 的大小即可 本 题取材于我们日常生活中的手机话费问题，要求计算出两种电话卡哪种便宜设计的问题并不难，但立意却比较深刻 在市场经济的大潮中，诸如省钱划算，商品优惠的问题，销售价、成本价和销售利润的问题等等，司空见惯，不胜枚举通过在应用题中的渗透，提醒同学们重视数学在生产、生活和经济建设中的应用，非常必要在解决实际问题的过程中，逐步形成用数学的意识，树立数学来源于实践又应用于实践的辩证唯物主义观点，为同学们将来的学习和工作打下坚实的基础这正是素质教育的发展方向所在 （三）怎样突破 函数 应用 教学中的难点 1 用二次函数求最大（小）值的应用题的方法步骤是什么？ 利用二次函数的性质解决实际的规划设计问题（即最大最小值问题），其基本方法是将实际问题转化为二次函数的取值范围问题，然后按求二次函数最大值或最小值的方法求解 其一般步骤是： （ 1 ）利用题目中的已知条件明确函数关系式； （ 2 ）把关系式转化为二次函数的解析式； （ 3 ）求二次函数的最大值或最小值（注意自变量的取值范围） 例 4 ： 用 12 米 长的木料做成如图所示的矩形窗框（包括中间的十字形），问当长、宽各是多少时，矩形窗框的面积最大 ? 最大的面积是多少 ? 此题关键是建立函数关系， 用二次函数表示变量之间的关系时，要抓住两点： （ 1 ）要明确变量（自变量、因变量）的含义； （ 2 ）为便于寻找各变量的关系，可根据实际情况列出相应的图或表或解析式来表示各量之间的关系 在解决问题时可直接应用已建立的图、表或解析式关系，帮助进行思考，便于寻找较复杂的数量关系 例 5 ：如图， 已知三角形的两边和为 20cm ，这两边的夹角为 120 求它的面积的最大值；当面积最大时，这两边的长各是多少 ? 教师在试题分析时，注意引导启发学生： 已知三角形两边之和为 20cm ，应设其中一边为 x cm ，并将这条边上的高用 x 表示，即可把该三角形的面积表示为 x 的函数 本题讲解时，关键是如何建立两个变量关系，如果确定变量，如何从题的条件出发去发现量之间的关系，结合图形寻找解决问题的入手点 . 教师讲解时，从形入手帮助学生分析建立函数关系的关键点，只要能引导学生正确的引出辅助线问题就得以解决 在如图所示的 ABC 中，设 BC 边的长为 x cm ，则 AB （ 20 x ） cm 过 A 作 BC 边上的高 AD ，与 CB 的延长线交于点 D 求几何图形的最大面积，应先在分析图形的基础上，引入自变量，用含自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量，再根据图形特征列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，最后根据函数的关系式求出最值及取的最值时自变量的值 在求几何图形的最大面积时，还应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中的每一个几何量的可能范围，一般有以下几种情况：边长、周长、面积大于零，三角形中两边之和大于第三遍，圆的周长与半径的关系 例 6 ： 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销路，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件 （ 1 ）某商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元 ? （ 2 ）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 ? 本题是获利问题，给学生交代清楚： 商场所获的利润是由售出的商品数量和这件商品的利润相乘而得到的 这样问题就转化为如何建立两个变量的关系了 . 如果每件衬衫降价 x 元，则 每件 盈利为（ 40 x ）元，则可多售出 2 x 件衬衫，即每天可售出（ 20 2 x ）件衬衫， 问题（ 1 ）可列出方程 (20+2 x )(40- x )=1200. 转化为一元二次方程求解问题，这里要注意一元二次方程有两个根时要检验是否符合题意 问题（ 2 ）若设商场平均每天盈利为 y 则 y =(20-2 x )(40- x ). 问题转化为求二次函数的最值问题 . 从而可求出每天的利润 由于这个关系式是一个二次项系数为负数的二次函数，所以可求出盈利的最大值， 通过解答上述的几个实际问题， 让学生了解 数学的美很大程度上在于它来源于实践，应用于实践 教师要交给学生会 从生产、生活的实践中发现和总结规律，进而能根据客观规律指导实践，解决生产、生活中的一些实际问题 教师在教学过程中，让学生逐步知晓 初中数学中的一次函数、二次函数问题是与实际问题联系最紧密的内容之一 学生 通过这些内容的学习，掌握把实际问题转化为函数问题这一重要的思想方法 2 阅读理解题方法和规律是什么？ 阅读和处理数学问题，不是一个被动接受的过程，而是一个主动建构的过程，让同学们学会读书，学会理解，学会分析，学会总结，从而学会求知，这就是阅读理解题潜在的素质教育功能 实际应用问题与常规的数学问题相比最明显的区别就是阅读量的增加以及对学生理解能力要求的提高不管是课本、考试中遇到的应用题，还是实际生活中的数学问题，都会出现很多干扰信息，需要学生对其进行甄别处理，从中提炼出数学的条件 和 结论即需要经历一个将自然语言转化为数学语言（包括符号语言和图形语言）的过程然后才能够运用数学方法来解决这些问题而现在的学生阅读理解能力偏弱，其直接后果就是无法顺利地将实际问题建模化，更谈不上解决问题了 阅读理解题在函数应用方面的主要类型是：阅读一段短文，在理解题意的基础上，发现实际问题中的变量的数量关系， 再 求解答有关的问题 例 7 ： 某地防汛部门为做好当年的防汛抗洪工作，根据本地往年汛期特点和当年气象信息分析，利用当地一水库的水量调节功能，制订了当年的防汛计划： 从 6 月 10 日 零时起，开启水库 1 号入水闸蓄水，每天经过 1 号水闸流入水库的水量为 6 万立方米 ；从 6 月 15 日 零时起，打开水库的泄水闸泄水，每天从水库流出的水量为 4 万立方米 ；从 6 月 20 日 零时起再开启水库 2 号入水闸，每天经过 2 号入水闸流入水库的水量为 3 万立方米 ；到 6 月 30 日 零时，入水闸和泄水闸全部关闭根据测量， 6 月 10 日 零时，该水库的蓄水量为 96 万立方米 （ 1 ）设开启 2 号入水闸后的第 x 天零时，水库的蓄水量为 y 万立方米，写出 y （万立方米）与 x （天）之间的函数关系式（只要求写出解析式）； （ 2 ）如果该水库的最大蓄水量为 200 万立方米，该地防汛部门的当年汛期（到 6 月 30 日 零时）的防汛计划能否保证水库的安全（水库的蓄水量不超过水库的最大蓄水量） ? 请说明理由 此题的题干较大，阅读量过多，如何从大容量的阅读中抓住数学问题去分析是关键，教师应该启发学生去发现不同时段问题的变化，即 （ 1 ）根据题目中给出的四个时刻，可分为三个时间段考虑 y 与 x 间的函数关系： 6 月 10 日 零时，该水库的蓄水量为 96 万立方米 6 月 10 日 零时起，到 6 月 20 日 零时止，该水库增加的蓄水量 问题 从 6 月 20 日 零时起，到开启 2 号入水闸后的第 x 天的零时止， 该水库水量问题 , 于是可得： y 5 x 136 ，其中 0 x 10 ， x 取整数 解决第（ 2 ）个问题，注意引导学生此问题实际是解决函数中的最值问题，联系函数解析式，根据函数的性质即可解答 本 题取材于防汛抗洪问题，对阅读理解的能力要求高，要了解现实情景，必须读懂第二段文字，将四个时刻，开启（或关闭）入水（或泄水）闸，流量等要素搞懂，才能理清其数量关系；构思新颖，但设计的两个问题并不难，也没有繁杂的运算 3 二次函数的实践与探究 有些实际问题中的变量存在着二次函数的关系，但问题中并不告诉存在二次函数，而是提到抛物线如何描述和刻画抛物线？显然用二次函数，而且需要建立适当的直角坐标系，这是有难度的问题首先是如何建立平面直角坐标系，还有如何使用问题的条件来确定解析式 例 8 ： 有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状， MN =4m ，抛物线顶点处到边 MN 的距离是 4m ，要在铁皮上截下一矩形 ABCD ，使矩形顶点 B 、 C 落在边 MN 上， A 、 D 落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于 8m ？ 教师在讲解时，首先指导学生考虑如何建立坐标系，确定点的坐标，从而求出二次函数的解析式通过形确定出数量关系，即建立方程解方程，用数将形的问题解决 . 这里的关键是如何建系，教师可以从不同角度分析建系，让学生体会其中的奥秘 . 同时引导学生学会从实际问题中去考虑自变量取值范围问题 如图所示建立平面直角坐标系，引导学生求出抛物线的解析式，设出相关的量，从而通过解方程把问题答案找到 . 例 9 ： 目前国内最大跨径的钢管混凝土拱桥 永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图（ 1 ），在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为 350 米 ，拱高为 85 米 在所给的直角坐标系中（如图（ 2 ），假设抛物线的表达式为 y=ax 2 + b ，请你根据上述数据求出 a 、 b 的值，并写出抛物线的表达式 . （不要求写自变量的取值范围， a 、 b 的值保留两个有效数字） . 此题教师在讲解时，要交待清楚解决此类问题，必须建立恰当的直角坐标系，而坐标系的建立取决于已知点所在的位置，可以以已知的一部分作一个坐标轴，以它的垂直平分线作为另一个坐标轴，使图形关于坐标轴对称，可以使计算较简便 例 10 ： 有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽为 20m ，如果水位上升 3 米时，水面 CD 的宽为 10m （ 1 ）建立如图直角坐标系，求点 B 、 D 的坐标 ； （ 2 ）求此抛物线的解析式； （ 3 ）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km （桥长忽略不计）货车以 40km h 的速度开往乙；当行驶 1 小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时 0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在 CD 处，当水位到达最高点 E 时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？ 此题和例 9 类同，关键之一是建立平面直角坐标系的选择 . 关键之二分析清楚此题实际是一个行程的应用问题，如何建立行程中三个量的关系，如何找到已知的量是关键之二 解：（ 1 ） B （ 10 ， 0 ）， D （ 5 ， 3 ） . 水位有 CD 上升到点 E 所用的时间为 10.25=4 小时 设货车从接到通知到到达桥所用的时间为 t 则 40 （ t 1 ） 280, 解得： t 6 4 故货车按原速行驶，不能安全通过此桥 设货车速度为 x km h ，能安全通过此桥 则 4 x +40280, 解得 x 60 故速度不小于 60 km h ，货车能安全通过此桥 4 分段函数的应用 有些实际问题中的函数关系是用分段函数给出的，研究分段函数是学生需要面对的一个难点 例 11 ：心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力 y 随着时间 t 的变化规律有如下关系式： （ 1 ）讲课开始后，第 5 分钟时与讲课开始后第 25 分钟时比较，何时学生的注意力更集中？ （ 2 ）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （ 3 ）一道数学难题，需要讲解 24 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到 180 ，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 解：（ 1 ）当 t=5 时， y=195 ，当 t=25 时， y=205 讲课开始后第 25 分钟时学生的注意力比讲课开始后第 5 分钟时更集中 （ 2 ）当 0 t 10 时， y=-t 2 +24t+100=- （ t-12 ） 2+244 ， 该图的对称轴为 t=12 ，在对称轴左侧， y 随 x 的增大而增大， 所以，当 t=10 时， y 有最大值 240 当 10 t 20 时， y=240 当 20 t 40 时， y=-7t+380 ， y 随 x 的增大而减小， 故此时 y 240 所以，当 t=20 时， y 有最大值 240 所以，讲课开始后 10 分钟时，学生的注意力最集中，能持续 10 分钟 （ 3 ）当 0 t 10 ，令 y=-t 2 +24t+100=180 ， t=4 当 20 t 40 时，令 y=-7t+380=180 ， t=28.57 所以，老师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 教师在讲解时，交给如何去学生读懂题意，让学生知道在理解实际背景情况下，再去收集处理有关信息 教师要讲解清楚如何应用问题中的信息语言翻译成数学语言，抽象、归纳其中的数量关系，转化成数学问题 引导学生在得到数学模型上，进行推理与对比计算等，得出问题解决的方案 通过例题，老师应给学生交待清楚解决此类型问题首先要根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题，建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题 （四）怎样分析 函数 应用 与相关知识的联系 在现实生活中存在着大量实际问题，它们或多或少的都设计具有简单函数关系的变量这些数量关系可能是线性（一次函数）的，也可能是反比例关系或者是二次关系，这些实际问题为初中数学的教学提供了大量的素材 而函数本身就是人们为了更深刻的认识千变万化的世界，经过归纳总结得出的一个重要的数学工具，它的主要作用就是用来描述变化中的数量关系其中找出实际问题中相关变量之间的关系，并以数学形式表现这种关系，是运用函数或者数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确的理解问题情境则是基础 例 12 ：如图，在梯形 ABCD 中， DC / AB , A =90 ， AD =6cm, DC =4cm ， BC 的坡度 i =3:4, 动点 P 从 A 出发以 2cm/s 的速度沿 AB 方向向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发以 3cm/s 的速度沿 B-C-D 方向向点 D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设动点运动的时间为 t 秒 （ 1 ）求边 BC 的长； （ 2 ）当 t 为何值时， PC 与 BQ 互相平分；（ 3 ）连结 PQ, 设 PBQ 的面积为 y, 探求 y 与 t 的函数关系式，求 t 为何值时， y 有最大值？最大值是多少？ 此题是运动型几何问题中二次函数的应用 教师在讲解时，首先要清楚对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应以静制动，在动中求静；指点学生抓住适合条件的某个待定时刻具体位置的几何状态，运用几何图形的性质建立出变量之间的函数关系式，借助函数的性质予以解决，给学生点播当图形（或某一事物）在运动的过程中达到最大或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置，这是普遍规律 引导学生恰当引出辅助线建立出数学模型去解决问题 问题（ 1 ）通过图形的分割，问题转化为矩形和勾股定理来解决，这里利用了坡度的概念，找出直角三角形中的两条直角边进而求出 BC =10 问题（ 2 ）如果 PC 与 BQ 互相平分，就可以得出平行四边形这一个特殊的四边形，再利用平行四边形这一特殊的形的性质，将问题转化为数来解决即可求出 t 的值 对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应以静制动，在动中求静，抓住适合条件的某个特定时刻具体的几何状态，运用几何图形的性质建立出变量之间的函数关系式，借助函数的性质予以解决，当图形在运动的过程中达到最大值或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置，这是普遍规律 三、 学生常见的问题及解决的策略方法 （一）利用 函数解决实际生产问题的困惑 例 13 ： 某旅社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元时，可全部租出，若每床每晚收费提高 2 元时，则减少 10 张床位租出；以每次提高 2 元这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高多少元？ 每床每晚应提高 6 元时，获得的利润最大，最大利润为 1120 元 例 14 ： 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 18 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 此题也是实际生活中常遇到的问题，但是题中出现了两种情况，一是涨价，二是降价 所以考虑解决方法要全，不能漏此题体现了分类讨论思想 解：调整价格包括涨价和降价两种情况 先来看涨价的情况： (1) 每件涨价 x 元， 所以，当定价为 65 元时，利润最大，最大利润为 6250 元 . 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说当 x 取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值 在降价的情况下 解：设降价 x 元时利润最大，则每星期可多卖 18 x 件，实际卖出（ 300+18 x ) 件， 销售额为 (60 x )(300+18 x ) 元，买进商品需付 40(300 10 x ) 元， 因此，得利润 所以选择涨价 这两道题是利用二次函数解决实际问题中的利润问题，学生在解决时困惑之一不理解题中所给出有关量的含义，也就是缺少实际生活的体验，困惑之二不知从何处着手获取有用的信息；困惑之三就是由函数关系式从理论上会求最值，但不知和实际结合去解决问题 所以要引导学生结合函数图象去思考问题，结合实际生活总的现象去解决问题 （二）利用函数解决体育问题的困惑 例 15 ：如图，一个运动员推铅球，铅球在点 A 处出手，出手时离地面约 米，铅球落地在点 B 处，铅球运行中在运动员前 4 米处（即 OC=4 ）达到最高点，最高点离地面距离为 3 米，已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，能否算出该运动员的成绩？若能请求出他的成绩，若不能请说明理由 此题反映的是体育运动中铅球运行过程中所行的路径问题，老师对此题分析时可以实际生活中铅球比赛时铅球运行的实况，让学生感受其路径近似可以看出是抛物线 , 让学生体会数学服务于生活和来源于生活的辩证关系，进而将有关数学信息抽出来，建立数学模型区解决 例 16 ：如图，足球场上守门员在 O 处开出一高球，球从离地面 1 米的 A 处飞出（ A 在 y 轴上），运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己的正上方达到最高点 M ，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起，据试验，足球在草地上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半 （ 1 ）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式 （ 2 ）足球第一次落地点 C 距守门员多少米？（取 ） （ 3 ）运动员乙要抢到第二次落点 D ，他应该再向前跑多少米？ 此题是将足球运动问题转化成数学问题，关键引导学生对足球常识的一个认知，体会在实际生活中踢足球时，足球运动路径，老师最好带领学生一起去体验，让学生真正感知，另一点将实际问题抽象出数学问题，体会抛物线平移变化的规律 . 从实际到理论，通过建立数学模型解决实际问题 （三） 利用函数解决最大（小）值问题的困惑 例 17 ：某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后，市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息，如图甲、乙所示 ( 甲、乙两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本 6 月份最低，甲图的图象是线段，乙图的图象是抛物线段 ) 请你根据图像提供的信息说明： (1) 在 3 月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？ ( 收益售价成本 ) (2) 哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由； (3) 已知市场部销售该种蔬菜， 4 、 5 两个月的总收益为 48 万元，且 5 月份的销量比 4 月份的销量多 2 万公斤，求 4 、 5 两个月销量各多少万公斤？ 此题老师在讲解时，要带领学生认真分析题中信息的含义，题中存在的等量关系及每个图的意义： 由每千克的收益 = 售价成本，分别由甲、乙两图求出售价与月份，每千克成本与月份的函数关系式，其中图甲反映的是一次函数，图乙反映的是二次函数，则收益为二次函数，求这个函数的最大值抓住切入点建立函数关系去解决问题 . 解：（ 1 ）从甲图知： 3 月份出售这种蔬菜，每千克售价为 5 元； 从乙图知， 3 月份购买这种蔬菜的成本为每千克 4 元， 根据收益 = 售价 - 成本，易知， 在 3 月份出售这种蔬菜每千克的收益是 1 元； ( 四 ) 利用反比例函数解决实际问题的困惑 在与数学联系密切的物理、化学学科中存在大量的成反比例函数的关系量凡是成反比例关系的两个量，都可以用反比例函数解决，特别地，在求反比例函数的关系式时，要注意自变量的取值范围，更要注意考虑实际情况 . 而学生在遇到这种跨学科应用的问题时，一是困惑不知从什么角度去联系两个学科之间的关系，二是困惑不知从其他学科中如何寻找数学问题 . 例 18 某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P(kPa ) 是气体体积 V(m3 ) 的反比例函数，其图象如图示，当气球内气体的气压对于 120kPa 时，气球将爆炸，为了安全，气体的体积应该（ ） 例 19. 李明参加了新月电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为 1.2 万元，交了首付之后每月付款 y 元， x 个月结清余款， y 与 x 的函数关系如图所示，试根据图象所提供的信息回答下列问题： （ 1 ）确定 y 与 x 的函数关系式，并求出首付的数目； （ 2 ）李明若用 4 个月结清余款，每月应付多少元？ （ 3 ）如果打算每月付款不超过 500 元，李明至少几个月才能结清余款？ 所以李明至少 16 个月才能结清余款 . 把实际问题转化为反比例函数应用题的关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解 . 学生面对这样的应用问题困惑之一是对实际问题中的有关量不理解，也就是缺少生活实际经验 . 困惑二是不知从什么角度思考去利用函数来解决问题 . 困惑三是不知实际问题中什么量可以转化为数学问题，去建立数学模型 . 例 20 近年来，我国煤矿安全事故频频发生 , 其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是 CO ，在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中 CO 的浓度达到 4mg/L, 此后浓度呈直线型增加，在第 7 时到达最高值 46mg/L ，发生爆炸；爆炸后，空气中的 CO 浓度呈反比例下降，如图，根据题中相关信息回答下列问题： （ 1 ）求爆炸前后空气中 CO 浓度 y 与时间 x 的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； （ 2 ）当空气中的 CO 浓度达到 34mg/L 时，井下 3km 的矿工接到自动报警信号，这里他们至少要以每小时多少千米的速度散离才能在爆炸前逃生？ （ 3 ）矿工只有在空气中的 CO 浓度降到 4mg/L 及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 所以至少在爆炸后 73.5 小时才能下井 . 本题中两个变量的关系不是单一的一次函数或反比例函数关系，而是两者的复合，这类题目在函数应用中很普遍，注意在实际问题中提炼出函数模型，同时要加上自变量的取值范围，这点也正是学生的困惑之处，所以教师在讲解时也要在这点上讲解清楚，引导学生掌握好解题方法和思路 . （ 3 ）以下方法只要回答一种即可 方法一：利用钝角的一半是锐角