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勾股定理中的数学思想方法

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用．它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，把数与形统一起来，在现实世界中有着广泛的应用．
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么；
逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理揭示了直角三角形三边关系的重要性质；它的逆定理则是从三角形三边关系判定三角形是否是直角三角形的一个方法．
学习《勾股定理》这一章，除了掌握上述两个定理之外，还应了解：这一章中蕴含着哪些重要的数学思想方法？在运用勾股定理解题时，若能正确地把握数学思想，则可思路开阔，方法简便快捷，下面举例说明，供同学们参考．
一、数形结合思想
勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想．
图1
例1．如图1是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后依次类推，若正方形1的边长为64cm，则正方形的边长为 cm．
析解：这是一类关于“勾股树”（国外叫做“毕达哥拉斯树”）的探讨题，主要考查灵活运用勾股定理解决问题的能力，这里只要由勾股定理的规律通过一系列的探索就可以得到答案是8．
例2．有一直立标杆，它的上部被风吹折，杆顶着地，离杆脚20cm，修好后又被风吹杆，因新断处比前次低了5cm，且标杆顶着地处比前次远10cm，求标杆的高．
析解：依题意作图如2，数形结合求解，设第一次吹折后下段AB的长为xcm，上段BC的长为ycm，第二次折后下段AD的长为（x-5）cm，上段DE的长为（y+5）cm，依题意得

只要求出x+y的值即求出标杆的高而不必单独求x与y的值．
②-①得10（x+y）=500
∴x+y=50
故标杆的高为50cm
评析：利用三边的平方关系或辅助线或生活常识可获得直角三角形，进而可求边长或面积．数形结合思想是数学中的重要思想方法，它可以使抽象的知识转化为形象的图形，从而处理起来，更直观、容易，应引起同学们的重视．
二、方程思想
例3．在印度数学家拜·斯加罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺声红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”，
请你用学过的数学知识回答这个问题．
析解：此诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面0.5尺，忽然一阵狂风把荷花吹在水中淹没了，最后荷花垂直落到湖底，到了秋天，渔翁发现，落到湖底的荷花离根部有2尺远，如图，你知道这个湖的水深是多少尺吗？解答过程应该是这个样子的：
设水深为x尺，根据勾股定理，可得，
所以x=3.75，故这个湖的水深是3.75尺．
三、转化思想
例4．如图3所示，有一根高为的木柱，它的底面周长为，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？
分析与解：（1）将一张直角三角形的纸片在铅笔上缠绕七圈，将纸片展开，发现彩带的长相当于直角三角形的斜边长（如图4），可以利用勾股定理求出彩带的长．
∵为木柱的高，∴.
又∵木柱的底面周长为，∴的长为．
在中，由勾股定理，得，
因此彩带的长为．
（2）在木柱上均匀地缠绕圈，相当于将木柱分成相等的七段，在每一段木柱上由底向正上方缠绕一根彩带，其侧面展开图是一个矩形，对角线的长为每段彩带的长（如图5）．
∵为木柱的，∴.
又∵为木柱展开后的底面周长，∴.
在中，由勾股定理，得，
∴，因此，彩带的长为．
评析：遇到一些空间问题，通过动手实际操作一下，建立实物模型，这是建立空间概念的良好训练方法；而对实际问题进行分解、转化是数学解题中常用的思路．
四、分类讨论思想
例5．如图6是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方题木块．一只蚂蚁要从木块的一定点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）．
A.厘米 B.厘米 C. 厘米 D.9厘米
分析：这个问题是个空间问题，应该把他平面化．所以将长方体展开是解决本题的关键．

分类一：我将长方体相邻两侧面展开可得图7，由图7，可得=109．
分类二：我展开的图形和小敏的不一样，我的展开图如图8，根据图8可得=85．
分类三：我还有一种展开的方法，请大家看图9，这个时候我可得=97．
评析：同学们思考的都非常有道理，通过比较我们可以发现沿图8的爬行路径路程最短，所以厘米．故选C．
五、整体思想
例6：（课本题）已知a、b、c分别是Rt△ABC的两条直角边和斜边，且a+b=14，c=10，则S△ABC=
分析：一般的想法，要求直角三角形的面积，先求出其两条直角边a、b，则S△ABC即可求出，但这样求a、b非常繁杂，甚至在现阶段不可能，如果注意到：S△ABC=，那么只要求出ab这一整体就可以了．
解、由a+b=14，两边平方得：a2+2ab+b2=196，
所以ab=
根据勾股定理，a2+b2=c2
所以，ab===48
因此S△ABC==48
例7：如图10，长为3厘米，长为4厘米，长为13厘米．求正方形的面积．
　　分析：一般的想法，要求出正方形的面积，先求出其边长；要求出，先要求出．好，现在我们就顺着这个思路来求．在中，，所以，在中，，为多少？数不够用了！我们再去看一下题目，是让求正方形的面积，正方形的面积为，何必去求，只要求出这个“整体”就可以，原来正方形的面积为194，我们已经求出来了！（解答过程请同学们完成）
评析：整体思想，有时可以便问题直奔主体，少走弯路，使问题的解决方便、快捷，在一定程度上，体现了解题者的目标意识．

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