广东省广州市荔湾区2017-2018学年高二下学期期末考试数学文试题(含评分标准).doc

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2017-2018学年第二学期期末教学质量监测
高二数学（文科）
本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。
1．若（i为虚数单位），则z的共轭复数是
A． B． C． D．
2．抛物线的焦点到准线的距离为
A．1 B． 2 C．3 D．4
3．“且是真命题”是“非为假命题”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数
的实部是2，所以复数z的虚部是”。对于这段推理，下列说法正确的是
A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误 D．推理没有问题，结论正确
5．函数在点处的切线方程是
A． B. C. D.
6．若，则的值与的大小关系是
A. B. C. D.不能确定
7．函数 的最大值是
A． B． -1 C．0 D．1
8．甲、乙、丙三人中只有一人去过陈家祠，当他们被问到谁去过时，甲说：“丙没有去”；乙说：“我去过”；丙说：“甲说的是真话”。若三人中只有一人说的是假话，那么去过陈家祠的人是
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定
9．某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为r千米，则该飞船运行轨道的短轴长为
A． 千米 B．千米 C．千米 D．千米
10．函数在上是增函数，则实数的取值范围是
A． B. C. D.
11．若椭圆和圆为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
12. 已知定义在上的函数是奇函数，且，当时,
有 ，则不等式的解集是
A． B. C． D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数在时取得极值，则实数_______.

3
4
5
6

2.5
t
4
4.5
14．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据：根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中t的值为______.
15．代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式,则，则，取正值得，用类似方法可得_______.
16．如图1，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为_______.

三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知直线的参数方程为，圆的参数方程为
（Ⅰ）求直线和圆的普通方程；
（Ⅱ）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围．

18．（本小题满分12分）国家实施二孩放开政策后，为了了解人们对此政策持支持态度是否与年龄有关，计生部门将已婚且育有一孩的居民分成中老年组（45岁以上，含45岁）和中青年组（45岁以下，不含45岁）两个组别，每组各随机调查了50人，对各组中持支持态度和不支持态度的人所占的频率绘制成等高条形图，如图所示：

支持
不支持
合计
中老年组

50
中青年组

50
合 计

100

0.2
0
0.5
1.0
中老年组
中青年组
支持
不支持

（Ⅰ）根据以上信息完成2×2列联表；
（Ⅱ）是否有99%以上的把握认为人们对此政策持支持态度与年龄有关？
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
附：

19.（本小题满分12分）如图2，在中，，点在边上，且
，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求，的长.

20．（本小题满分12分）如图⑴，在直角梯形中，，，，，分别是线段的中点，现将折起，使平面平面，如图⑵.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

21.（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，点为椭圆上一动点，当△的面积最大时，求点的坐标及△的最大面积．

22.（本小题满分12分）已知函数（其中，为常数且）在处取得极值．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若在上的最大值为1，求的值．

一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
A
C
A
D
A
A
B
C
B
二、填空题：
13.-2； 14.3 15. 3 16.
三、解答题：
17．（本小题满分10分）
已知直线的参数方程为，圆C的参数方程为
（Ⅰ）求直线和圆C的普通方程；
（Ⅱ）若直线与圆C有公共点，求实数的取值范围．
17．解：（Ⅰ） 消去参数t得直线的一般方程……………………2分
消去参数得圆C的一般方程…………………………5分
（Ⅱ）……………………6分
若直线与圆C有公共点
则圆心到直线的距离………………………………8分
………………………………10分
18．（本小题12分）
0.2
0
0.5
1.0
中老年组
中青年组
支持
不支持
国家实施二孩放开政策后，为了了解人们对此政策持支持态度是否与年龄有关，计生部门将已婚且育有一孩的居民分成中老年组（45岁以上，含45岁）和中青年组（45岁以下，不含45岁）两个组别，每组各随机调查了50人，对各组中持支持态度和不支持态度的人所占的频率绘制成等高条形图，如图所示：

支持
不支持
合计
中老年组

50
中青年组

50
合 计

100

（Ⅰ）根据以上信息完成2×2列联表；
（Ⅱ）是否有99%以上的把握认为人们对此政策持支持态度与年龄有关？
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
附：
18．解：（Ⅰ）由等高条形图可知：
中老年组中，持支持态度的有50×0.2=10人，持不支持态度的有50－10=40人；
…………………………………………………………………………2分
中青年组中，持支持态度的有50×0.5=25人，持不支持态度的有50－25=25人。
…………………………………………………………………………4分

支持
不支持
合计
中老年组
10
40
50
中青年组
25
25
50
合 计
35
65
100
故2×2列联表为：

…………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）……………………………………8分
……………………………………10分
>6.635……………………………………11分
∴有99%以上的把握认为人们对此政策持支持态度支持与年龄有关………12分
19.（本小题满分12分）
如图，在中，，点在边上，且，.
（Ⅰ）求； （Ⅱ）求，的长.
19.解：（Ⅰ）在中 , ∵
∴……………………2分
∴……………………3分
……………………4分

……………………6分
（Ⅱ）在中 , ……………………7分
由正弦定理得……………………8分

=3，……………………9分
在中 ,由余弦定理得：

,
即……………………12分
20．（本小题满分12分）
如图⑴，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将ΔPDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD，如图⑵.
（Ⅰ）求证AP∥平面EFG；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

20．解：（Ⅰ）∵中，点E,F分别是PC,PD的中点
∴EF∥CD 又CD∥AB
∴EF∥AB ………………………………………………1分
∵
根据线面平行的判定定理
EF∥平面PAB………………………………………………2分
同理：EG∥平面PAB………………………………………………3分
………………………………………………4分
∴平面EFG∥平面PAB，又AP面PAB，…………………………5分
∴AP∥平面EFG…………………………………………………………6分
（Ⅱ）由题设可知平面PDC，故GC为三棱锥G-PEF底面上的高
G是BC的中点，BC=2，所以GC=1……………………………8分
又，……………………………9分
所以……………………………11分
----------------------------------12分
21.（本小题满分12分）
已知椭圆：的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，点为椭圆上一动点，当△的面积最大时，求点的坐标及△的最大面积．
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）， ……………………………1分
又，所以， … ……………………2分
在椭圆上，所以， ………………3分
联立解得，故椭圆的方程为． ……………………4分
（Ⅱ）将直线代入中消去得，．
解得或． …………………………5分
所以点，，所以． ………………6分
在椭圆上求一点, 使△的面积最大，则点到直线的距离最大．
设过点且与直线平行的直线方程为．……………………………………7分
将代入整理得，．…………………8分
令，解得． …………………………………9分
将代入方程，解得．
易知当点的坐标为时，△的面积最大． ………………………………10分
且点到直线的距离为． …………………………11分
△的最大面积为． …………………………………………12分
22.（本小题满分12分）
已知函数（其中，为常数且）在处取得极值．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若在上的最大值为1，求的值．
22.解：（Ⅰ）因为，所以，……………1分
因为函数在处取得极值，
………………………………………………2分
当时，，， ……………………3分
函数定义域为
由，得或；由，得，…………………5分
即函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．
（Ⅱ）因为，
令，，， ………………………………………………6分
因为在处取得极值，所以，
①当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上的最大值为，
令，解得， ………………………………………………8分
②当时， 在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在或处取得，而 ，
所以，解得； ………………………10分
③当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在或处取得，
而，
所以，
解得，与矛盾．………………………………………………11分
④当时，在区间上单调递增，在上单调递减，
所以最大值1可能在处取得，而，矛盾．
综上所述，或． ………………………………………………12分

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