全国高中数学联赛模拟试题(三).doc
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1、全国高中数学联赛模拟试题(三)第一试一、选择题(共36分)1. 化简cos的值为 ( )A.1B.1C.D.2. Sn和Tn分别是等差数列an和bn的前n项和,且对任意的自然数n都满足,那么 ( )A.B.C.D.3. 直线xcosym0(式中是ABC的最大角),则此直线的倾斜角变化范围是( )A.(arctan)B.0,)C.0,D.0,arctan,4. 设实数m,n,x,y满足m2n2a,x2y2b,其中a,b为正常数且ab,那么mxny的最大值为 ( )A.B.C.D.5. 如图,平面中有ABC和A1B1C1分别在直线m的两侧,它们与m无公共点,并且关于m成轴对称,现将沿m折成一个直二
2、面角,则A,B,C,A1,B1,C1六个点可以确定的平面AA1B1C1BCm个数为 ( )A.14B.11C.17D.凸n边形的各边为直径作圆,使这个凸n边形必能被这n个圆面所覆盖,则n的最大值为( )A.3B.4C.5D.6二、填空题(共54分)6. 已知0x,logsinxcosx与logcosx的首数均为零,尾数和为1,则x_.7. 设,其中a1,a2,an是两两不等的非负整数,则a1a2an_.8. 已知不等式ax23x46的解集为x|axb,其中0ab,则b_.9. 已知f(x)x2(lga2)xlgb,且f(1)2,f(x)2x对一切xR都成立,则ab_.10. 正四棱台ABCDA
3、1B1C1D1的高为2,AB8,A1B14,则异面直线A1B与B1C的距离为_.11. 方程(x2x1)x21的解集为_.三、解答题(共计60分)12. (设f(x)(1xx2)nc0c1xc2x2c2nx2n,则c0c3c6c1c4c7c2c5c83n1.13. (已知满足不等式lg(x2)lg(ax)1的整数x只有一个,试求常数a的取值范围.14. (设yf(x)是定义在R上的实函数,而且满足条件:对任意的a,bR,有faf(b)ab,试求|f()|.第二试ABCDEF H1H2H3一、(50分)如图,D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB上的点,且FDEA,DEFB,又设AFE,BD
4、F和DEF均为锐角三角形,他们的垂心分别为H1,H2,H3.求证:(1)H2DH3FH1E;(2)H1H2H3DEF.二、(50分)设C0,C1,C2,是坐标平面上的一族圆(周),其定义如下:(1)C0是单位圆x2y21;(2)任取nZ且n0,圆Cn1位于上半平面y0内及Cn的上方,与Cn外切并且与双曲线x2y21相切于两点,Cn的半径记为rn(nZ且n0)(1)证明:rnZ;(2)求rn.三、(50分)称自然数为“完全数”,如果它等于自己的所有(不包括自己)的正约数的和,例如,6123,如果大于6的“完全数”可以被3整除,证明,它一定可以被9整除.全国高中数学联赛模拟试题(三)参考答案第一试
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