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2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 微专题1 基本不等式的应用技巧学案 新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 微专题1 基本不等式的应用技巧学案 新人教A版必修第一册

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第2章 一元二次函数、方程和不等式
微专题1　基本不等式的应用技巧
在运用基本不等式求代数式的最值时，常常会用凑项、拆项、常值的代换、消元代换、取平方等技巧，无论运用哪种方式，必须把握三个条件：
(1)“一正”——各项为正数；
(2)“二定”——“和”或“积”为定值；
(3)“三相等”——等号一定能取到．
类型1　凑项
【例1】　(1)已知a>b>0，则2a＋＋的最小值为(　　)
A．4×　　　　　 B．6
C．3× D．3
(2)已知正数a，b满足2a2＋b2＝3，求a的最大值．
(1)B　[∵a>b>0，∴2a＋＋＝(a＋b)＋＋(a－b)＋.
∵(a＋b)＋≥2＝4，(a－b)＋≥2＝2，
∴2a＋＋≥6，当且仅当a＋b＝2，a－b＝1，即a＝，b＝时等号成立．故选B.]
(2)[解]　a＝·≤·＝，当且仅当2a2＝b2＋1，即a＝b＝1时取“＝”，故a的最大值为.
类型2　拆项
【例2】　已知x≥，则有(　　)
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
D　[法一：∵x≥，∴x－2>0，则＝≥×2＝1，等号在x－2＝，即x＝3时取得．
法二：令2x－4＝t，∵x≥，∴t≥1.∴x＝＋2.
将其代入，原函数可化为
y＝＝＝＋≥2＝1，
当且仅当＝，即t＝2时等号成立，此时x＝3.]
类型3　常值的代换
【例3】　(1)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
(2)设a＋b＝2，b>0，求＋取最小值时a的值.
(1)B　[＋＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．所以＋的最小值为9，又因为＋≥m恒成立，所以m≤9，即m的最大值为9.]
(2)[解]　因为a＋b＝2，
所以＋＝＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1，当且仅当＝，即b＝－2a＝4，或b＝2a＝时，等号成立．当a＝时，＋1＝；
当a＝－2时，＋1＝.
所以＋取得最小值时a的值为－2.
类型4　消元代换
【例4】　(1)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，求a＋2b的最小值；
(2)若实数x，y满足xy＋3x＝3，求＋的最小值．
[解]　(1)由2a＋b＝ab－1得a＝1＋>0，解得b>2.所以a＋2b＝5＋＋2≥5＋2＝5＋2，当且仅当＝2，即b＝2＋时等号成立．所以a＋2b的最小值是5＋2.
(2)∵实数x，y满足xy＋3x＝3，
∴x＝，∴0<<，解得y>3.
则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6
≥2＋6＝8，
当且仅当y＝4，x＝时，等号成立．
所以＋的最小值为8.
类型5　取平方
【例5】　已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求W＝＋的最大值．
[解]　∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，
∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，
当且仅当3x＝2y,3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立．
∴W≤2，
即W的最大值为2.