初中数学二次函数综合题及答案(经典题型).doc

启东教育 精心教学 2222673
启东教育学科教师辅导讲义

二次函数试题
选择题：1、y=(m-2)xm2- m 是关于x的二次函数，则m=（ ）
A -1 B 2 C -1或2 D m不存在
2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是（ ）
A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系
C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系
D 圆的周长与半径之间的关系
4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2，则抛物线的解析式是（ ）
A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2
1
—1
0
x
y
C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2
5、抛物线y= x2-6x+24的顶点坐标是（ ）
A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D（6，—6）
6、已知函数y=ax2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（　）个
y
x
0
-1
　①abc〈０　②a＋c〈b　　　　③ a+b+c　〉０　　④ ２c〈３b
A １ B ２ C ３ D　４
7、函数y=ax2-bx+c（a≠0）的图象过点（-1，0），则
= = 的值是（ ）
A -1 B 1 C D -
x
y
x
y
x
y
x
y

8、已知一次函数y= ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）

A B C D

二填空题：
13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2＋2mx＋m上的点的坐标是————————————。
16、若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝２，最小值为－２，则关于方程ax2+bx+c＝－２的根为————————————。
17、抛物线y=（k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k＝—————————
解答题：（二次函数与三角形）
1、已知：二次函数y=x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．

B
x
y
O
(第2题图)
C
A
D
2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C (0，4)，顶点为（1，）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

B
x
y
O
(第3题图)
C
A

3、如图，一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；
（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（二次函数与四边形）4、已知抛物线．
(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

5、如图，抛物线y＝mx2－11mx＋24m (m＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．
（1）填空：OB＝_ ▲ ，OC＝_ ▲ ；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；
C
O
A
y
x
D
B
C
O
A
y
x
D
B
M
N
l:x＝n
（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（），B（），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．

7、已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B的坐标；
（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；
（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（二次函数与圆）
8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．1）求该抛物线的解析式．
2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．
3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．

9、如图，y关于x的二次函数y=﹣（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0）
（1）写出A、B、D三点的坐标；
（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；
（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。

10、已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中AI(1，0)，C(0，)．
（1）（3分）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．
①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；
②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。

答案：
1、解：（1）由已知条件得，（2分）
解得b=﹣，c=﹣，∴此二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣；（1分）
（2）∵x2﹣x﹣=0，∴x1=﹣1，x2=3，
∴B（﹣1，0），C（3，0），∴BC=4，（1分）
∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大，∴E点是抛物线的顶点，其坐标为（1，﹣3），（1分）
∴△EBC的面积=×4×3=6．（1分）
2、（1）∵抛物线的顶点为（1，） ∴设抛物线的函数关系式为y＝a ( x－1) 2＋
∵抛物线与y轴交于点C (0，4)， ∴a (0－1) 2＋＝4 解得a＝－
∴所求抛物线的函数关系式为y＝－( x－1) 2＋
（2）解：P1 (1，)，P2 (1，－)， P3 (1，8)，P4 (1，)，
（3）解：令－( x－1) 2＋＝0，解得x1＝－2，x1＝4
∴抛物线y＝－( x－1) 2＋与x轴的交点为A (－2，0) C (4，0)
过点F作FM⊥OB于点M，
∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝ 又 ∵OC＝4，AB＝6，∴MF＝×OC＝EB
B
x
y
O
(第3题图)
C
A
D
E
设E点坐标为 (x，0)，则EB＝4－x，MF＝ (4－x) ∴S＝S△BCE－S△BEF＝ EB·OC－ EB·MF＝ EB(OC－MF)＝ (4－x)[4－ (4－x)]＝－x2＋x＋＝－( x－1) 2＋3
∵a＝－＜0，∴S有最大值 当x＝1时，S最大值＝3 此时点E的坐标为 (1，0)
3、（1）∵一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴A (－1，0) C (0，－4) 把A (－1，0) C (0，－4)代入y＝x2＋bx＋c得
∴ 解得 ∴y＝x2－x－4
（2）∵y＝x2－x－4＝( x－1) 2－ ∴顶点为D（1，－）
B
x
y
O
(第3题图)
C
A
P
M
N
设直线DC交x轴于点E 由D（1，－）C (0，－4)
易求直线CD的解析式为y＝－x－4
易求E（－3，0），B（3，0） S△EDB＝×6×＝16
S△ECA＝×2×4＝4 S四边形ABDC＝S△EDB－S△ECA＝12
（3）抛物线的对称轴为x＝－1
做BC的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点D3 易求AB的解析式为y＝－x＋
∵D3E是BC的垂直平分线 ∴D3E∥AB
设D3E的解析式为y＝－x＋b
∵D3E交x轴于（－1，0）代入解析式得b＝－, ∴y＝－x－
把x＝－1代入得y＝0 ∴D3 (－1，0), 过B做BH∥x轴，则BH＝1
在Rt△D1HB中，由勾股定理得D1H＝ ∴D1（－1，＋）同理可求其它点的坐标。
可求交点坐标D1（－1，＋）, D2（－1，2）, D3 (－1，0), D4 (－1, －)D5（－1，－2）
4、(1)====，∵不管m为何实数，总有≥0，∴=＞0，∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．
(2)∵ 抛物线的对称轴为直线x=3，∴，
抛物线的解析式为=，顶点C坐标为（3，－2），
解方程组，解得或，所以A的坐标为（1，0）、B的坐标为（7，6），∵时y=x－1=3－1=2，∴D的坐标为（3，2），设抛物线的对称轴与轴的交点为E，则E的坐标为（3，0），所以AE=BE=3，DE=CE=2，
① 假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形．
② (Ⅰ)设直线CD向右平移个单位（＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x－1交于点M（3，2），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．
（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3，），
又N在抛物线上，∴，
解得（不合题意，舍去），，
（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标为（3，），
又N在抛物线上，∴，
解得（不合题意，舍去），，
(Ⅱ) 设直线CD向左平移个单位（＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x－1交于点M（3，2），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．
（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3，），
又N在抛物线上，∴，
解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），
（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标为（3，），
又N在抛物线上，∴，
解得，（不合题意，舍去），
综上所述，直线CD向右平移2或（）个单位或向左平移（）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
5、解：（1）OB＝3，OC＝8
C
O
A
y
x
D
B
E
（2）连接OD，交OC于点E
∵四边形OACD是菱形 ∴AD⊥OC，OE＝EC＝ ×8＝4
∴BE＝4－3＝1
又∵∠BAC＝90°，
∴△ACE∽△BAE ∴＝
∴AE2＝BE·CE＝1×4
∴AE＝2
∴点A的坐标为 (4，2)
C
O
A
y
x
D
B
M
N
l:x＝n
E
把点A的坐标 (4，2)代入抛物线y＝mx2－11mx＋24m，
得m＝－ ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x－12
（3）∵直线x＝n与抛物线交于点M
∴点M的坐标为 (n，－n2＋n－12)
由（2）知，点D的坐标为（4，－2），
则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y＝x－4
∴点N的坐标为 (n，n－4) ∴MN＝（－n2＋n－12）－（n－4）＝－n2＋5n－8
∴S四边形AMCN＝S△AMN＋S△CMN＝MN·CE＝（－n2＋5n－8）×4＝－(n－5)2＋9
∴当n＝5时，S四边形AMCN＝9
6、解：（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC与x轴的交点，∴M（0，2），
∵DM∥ON，D（3，0），∴N（-3，2），则，解得，∴；
（2）连接AC交y轴与G，∵M是BC的中点，∴AO=BM=MC，AB=BC=2，∴AG=GC，即G（0，1），
∵∠ABC=90°，∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，∴点P为直线BG与抛物线的交点，
设直线BG的解析式为，则，解得，∴，
∴，解得，，
∴点P（）或P（），
（3）∵，∴对称轴，
令，解得，，∴E（，0），
故E、D关于直线对称，∴QE=QD，∴|QE-QC|=|QD-QC|，
要使|QE-QC|最大，则延长DC与相交于点Q，即点Q为直线DC与直线的交点，
由于M为BC的中点，∴C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx+b，
则，解得，∴，
当时，，故当Q在（）的位置时，|QE-QC|最大，
过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则CD=．
7、解：（1）由y=0得，ax2-2ax-3a=0，
∵a≠0，∴x2-2x-3=0， 解得x1=-1，x2=3， ∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）；
（2）由y=ax2-2ax-3a，令x=0，得y=-3a， ∴C（0，-3a），
又∵y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a， 得D（1，-4a），
∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a， ∴-a=1，∴a=-1， ∴C（0，3），D（1，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得， ，解得 ，
∴直线CD的解析式为y=x+3；
（3）存在．
由（2）得，E（-3，0），N（- ，0） ∴F（ ， ），EN= ，
作MQ⊥CD于Q，设存在满足条件的点M（ ，m），则FM= -m，
EF= = ，MQ=OM=
由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，∴ = ，整理得4m2+36m-63=0，∴m2+9m= ，
m2+9m+ = + （m+ ）2= m+ =± ∴m1= ，m2=- ，
∴点M的坐标为M1（ ， ），M2（ ，- ）．
8、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），
∴假设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），
将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：3=3a， ∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；
（2）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，∴AC×BC=6，
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，∴二次函数对称轴为x=2，
∴AC=3，∴BC=4，∴B点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；y=kx+b，
∴，解得：，y=x+；
（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，
∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，
∵AC=1+2=3，BC=4， ∴AB=5，AM=3， ∴BM=2，
∵∠MBP=∠ABC，∠BMP=∠ACB，
∴△ABC∽△CBM，∴，
∴，∴PC=1.5，P点坐标为：（2，1.5）．
9、解：（1）A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）．
（2）设直线ED的解析式为y=kx+b，将E（﹣3，0），D（0，m）代入得：
解得，k=，b=m． ∴直线ED的解析式为y=mx+m．
将y=﹣（x+m）（x﹣3m）化为顶点式：y=﹣（x+m）2+m．
∴顶点M的坐标为（m，m）．代入y=mx+m得：m2=m
∵m＞0，∴m=1．所以，当m=1时，M点在直线DE上．连接CD，C为AB中点，C点坐标为C（m，0）．
∵OD=，OC=1，∴CD=2，D点在圆上
又OE=3，DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，∴CD2+DE2=EC2．∴∠FDC=90°∴直线ED与⊙C相切．
（3）当0＜m＜3时，S△AED=AE．•OD=m（3﹣m） S=﹣m2+m．
当m＞3时，S△AED=AE．•OD=m（m﹣3）． 即S=m2_m．

10、解：（1）由题意，得，解得∴抛物线的解析式为。
（2）①令，解得 ∴B（3, 0）
当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，
易求直线BC的解析式为，∴设直线AP的解析式为，
∵直线AP过点A（1,0），代入求得。∴直线AP的解析式为
解方程组，得 ∴点
当点P在x轴下方时，如图1 设直线交y轴于点，
把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点， 得直线的解析式为，
解方程组， ∴
综上所述，点P的坐标为：，
②∵∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45° 设直线CP的解析式为
如图2，延长CP交x轴于点Q，设∠OCA=α，则∠ACB=45°α
∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45°α
∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°α）=α
∴∠OCA=∠OQC
又∵∠AOC=∠COQ=90° ∴Rt△AOC∽Rt△COQ
∴，∴，∴OQ=9，∴
∵直线CP过点，∴ ∴
∴直线CP的解析式为。

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